Name: beam deflection under distributed load
Uploaded: 2024-05-23T13:00:02.000Z
Duration: 1 min 16 s
Channel: JoVE

כאשר קרן נושאת עומס מבוזר, כוח הגזירה ומומנט הכיפוף בכל נקודה על הקרן יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה דיפרנציאלית.
משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שלישי נוצרת על ידי הבחנה נוספת של הביטוי והנחה שהקשיחות הגמישה היא קבועה.
הבחנה נוספת, יוצרת משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר רביעי. משוואה זו שולטת למעשה בצורה או בעקומה האלסטית שהקרן תיקח כאשר היא תומכת בעומס מבוזר.
על ידי הכפלת המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית מסדר רביעי בקבוע הקשיחות הגמיש ושילובו ארבע פעמים, ניתן לקבל ביטוי לעקומה.
הקבועים במשוואה המגדירים את עקומת הקרן מוכתבים על ידי תנאי קצה, כגון הטיה או סטייה מתמיכות, והאם כוח הגזירה ומומנט הכיפוף בטלים בקצה החופשי של קרן קנטיליבר או שרק מומנט הכיפוף הוא אפס בשני קצותיה של קרן נתמכת.
טכניקה זו מחשבת במדויק עקומות עבור קורות קנטיליות או נתמכות עם עומסים מבוזרים. עם זאת, תגובות התמיכה של אלומות תלויות גורמות לאי סדירות גזירה, הדורשות פונקציות נפרדות עבור הגדרת העקומה באורך מלא.

עקומה אלסטית מהתפלגות העומס

<div style="direction: rtl;">
 ההתנהגות המבנית של קורות בעומסים מבוזרים היא קריטית לניתוח הנדסי, המתמקד בחיזוי האופן שבו קורות מתכופפות ומגיבות בתנאים כאלu. סוגים שונים של קורות (למשל, זיזיות, נתמכות או תלויות) מתנהגות בצורה שונה בתנאי עומס מבוזרים.
 
 עבור כל הקורות, הניתוח של תגובת הקורה לעומסים מפוזרים מתחיל בהבנת הקשר בין העומס של הקורה לבין כוחות הגזירה ומומנטי הכפיפה שנוצרו. בתחילה, קשר זה מתבטא כמשוואה דיפרנציאלית.
 
 <img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15668/15668_Equation_1.svg" style="text-align: center; height: 32px;">
 בידול נוסף של ביטוי זה, בהנחה שגמישות הקורה קבועה, מוביל למשוואה דיפרנציאלית מורכבת יותר המתארת ​​את עקומת הסטייה של הקורה או כיצד היא תתכופף תחת העומס.
 
 <img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15668/15668_Equation_2.svg" style="text-align: center; height: 40px;">
 משוואה מורכבת זו משולבת מספר פעמים כדי לקבוע את הצורה האמיתית של עקומה זו. כל שלב אינטגרציה מציג קבוע שחייב להיות מוגדר על ידי תנאי הגבול של הקורה, כגון האופן שבו הקורה נתמכת או מחוברת בקצותיה.
 
 <img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/15668/15668_Equation_3.svg" style="text-align: center; height: 32px;">
 תנאי הגבול משתנים בהתאם לאופן שבו הקורה נתמכת. לדוגמה, לקורה זיזית,, קבועה בקצה אחד וחופשית בקצה השני, יהיו אילוצים שונים לגבי סטייה וכוח בכל קצה. לעומת זאת, לקורה נתמכת יהיו תנאים ממוקדים בעיקר בנקודות התמיכה. מאתגר במיוחד הוא הניתוח של קורות תלויות, כאשר חלקים מהקורה משתרעים מעבר לתומכות שלה. מקטעים אלו חווים כוחות ייחודיים ומומנטי כיפוף, הדורשים חישובים ברורים כדי לתאר במדויק את התנהגות הקורה לכל אורכה. הבנה מפורטת זו מבטיחה שמבנים בטוחים ופונקציונליים.
 
</div>

כאשר קרן נושאת עומס מבוזר, כוח הגזירה ומומנט הכיפוף בכל נקודה על הקרן יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה דיפרנציאלית.
צו שלישי...

Education

JoVE Core

Mechanical Engineering

הנדסת מכונות

Unit 1

יחידה 1

Deflection of Beams

נְטִיַּת קוֹרוֹת

KEY TERMS AND CONCEPTS

מונחי מפתח ומושגים

Elastic Curve from the Load Distribution

beam deflection under distributed load

Beam deflection under distributed load is a key part of beam analysis in engineering. It helps predict how a beam bends and reacts when a load is spread along its length. Engineers use this relationship to judge whether a structure will stay safe and functional.

The analysis starts with the link between load, shear force, and bending moment. These quantities can be written in differential form. When beam flexibility is treated as constant, further differentiation leads to a higher-order differential equation for the deflection curve, which is the shape the beam takes as it bends.

