Name: modeling motion with second-order equations
Uploaded: 2026-01-12T12:25:00.000Z
Duration: 1 min 20 s
Channel: JoVE

Une équation différentielle est une équation qui contient une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées. L’ordre d’une équation différentielle est donné par la dérivée du plus haut ordre présente dans l’équation.Lorsque l’équation ne concerne que la première dérivée, on l’appelle du premier ordre. Si cela implique la dérivée seconde, on parle du second ordre, et ainsi de suite.Par exemple, un système ressort-masse peut être modélisé comme un simple oscillateur harmonique, qui égalise la force nette sur la masse et la force de restauration dans le ressort, décrite par la loi de Hooke pour les ressorts linéaires.La force du ressort agit dans la direction opposée au déplacement et est proportionnelle à la distance que la masse déplace depuis sa position d’équilibre.La deuxième loi de Newton relie la force nette sur la masse à son accélération. La combinaison de ces deux relations donne une équation dans laquelle la masse multipliée par l’accélération est égale à une constante négative multipliée par le déplacement.En réécrivant l’accélération comme la dérivée seconde du déplacement dans le temps, on obtient une équation différentielle du second ordre.Cette seconde dérivée relie le mouvement du système à une équation différentielle.

introduction aux équations différentielles

Une &#xE9;quation diff&#xE9;rentielle est une expression math&#xE9;matique qui &#xE9;tablit une relation entre une fonction et ses d&#xE9;riv&#xE9;es. Ces &#xE9;quations sont fondamentales pour la mod&#xE9;lisation des syst&#xE8;mes dynamiques dans divers domaines de la science et de l&#x2019;ing&#xE9;nierie. L&#x2019;ordre d&#x2019;une &#xE9;quation diff&#xE9;rentielle est d&#xE9;fini par la d&#xE9;riv&#xE9;e d&#x2019;ordre le plus &#xE9;lev&#xE9; pr&#xE9;sente dans l&#x2019;&#xE9;quation. Une &#xE9;quation diff&#xE9;rentielle du premier ordre ne comprend que la premi&#xE8;re d&#xE9;riv&#xE9;e, tandis qu&#x2019;une &#xE9;quation diff&#xE9;rentielle du second ordre comprend la d&#xE9;riv&#xE9;e seconde de la fonction &#xE0; d&#xE9;terminer.&#xC9;quations diff&#xE9;rentielles du second ordre dans les syst&#xE8;mes physiquesUn exemple classique d&#x2019;&#xE9;quation diff&#xE9;rentielle du second ordre r&#xE9;sulte de la mod&#xE9;lisation du mouvement d&#x2019;un syst&#xE8;me masse&#x2013;ressort. Dans ce syst&#xE8;me id&#xE9;alis&#xE9;, une masse est attach&#xE9;e &#xE0; un ressort qui ob&#xE9;it &#xE0; la loi de Hooke et qui est exempt de tout amortissement ou de forces ext&#xE9;rieures. Lorsque la masse est d&#xE9;plac&#xE9;e de sa position d&#x2019;&#xE9;quilibre, le ressort exerce une force de rappel qui est lin&#xE9;airement proportionnelle au d&#xE9;placement et agit dans le sens oppos&#xE9;. Math&#xE9;matiquement, cette force de rappel est donn&#xE9;e par<figure class="image image-style-align-center image_resized" style="display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;width:10.28%;"><img style="aspect-ratio:78/32;" src="https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40597/40597_001_editor_40597.svg" alt="40597_001.svg" /></figure>o&#xF9; k est la constante de raideur du ressort et x est le d&#xE9;placement par rapport &#xE0; la position d&#x2019;&#xE9;quilibre.Selon la deuxi&#xE8;me loi de Newton, la r&#xE9;sultante des forces agissant sur un objet est &#xE9;gale au produit de sa masse et de son acc&#xE9;l&#xE9;ration. En substituant la force du ressort dans l&#x2019;expression de la deuxi&#xE8;me loi de Newton, on obtient<figure class="image image-style-align-center image_resized" style="display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;width:11.81%;"><img style="aspect-ratio:81/44;" src="https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40597/40597_002_editor_40597.svg" alt="40597_002.svg" /></figure>Lorsque l&#x2019;acc&#xE9;l&#xE9;ration est exprim&#xE9;e comme la d&#xE9;riv&#xE9;e seconde du d&#xE9;placement par rapport au temps.En r&#xE9;organisant les termes, on aboutit &#xE0; la forme canonique de l&#x2019;&#xE9;quation diff&#xE9;rentielle lin&#xE9;aire du second ordre :<figure class="image image-style-align-center image_resized" style="display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;width:15.37%;"><img style="aspect-ratio:148/47;" src="https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40597/40597_003_editor_40597.svg" alt="40597_003.svg" /></figure>Cette &#xE9;quation d&#xE9;crit un mouvement harmonique simple et constitue un mod&#xE8;le fondamental pour l&#x2019;&#xE9;tude des vibrations m&#xE9;caniques et des syst&#xE8;mes oscillatoires.

