Name: transfer functions from signal-flow graphs
Uploaded: 2024-11-21T14:54:07.000Z
Duration: 1 min 20 s
Channel: JoVE

הכלל של מייסון מפשט את חישוב פונקציית ההעברה מתוך גרפים של זרימת אותות, ומעריך אלמנטים שונים.
רווח לולאה מחושב על ידי מעקב אחר נתיב מצומת בחזרה לעצמו, תוך לקיחת המכפלה של רווחי ענפים.
רווח בנתיב קדימה כרוך במעקב אחר נתיב מהקלט לצומת הפלט, חישוב מכפלת הרווחים.
לולאות שאינן נוגעות הן לולאות ללא צמתים משותפים. הרווח הוא תוצר של רווחי לולאה מלולאות נפרדות אלה.
פונקציית ההעברה מחושבת מאלמנטים אלה באמצעות כלל מייסון.
דלתא נגזרת מסדרות מתחלפות של סכומים של רווחי לולאה ורווחי לולאה שאינם נוגעים בהם שנלקחים שניים או יותר בכל פעם. Delta_k נוצר על ידי הרחקת רווחי לולאה מדלתא המצטלבים עם נתיב kth קדימה.
כדי לחשב את פונקציית ההעברה של מערכת, מזוהים רווחי הנתיב קדימה, ורווחי הלולאה מוערכים.
לאחר מכן, מזוהים הלולאות שאינן נוגעות והרווחים המתאימים להן.
דלתא מחושבת, Delta_k מוערכת על ידי הסרת רווחי לולאה מצטלבים.
לבסוף, ערכים אלה מוחלפים בחוק מייסון כדי להניב את פונקציית ההעברה של המערכת.

חוק מייסון

<div style="direction: rtl">
חוק מייסון הוא כלי רב עוצמה במערכות בקרה ובתחום עיבוד האותות. הוא מפשט את חישוב פונקציות התמסורת מתוך גרפי זרימת אותות. שיטה זו מתבססת על רכיבים שונים, כולל רווחי לולאות, רווחי נתיבים קדמיים ולולאות שאינן נוגעות, כדי לקבוע את פונקציית התמסורת ביעילות.

רווח לולאה נקבע על ידי זיהוי ומעקב אחר נתיב מצומת אחד בחזרה אליו. חישוב זה כולל הכפלת הרווחים של הענפים לאורך הלולאה. רווח של כל לולאה חשוב לחישובים נוספים ותורם להתנהגות הכללית של המערכת.

רווח נתיב קדמי מחושב על ידי מעקב אחר נתיב מהצומת הכניסה לצומת היציאה. כמו ברווח הלולאה, הוא כולל את מכפלת הרווחים לאורך הנתיב הזה. נתיבים קדמיים מייצגים את ההשפעה הישירה של הכניסה על היציאה והם חשובים לקביעת פונקציית התמסורת.

לולאות שאינן נוגעות הן לולאות בגרף זרימת האות שאין להן צמתים משותפים. רווח הלולאות שאינן נוגעות הוא מכפלת רווחי הלולאות האישיים. לולאות אלה חשובות מאחר שהן משפיעות על חישוב הדטרמיננטה, דלתא (Δ), המשמשת בחוק מייסון.

דלתא (Δ) נגזרת מסדרת סכומים מתחלפת, הכוללת רווחי לולאות ורווחים של לולאות שאינן נוגעות בזוגות או יותר בכל פעם. מתמטית, ניתן להביע זאת כ:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16108/16108_Equation_PT_001.svg" style="height: 50px;">

Δ_k היא גרסה מותאמת של Δ, בה מוציאים רווחי לולאות שחוצות את הנתיב הקדמי של k. החרגה זו חשובה לחישוב מדויק של פונקציית התמסורת של המערכת.

לצורך חישוב פונקציית התמסורת של מערכת באמצעות חוק מייסון, יש לבצע את השלבים הבאים:

<ol>
	<li style="text-align: right;">לזהות את כל רווחי הנתיבים הקדמיים (T_k) מהכניסה ליציאה.</li>
	<li style="text-align: right;">להעריך את כל רווחי הלולאות (L_i) ולזהות לולאות שאינן נוגעות.</li>
	<li style="text-align: right;">לחשב את Δ על ידי חיבור וחיסור מכפלות רווחי הלולאות ורווחי הלולאות שאינן נוגעות כמתואר.</li>
	<li style="text-align: right;">עבור כל נתיב קדמי, לחשב את Δ_k על ידי הוצאת רווחי לולאות חוצות.</li>
	<li style="text-align: right;">להציב ערכים אלה בחוק מייסון, הנתון על ידי:</li>
</ol>

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16108/16108_Equation_PT_002.svg" style="height: 34px;">

באמצעות שלבים אלו, חוק מייסון מספק גישה מאורגנת ושיטתית להסקת פונקציית התמסורת של מערכות מורכבות, מה שהופך אותו לכלי חיוני בתאוריית הבקרה ובתחום עיבוד האותות.
</div>

הכלל של מייסון מפשט את חישוב פונקציית ההעברה מתוך גרפים של זרימת אותות, ומעריך אלמנטים שונים.
רווח לולאה מחושב על ידי מעקב אחר נתיב ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

הנדסה חשמלית

Unit 1

יחידה 1

Diagrams and Signal Flow Graphs

דיאגרמות וגרפים של זרימת אותות

KEY TERMS AND CONCEPTS

מונחי מפתח ומושגים

Mason&#39;s Rule

transfer functions from signal-flow graphs

Mason's rule helps students find transfer functions from signal-flow graphs in control systems and signal processing. It gives a clear path for solving graphs that can look complicated at first. The method uses loop gains, forward-path gains, and non-touching loops to organize the calculation.

