Name: testing system stability with convolution
Uploaded: 2024-09-26T13:16:56.000Z
Duration: 1 min 24 s
Channel: JoVE

ניתן לוודא את יציבות המערכות באמצעות פיתול.
אם לאות קלט יש קבוע המבטיח שהמודולוס של האות לעולם לא יעלה עליו בשום נקודת זמן, הוא נחשב לתחום (boundbound).
מערכת היא פלט מוגבל קלט, הידוע גם בשם יציב BIBO אם כל אות קלט מוגבל נתון מייצר תמיד פלט מוגבל. האיור ממחיש דוגמאות של מערכות יציבות BIBO ומערכות שאינן יציבות BIBO.
אינטגרל הקונבולוציה יכול לשמש להערכת יציבות BIBO כאשר קלט זמן רציף מוגבל מוחל על מערכת ליניארית בזמן אינווריאנטי.
גבולות אות הקלט יכולים להיות מיוצגים באמצעות קבוע, ונוסחאות אינטגרל הפיתול קובעות את הפלט התחום.
אם האינטגרנד סופי, הפלט סופי, כלומר מערכת זמן רציף עם תגובת דחף אינטגרטיבית לחלוטין היא יציבה BIBO.
אותו תהליך חל על מערכות זמן בדידות; פלט מוגבל מושג באמצעות אינטגרל הפיתול.
הפלט סופי אם למונח הסיכום יש ערך סופי, המציין שמערכת זמן בדידה היא יציבה BIBO אם תגובת הדחף שלה ניתנת לסיכום מוחלט.

יציבות bibo של מערכות בזמן רציף ובזמן בדיד

<div style="direction: rtl;">
 אחד המושגים הבסיסיים בעיבוד אותות הוא יציבות מערכת, אשר לעיתים קרובות נמדדת באמצעות קונבולוציה. כדי שמערכת תיחשב כיציבה במובן של כניסה חסומה - יציאה חסומה (BIBO), כל אות קלט חסום חייב להפיק אות פלט חסום. אות קלט חסום הוא כזה שבו המודולוס שלו אינו עולה על קבוע מסוים בכל נקודה בזמן.
 
 כדי לקבוע יציבות BIBO, משתמשים באינטגרל הקונבולוציה כאשר אות קלט חסום בזמן רציף מופעל על מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI). החסימה של אות הקלט מיוצגת באמצעות קבוע, ואינטגרל הקונבולוציה עוזר לקבוע אם הפלט נשאר חסום. מבחינה מתמטית, משמעות הדבר היא שאם פונקציית האינטגרל בקונבולוציה היא סופית, הפלט גם יהיה סופי. באופן ספציפי, מערכת בזמן רציף היא יציבה במובן של BIBO אם התגובה להלם שלה היא אינטגרבילית, כלומר אם האינטגרל של הערך המוחלט של התגובה להלם הוא סופי ומיוצג כך:
 
 <img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16053/16053_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 36px;">
 תנאי זה מבטיח שהפלט יישאר בגבולות עבור כל אות קלט חסום, ובכך מאשר את יציבות המערכת.
 
 עיקרון דומה חל גם על מערכות בזמן בדיד. יציבות BIBO במערכות בזמן בדיד נקבעת באמצעות סכימה של סדרת הקונבולוציה. עבור מערכת בזמן בדיד, 
 
 <img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16053/16053_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 28px;">
 במילים אחרות, אם סכום הערכים המוחלטים של התגובה להלם הוא סופי, המערכת תפיק פלט חסום עבור כל קלט חסום, ובכך תאושר יציבות BIBO.
 
 החשיבות של יציבות BIBO טמונה ביישומה במערכות בעולם האמיתי, שבהן הבטחת פלטים שנשארים בתוך גבולות מקובלים בתגובה לקלטים חסומים היא קריטית. הבנה ויישום של מושגי הקונבולוציה ואינטגרלים של תגובה להלם הם חיוניים לתכנון ולניתוח מערכות יציבות הן במישור הזמן הרציף והן במישור הזמן הבדיד.
 
</div>

יציבות BIBO של מערכות בזמן רציף ובזמן בדיד

ניתן לוודא את יציבות המערכות באמצעות פיתול.
אם לאות קלט יש קבוע המבטיח כי המודולוס של האות לעולם לא יעלה על ...

bibo-stability-of-continuous-and-discrete-time-systems

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

הנדסה חשמלית

Unit 1

יחידה 1

Linear Time- Invariant Systems

מערכות ליניאריות בעלות זמן בלתי משתנה

KEY TERMS AND CONCEPTS

מונחים ומושגים מרכזיים

BIBO stability of continuous and discrete -time systems

testing system stability with convolution

System stability in signal processing is often tested with convolution. A system is BIBO stable, or bounded-input bounded-output stable, when every bounded input signal produces a bounded output signal. A bounded input signal has a modulus that never exceeds a set constant at any time.