Introduction aux équations différentielles

Une &#xE9;quation diff&#xE9;rentielle est une expression math&#xE9;matique qui &#xE9;tablit une relation entre une fonction et ses d&#xE9;riv&#xE9;es. Ces ...

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Differential Equations

Équations différentielles

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMES ET CONCEPTS CLÉS

Introduction to Differential Equations

modeling motion with second-order equations

Differential equations connect a function with its derivatives. They are used to describe changing systems in science and engineering. A differential equation is classified by order, which is the highest derivative it contains. A first-order equation includes only the first derivative, while a second-order equation includes the second derivative of the unknown function.

A common second-order differential equation comes from a spring-mass system. In this idealized model, a mass is attached to a spring that follows Hooke’s Law and has no damping or external forces. When the mass moves away from equilibrium, the spring pulls it back. The restoring force is proportional to the displacement and points in the opposite direction.

Newton’s second law links that force to motion. It states that net force equals mass times acceleration. When the spring force is substituted into Newton’s law, and acceleration is written as the second derivative of displacement with respect to time, the result is the standard second-order linear differential equation for the system. This equation describes simple harmonic motion and is a key model for mechanical vibrations and oscillating systems.

Modeling Motion with Second-Order Equations

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introduction to differential equations

Differential equations connect a function with its derivatives. They are used to describe changing systems in science and engineering. A differential equation is classified by order, which is the highest derivative it contains. A first-order equation includes only the first derivative, while a second-order equation includes the second derivative of the unknown function. A common second-order differential equation comes from a spring-mass system. In this idealized model, a mass is attached to a...

modeling with differential equations

Population Growth: Exponential vs. Logistic

Population growth can be modeled with differential equations by treating population size, P(t), as a function of time. The derivative of P(t) shows how fast the population changes. A simple starting idea is that the growth rate is proportional to the population size. That assumption gives an exponential growth model. In this model, the population rises continuously and faster over time. It can be a useful first approximation, but it does not match long-term behavior in nature. Real...

separable differential equations

Solving Separable Differential Equations

A separable differential equation is a first-order differential equation that can be written with dy/dx as a product of one function of x and one function of y. This form makes it possible to separate the variables so that all y terms stay on one side and all x terms stay on the other. After the variables are separated, each side can be integrated with respect to its own variable. The result is a relationship between x and y. Depending on the functions involved, that relationship may be...

orthogonal trajectories

Perpendicular Curves in Calculus

Orthogonal trajectories are a pair of curve families that cross at right angles. In this example, the starting family is made of parabolas that open sideways along the x-axis. They share the same shape, but a scaling parameter changes how wide each curve is. Every curve in the family passes through the origin and spreads out at a different rate. To find the orthogonal trajectories, the slope of each parabola must be calculated first. The slope of a tangent shows how steep the curve is at a...

linear differential equations

Integrating Factors for Motion with Drag

The integrating factor method solves first-order linear differential equations that are not separable. It is especially useful when a system has a constant driving force and a resistive force that depends on the changing variable. In these problems, the equation can be rearranged so the left-hand side becomes a product rule after multiplication by an integrating factor. A clear example is a car moving under a constant engine force while air resistance acts against its motion. Newton’s second...

differential equations: problem solving

Differential Equations and Falling Motion

Differential equations can model the motion of a falling object when gravity and air resistance act at the same time. In this example, a heavy test weight is released from rest during a ship safety check. Gravity pulls the weight downward, and air resistance pushes upward as the speed increases. Newton’s Second Law links the net force on the weight to its acceleration. Gravity provides a constant downward force equal to mass times gravitational acceleration. Air resistance is modeled as a...

key terms and concepts

Learn how differential equations describe changing systems and how a spring-mass model leads to a second-order equation for simple harmonic motion.

Modeling Motion with Second-Order Equations | JoVE K12

The JoVE Core Calculus collection provides a comprehensive visual guide to the entire calculus sequence, seamlessly connecting mathematical theory to real-world applications in physics and economics. Through dynamic animated lessons, the course transitions smoothly from foundational single-variable concepts to advanced multivariable topics. Students will explore everything from standard differentiation and integration to spatial vectors, multi-dimensional derivatives, and complex vector fields. By breaking down abstract coordinate systems, infinite series, and spatial motion, this structured approach builds the robust analytical skills and advanced mastery essential for STEM success.

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Modeling Motion with Second-Order Equations

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