A loop gain comes from tracing a path from a node back to the same node. The gain is the product of the branch gains along that loop. Each loop gain matters because it feeds into the later transfer-function steps and affects the behavior of the system.

A forward-path gain is found by tracing a path from the input node to the output node. It is also the product of the gains along that route. Forward paths show the direct effect of the input on the output, so they are essential for the final result.

Non-touching loops are loops that do not share any common nodes. Their combined gain is the product of the individual loop gains. These loop groups matter because they are used when building the determinant, Delta (&amp;#916;), in Mason's rule.

Delta is formed from an alternating series of sums and subtractions. It uses loop gains and the gains of non-touching loops taken two or more at a time. For each forward path, a modified value, Delta k, is also found. Delta k leaves out any loop gains that intersect with the kth forward path, which is needed for an accurate transfer function.

To use Mason's rule, first identify all forward-path gains, Tk, from input to output. Then evaluate all loop gains, Li, and find any non-touching loops. Next, calculate Delta, find each Delta k by removing intersecting loop gains, and substitute the values into Mason's rule. This gives a systematic way to determine the transfer function of complex systems in control theory and signal processing.

Transfer Functions from Signal-Flow Graphs

transfer-functions-from-signal-flow-graphs

elements of block diagrams

Block Diagrams in Control Systems

Block diagrams show the input-output relationships in a system. They help students see how one signal affects another. A heating system is a simple example. The set temperature turns the furnace on, and the room warms to the desired level. Block diagrams can model both linear and nonlinear systems. Linear systems often use Laplace transform variables. Nonlinear systems are usually described with time domain variables. This makes block diagrams useful for many kinds of control problems. A...

relation between mathematical equations and block diagrams

relation-between-mathematical-equations-and-block-diagrams

Spring-Mass-Damper Laplace Block Diagram

A spring-mass-damper system can be written as a second-order differential equation. This equation describes how the system changes over time. When the equation is transformed into the Laplace domain with zero initial conditions, it becomes easier to analyze and rearrange. The Laplace transform changes a differential equation into an algebraic equation. That makes it simpler to isolate the output. For the standard spring-mass-damper model, the transformed equation gives the output in a form...

block diagram reduction

Simplifying Control System Block Diagrams

Simplifying control system block diagrams helps make a system easier to analyze. The goal is to reduce several connected blocks to one block so the transfer function can be found more easily. This process keeps the system behavior the same while making the diagram simpler to work with. A branch point is the place where one signal splits into multiple paths. To simplify the diagram, the branch point can be moved to a new location. The new position must preserve the mathematical relationship...

multi-input and multi-variable systems

Cruise Control and Aircraft System Models

Cruise control systems show how a control system can handle more than one input. In a car, the driver sets a desired speed, and the system also responds to outside disturbances such as changes in road slope. The throttle is adjusted so the vehicle speed stays as close as possible to the target value. When the disturbance is ignored, the cruise control block diagram can be reduced to a transfer function. This transfer function describes how the desired speed input, R(s), affects the actual...

mason&#39;s rule

Mason's rule helps students find transfer functions from signal-flow graphs in control systems and signal processing. It gives a clear path for solving graphs that can look complicated at first. The method uses loop gains, forward-path gains, and non-touching loops to organize the calculation. A loop gain comes from tracing a path from a node back to the same node. The gain is the product of the branch gains along that loop. Each loop gain matters because it feeds into the later...

signal flow graphs

Mason’s Rule in Signal Flow Graphs

Signal-flow graphs are a clear way to represent control systems. They offer an alternative to traditional block diagrams. In these graphs, branches stand for systems and nodes stand for signals. Arrows show the direction of signal flow, and the transfer function is written next to each arrow. Signal-flow graphs also handle subtraction in a different way from block diagrams. In a block diagram, summing junctions often use negative signs. In a signal-flow graph, those negative signs are built...

sfg algebra

Signal Flow Graph Branch Rules

Signal flow graph (SFG) branch rules show how signals move through a control system. Each node in an SFG stands for a variable. The value at a node is the sum of all signals entering it. That summed value then travels through every branch leaving the node. Branches connect the nodes and show the relationship between variables. Each branch has a gain, which tells how strongly the signal is passed along. When several branches enter the same node, their signals are added together. When one node...

key terms and concepts

Learn how Mason's rule uses forward paths, loop gains, and non-touching loops to calculate transfer functions from signal-flow graphs in control systems.

Transfer Functions from Signal-Flow Graphs | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Transfer Functions from Signal-Flow Graphs

Description

Transcript