Name: root locus paths and asymptotes
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

בניית מוקד השורש כרוכה בקביעת מספר הענפים השווה למספר הקטבים בלולאה סגורה. מוקד השורש סימטרי לגבי הציר הממשי.
מוקד השורש קיים בחלק של הציר הממשי שבו סכום המספר הכולל של קטבים סופיים בלולאה פתוחה ואפסים משמאל הוא אי-זוגי.
מקורו בקטבים של לולאה פתוחה, הלוקוס עוקב אחר קטבי מערכת בלולאה סגורה עם רווח הולך וגדל ומסתיים באפסים בלולאה פתוחה, שם קטבי המערכת מתייצבים עם רווח עולה.
לפונקציה שמתקרבת לאינסוף כש-s מתקרבת לאינסוף יש קוטב באינסוף. אם הוא מתקרב לאפס, יש לו אפס באינסוף.
כאשר מוקד השורש נע לעבר האינסוף, הוא מתקרב לקווים ישרים מסוימים המכונים אסימפטוטים. עבור מערכת נתונה, מחושבים היירוט והזווית של הציר האמיתי. ככל שהרווח גדל, הזוויות מתחילות לחזור על עצמן.
המשוואה שלהם, המבוססת על יירוט וזווית של ציר אמיתי, חושפת את מסלולו של הלוקי מהקטבים אל האינסוף.
מקורו של הלוקוס בקטבים של הלולאה הפתוחה והוא מסתיים באפסים של הלולאה הפתוחה.

בניית לוקוס השורשים

<div style="direction: rtl">

בניית לוקוס השורשים כוללת מספר שלבים מרכזיים כדי לנתח ולחזות את התנהגות קטבי המערכת כאשר ההגבר משתנה. מספר הענפים בלוקוס השורשים שווה למספר הקטבים בלולאה הסגורה, והוא סימטרי ביחס לציר הממשי.

לערכי הגבר חיוביים, לוקוס השורשים קיים על הציר הממשי משמאל למספר אי-זוגי של קטבים או אפסים של הלולאה הפתוחה. לוקוס השורשים מתחיל בקטבים של הלולאה הפתוחה ומתאר את מסלולי הקטבים בלולאה הסגורה ככל שההגבר גדל. הוא מסתיים באפסים של הלולאה הפתוחה, שם הקטבים של המערכת מתייצבים ככל שההגבר ממשיך לעלות.

אם פונקציה מתקרבת לאינסוף כאשר s מתקרב לאינסוף, יש לה קוטב באינסוף. לעומת זאת, אם פונקציה מתקרבת לאפס, יש לה אפס באינסוף. כאשר לוקוס השורשים מתרחב לכיוון האינסוף, הוא עוקב אחר אסימפטוטות ספציפיות. משוואות האסימפטוטות הללו נקבעות על פי נקודת החיתוך עם הציר הממשי והזוויות שלהן, שמצביעות על המסלולים של לוקוס השורשים מקטבים לאינסוף.

כדי לחשב את המסלולים למערכת נתונה, יש לקבוע את נקודת החיתוך עם הציר הממשי ואת הזוויות של האסימפטוטות. הזוויות נגזרות על פי מספר הקטבים והאפסים, והן מתחילות לחזור על עצמן ככל שההגבר גדל. הנוסחה לזוויות האסימפטוטות היא:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16122/16122_PT_Equation_001.svg" style="height: 30px;">

כאשר k הוא מספר שלם, n הוא מספר הקטבים, ו-m הוא מספר האפסים.

הגרף השלם של לוקוס השורשים מתחיל בקטבים של הלולאה הפתוחה ומסתיים באפסים של הלולאה הפתוחה. הגרף עוקב אחר הכללים שמנחים את שיטת לוקוס השורשים, ומאפשר ניתוח יסודי של יציבות המערכת ותגובתה.

באמצעות שלבים אלו, מהנדסים יכולים להשתמש בשיטת לוקוס השורשים לעיצוב וכיול מערכות בקרה, ולוודא ביצועים ויציבות רצויים בתנאי פעולה שונים. הגישה מספקת המחשה ברורה של האופן שבו הקטבים של המערכת נעים עם עליית ההגבר, ומסייעת בתכנון אסטרטגיות בקרה יציבות.

</div>

בניית מוקד השורש כרוכה בקביעת מספר הענפים השווה למספר הקטבים בלולאה סגורה. מוקד השורש סימטרי בערך ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

הנדסה חשמלית

Unit 1

יחידה 1

Root-Locus Method

שיטת מקום השורשים

KEY TERMS AND CONCEPTS

מונחים ומושגים מרכזיים

Construction of Root Locus

root locus paths and asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between.

The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or zeros. The paths begin at the open-loop poles and move as gain increases.

As gain continues to rise, the root locus ends at the open-loop zeros. At those points, the system poles settle. If a function goes to infinity as s approaches infinity, it has a pole at infinity. If a function goes to zero, it has a zero at infinity.

When the root locus extends toward infinity, it follows asymptotes. An asymptote is a line that shows the direction of a branch far from the poles and zeros. The asymptotes are found from the real-axis intercept and their angles. The angle formula depends on the number of poles, n, the number of zeros, m, and an integer k. These angles repeat as gain increases.

A complete root locus plot starts at the open-loop poles and ends at the open-loop zeros. It follows the rules of the root locus method so stability and response can be studied and predicted. Engineers use this plot to design and tune control systems for the desired performance across different operating conditions. The result is a clear picture of how system poles migrate with increasing gain.

Root Locus Paths and Asymptotes

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

Root locus and closed-loop stability are key ideas in control systems. A basic thermostat is an open-loop system, so its transfer function poles affect the response but do not set stability. When feedback is added, the system becomes closed-loop, like an advanced thermostat that changes heating based on room temperature. In a closed-loop system, stability depends on the new poles of the closed-loop transfer function. If those poles move into the unstable region, the system can start to...

vector representation of complex numbers

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

Root locus helps show how cruise control stays stable as conditions change. In a car, cruise control keeps a set speed by adjusting the gas pedal automatically. It keeps checking the car’s speed and makes small pedal changes to hold that target speed. This system can be drawn as a block diagram, and its transfer function gives the math model. The model is useful when the car goes uphill, downhill, or faces strong wind resistance. To find the system poles for different pedal forces, the...

properties of the root locus

Root Locus Angle and Gain Rules

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response. A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles...

construction of root locus

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between. The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or...

plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

Root locus rules help describe how oscillator feedback systems behave as gain changes. The Hartley oscillator is one example of a positive feedback system. It keeps oscillating by feeding the output back to the input in phase, which reinforces the signal. Positive feedback systems can also be treated as negative feedback systems with the feedback signal inverted. In root locus analysis, the locus is the set of points on the s-plane where the transfer function angle equals 360 degrees. The...

key terms and concepts

Learn how root locus branches move from open-loop poles to zeros, use asymptotes, and show how gain affects stability in control systems.

Root Locus Paths and Asymptotes | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Root Locus Paths and Asymptotes

Description

Transcript