For a continuous-time Linear Time-Invariant, or LTI, system, BIBO stability is checked with the convolution integral. The input is bounded by a constant, and the convolution integral shows whether the output stays bounded too. If the integrand in the convolution integral remains finite, the output remains finite as well. A continuous-time system is BIBO stable when its impulse response is integrable, which means the integral of the absolute value of the impulse response is finite.

The same idea applies to discrete-time systems. Here, stability is checked through the convolution series rather than the convolution integral. A discrete-time system is BIBO stable if the summation is finite, which means its impulse response is summable. In other words, if the sum of the absolute values of the impulse response is finite, any bounded input will still produce a bounded output.

BIBO stability matters in real-world system design and analysis. It helps ensure that outputs stay within acceptable limits when inputs are bounded. Understanding convolution and impulse response conditions is key for studying stable continuous-time and discrete-time systems.

Testing System Stability with Convolution

testing-system-stability-with-convolution

linear time-invariant systems

Impulse Response in LTI Systems

Linear time-invariant systems are defined by linear elements and constant parameters. A system is linear when it shows homogeneity and additivity. These two ideas together are called the superposition property. Superposition is a key rule for analyzing linear systems. For a linear time-invariant system, the response to an impulse at the input can describe the whole input-output behavior. An impulse is a very short, sudden input. Once the impulse response is known, the response to other inputs...

impulse response

RC Circuit Impulse Response

RC circuit impulse response describes how the capacitor voltage changes after a brief input signal. In this system, the voltage source is the input, and the capacitor voltage is the output. The state of the circuit before and after excitation is defined separately so the response can be tracked clearly. Kirchhoff’s law is used to write the input signal equation for the RC circuit. The capacitor current and voltage provide the output relation. After substituting the current expression and...

convolution: math, graphics, and discrete signals

convolution-math-graphics-and-discrete-signals

Convolution in LTI Systems and Signal Response

Convolution describes how a linear time-invariant, or LTI, system responds to an input signal. In an LTI system, the convolution of two signals is written with a convolution operator. The method assumes that all initial conditions are zero. The convolution integral can be split into two parts. These are the zero-input response, also called the natural response, and the zero-state response, also called the forced response. The initial time is marked as t0. To make the integral easier to work...

convolution properties i

LTI System Tricks for Easier Convolution

LTI system properties can make convolution easier to work with. LTI stands for linear time-invariant. In these systems, the input signal and the impulse response can be handled in helpful ways that simplify the final output. The commutative property means the input and the impulse response can be switched without changing the result. The associative property says that when three functions are convolved, the order of grouping does not change the answer. For two LTI systems in series, this lets...

convolution properties ii

Convolution Rules for Width and Area

Convolution rules help describe how an output signal changes when two signals are combined in an LTI system. The main rules here are width, area, differentiation, and integration. These rules make convolution easier to analyze and use in signal processing. The width property says that if two input signals last for T1 and T2, the output response lasts for T1 plus T2. This is true no matter what shape the two functions have. For example, convolving two rectangular pulses with durations of 2...

deconvolution

Finding an Impulse Response from Signals

Deconvolution is a method for finding a system’s impulse response from known input and output signals. It is also called inverse filtering. This technique is useful when the system’s characteristics are not known directly and must be inferred from the signals that can be observed. One common way to do deconvolution is polynomial division. In this approach, the input and output sequences are treated as coefficients of polynomials written in descending order. Long division is then used to divide...

bibo stability of continuous and discrete -time systems

System stability in signal processing is often tested with convolution. A system is BIBO stable, or bounded-input bounded-output stable, when every bounded input signal produces a bounded output signal. A bounded input signal has a modulus that never exceeds a set constant at any time. For a continuous-time Linear Time-Invariant, or LTI, system, BIBO stability is checked with the convolution integral. The input is bounded by a constant, and the convolution integral shows whether the output...

key terms and concepts

Learn how convolution is used to test BIBO stability in continuous-time and discrete-time systems by checking impulse response integrals and sums.

Testing System Stability with Convolution | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Testing System Stability with Convolution

Description

Transcript

Tags