Finding the actual curve requires integrating the equation several times. Each integration adds a constant that must be determined from boundary conditions. Boundary conditions depend on how the beam is supported or connected at its ends.

Different beam types need different boundary conditions. A cantilever beam is fixed at one end and free at the other, so its deflection and force limits are set differently at each end. A supported beam is handled mainly at the support points.

Overhanging beams are more complex because part of the beam extends beyond the supports. Those outer sections experience unique forces and bending moments. They need separate calculations so the behavior along the full beam length can be described accurately.

Beam Deflection Under Distributed Load

deformation of a beam under transverse loading

deformation-of-a-beam-under-transverse-loading

Beam Deflection from Loads and Supports

Beam deflection depends on the loads on a beam and the support conditions at its ends. For indeterminate beams, especially those with overhanging parts and multiple concentrated loads, careful analysis is needed to predict how the beam will bend. The first step is to draw an accurate free-body diagram. A free-body diagram shows the forces and moments acting on the beam. It helps reveal how the bending moment changes along the beam length. The bending moment diagram also shows how the beam...

equation of the elastic curve

Beam Deflection and Boundary Conditions

Beam deflection and boundary conditions help describe how a beam bends under load. In structural engineering, the curvature of a plane curve shows how sharply the beam bends. That curvature is found from the curve’s first and second derivatives. A cantilever beam with a point load at its free end is a common example. A diving board works like this type of beam. When slopes are small, the beam’s elastic curve becomes the main shape used in the analysis. The governing equation connects bending...

elastic curve from the load distribution

Beam deflection under distributed load is a key part of beam analysis in engineering. It helps predict how a beam bends and reacts when a load is spread along its length. Engineers use this relationship to judge whether a structure will stay safe and functional. The analysis starts with the link between load, shear force, and bending moment. These quantities can be written in differential form. When beam flexibility is treated as constant, further differentiation leads to a higher-order...

deflection of a beam

Beam Slope and Deflection by Singularity

Beam slope and deflection can be found with singularity functions when beam loading is hard to write as one simple equation. This method is useful in structural engineering because it helps describe beams under several loads without breaking the problem into many separate cases. Singularity functions are mathematical tools for showing discontinuities in a load, shear force, or bending moment equation. They are especially helpful when a load acts at a single point or over a set interval. In the...

method of superposition

Beam Deflection Under Combined Loads

Beam deflection under combined loads can be found with the method of superposition. This structural engineering method is used to analyze how multiple loads affect a beam. It works by finding the slope and deflection from each load separately, then adding those results together. The method applies only when the beam stays within its elastic limit. In that range, the material deforms in a linearly elastic way. That makes it valid to combine the effects of separate loads without changing the...

moment-area theorems

Beam Deflection Using Moment-Area Rules

The moment-area theorems help describe beam bending in structural engineering. They are often used for building floor supports and other beams under load. The theorems use the elastic curve, which is the shape a beam takes as it deforms. The first theorem links slope change to area on an M/EI diagram. Here, M is the bending moment, E is the modulus of elasticity, and I is the moment of inertia. When M/EI is plotted along the beam length, the area under the curve gives the total rotation...

beams with symmetric loadings

Moment-Area Method for Cantilever Deflection

The moment-area method is used in structural engineering to find the slope and deflection of a beam under load. It is especially useful for a cantilever beam with a concentrated load and a moment at the free end. The analysis begins with a free-body diagram. This diagram helps calculate the reactions at the fixed end. After that, the bending moment diagram is drawn to show how the bending moment changes along the beam. Points where the bending moment is zero are important in this step. Next,...

beams with unsymmetric loadings

Beam Deflection and Level Points

Beam deflection and level points can be found for a supported beam under unsymmetrical loadings using moment-area theorems. This type of analysis helps show how a beam bends when forces are spread unevenly along it. It is an important part of structural engineering because it links load patterns to beam response. The first moment-area theorem is used to find the slope at any point on the beam. It states that the change in slope between two points equals the area under the moment diagram over...

maximum deflection

Locating the Beam’s Highest Deflection

Maximum deflection in a supported beam depends on where the load is placed. With an unsymmetrical load, such as a train moving across a bridge, the beam may bend most at a point that is not the midpoint. Finding that point is important for judging stress and deflection in the structure. The point of maximum deflection is called point O. At point O, the tangent to the deflection curve is horizontal. That means the slope is zero there. To locate point O, the slope at any point X along the beam...

key terms and concepts

Learn how distributed loads create shear force, bending moment, and beam deflection. See how boundary conditions change for cantilever, supported, and overhanging beams.

Beam Deflection Under Distributed Load | JoVE K12

JoVE Core Mechanical Engineering offers concise, easy-to-understand animated videos covering key topics such as equilibrium, forces, truss analysis, and structural mechanics. Explore their real-world applications, and witness these concepts in action through scientist-led experiments.

mechanical engineering

Beam Deflection Under Distributed Load

Description

Transcript