Name: plotting points with polar coordinates
Uploaded: 2025-11-26T05:44:19.000Z
Duration: 1 min 24 s
Channel: JoVE

חשבו על רחפן שטס במטוס ה-xy.כדי לאתר את מיקומו, יש צורך בשתי מדידות.הראשון הוא המרחק מנקודה מרכזית, בדרך כלל המקור. השני הוא הזווית שהקו הזה יוצר עם ציר ה-x החיובי. יחד, שני הערכים הללו מגדירים את מיקום המל"ט בקואורדינטות קוטביות.במערכת זו, הנקודה במרכז נקראת הקוטב, והקרן האופקית מהקוטב היא ציר הקוטב.הזווית נמדדת החל מציר הקוטב. זוויות נגד כיוון השעון הן חיוביות, בעוד שזוויות עם כיוון השעון שליליות.בהתחשב בנקודת ייחוס במישור הקואורדינטות הקוטבי, אם המזל"ט ממוקם בכיוון ההפוך לנקודה זו, ההנחה היא שהרדיוס מקבל ערך שלילי. מכיוון שהוספת כפולות של 2π אינה משנה את המיקום, לנקודה יש אינסוף ייצוגים קוטביים.קואורדינטות קוטביות וקרטזיות מקושרות על ידי פונקציות טריגונומטריות. קואורדינטות x ו-y נקבעות על ידי הכפלת הרדיוס בקוסינוס ובסינוס של הזווית. לעומת זאת, הרדיוס מתקבל ממשפט פיתגורס, והזווית מהארק-טנגנס של y על x.

קואורדינטות פולריות

Polar Coordinates

&#1502;&#1506;&#1512;&#1499;&#1514; &#1492;&#1511;&#1493;&#1488;&#1493;&#1512;&#1491;&#1497;&#1504;&#1496;&#1493;&#1514; &#1492;&#1508;&#1493;&#1500;&#1512;&#1497;&#1493;&#1514; &#1502;&#1510;&#1497;&#1506;&#1492; &#1495;&#1500;&#1493;&#1508;&#1492; &#1500;&#1502;&#1506;&#1512;&#1499;&#1514; &#1492;&#1511;&#1493;&#1488;&#1493;&#1512;&#1491;&#1497;&#1504;&#1496;&#1493;&#1514; &#1492;&#1511;&#1512;&#1496;&#1494;&#1497;&#1514; &#1500;&#1510;&#1497;&#1493;&#1503; &#1504;&#1511;&#1493;&#1491;&#1493;&#1514; &#1489;&#1502;&#1497;&#1513;&#1493;&#1512;, &#1489;&#1488;&#1502;&#1510;&#1506;&#1493;&#1514; &#1502;&#1512;&#1495;&#1511; &#1493;&#1494;&#1493;&#1493;&#1497;&#1514; &#1489;&#1502;&#1511;&#1493;&#1501; &#1511;&#1493;&#1488;&#1493;&#1512;&#1491;&#1497;&#1504;&#1496;&#1493;&#1514; x &#1493;-y. &#1502;&#1506;&#1512;&#1499;&#1514; &#1494;&#1493; &#1502;&#1493;&#1506;&#1497;&#1500;&#1492; &#1489;&#1502;&#1497;&#1493;&#1495;&#1491; &#1489;&#1502;&#1510;&#1489;&#1497;&#1501; &#1513;&#1500; &#1505;&#1497;&#1502;&#1496;&#1512;&#1497;&#1492; &#1502;&#1506;&#1490;&#1500;&#1497;&#1514; &#1488;&#1493; &#1505;&#1497;&#1489;&#1493;&#1489;&#1497;&#1514;, &#1499;&#1490;&#1493;&#1503; &#1489;&#1489;&#1506;&#1497;&#1493;&#1514; &#1508;&#1497;&#1494;&#1497;&#1511;&#1492; &#1488;&#1493; &#1492;&#1504;&#1491;&#1505;&#1492; &#1492;&#1499;&#1512;&#1493;&#1499;&#1493;&#1514; &#1489;&#1490;&#1500;&#1497;&#1501;, &#1514;&#1504;&#1493;&#1491;&#1493;&#1514; &#1488;&#1493; &#1502;&#1505;&#1500;&#1493;&#1500;&#1497;&#1501;.&#1492;&#1490;&#1491;&#1512;&#1514; &#1511;&#1493;&#1488;&#1493;&#1512;&#1491;&#1497;&#1504;&#1496;&#1493;&#1514; &#1508;&#1493;&#1500;&#1512;&#1497;&#1493;&#1514;&#1489;&#1511;&#1493;&#1488;&#1493;&#1512;&#1491;&#1497;&#1504;&#1496;&#1493;&#1514; &#1508;&#1493;&#1500;&#1512;&#1497;&#1493;&#1514; &#1504;&#1511;&#1493;&#1491;&#1492; &#1502;&#1497;&#1493;&#1510;&#1490;&#1514; &#1499;-P (r, &#952;), &#1499;&#1488;&#1513;&#1512; r &#1492;&#1493;&#1488; &#1492;&#1502;&#1512;&#1495;&#1511; &#1492;&#1512;&#1491;&#1497;&#1488;&#1500;&#1497; &#1502;&#1504;&#1511;&#1493;&#1491;&#1492; &#1511;&#1489;&#1493;&#1506;&#1492; &#1492;&#1511;&#1512;&#1493;&#1497;&#1492; &#1492;&#1511;&#1493;&#1496;&#1489; (&#1488;&#1504;&#1500;&#1493;&#1490;&#1497;&#1514; &#1500;&#1512;&#1488;&#1513;&#1497;&#1514; &#1489;&#1502;&#1506;&#1512;&#1499;&#1514; &#1492;&#1511;&#1512;&#1496;&#1494;&#1497;&#1514;), &#1493;-&#952; &#1492;&#1497;&#1488; &#1492;&#1492;&#1506;&#1514;&#1511;&#1492; &#1492;&#1494;&#1493;&#1493;&#1497;&#1514;&#1497;&#1514; &#1502;&#1499;&#1497;&#1493;&#1493;&#1503; &#1511;&#1489;&#1493;&#1506; &#1492;&#1511;&#1512;&#1493;&#1497; &#1510;&#1497;&#1512; &#1492;&#1511;&#1493;&#1496;&#1489; (&#1500;&#1512;&#1493;&#1489; &#1510;&#1497;&#1512; &#1492;-x &#1492;&#1495;&#1497;&#1493;&#1489;&#1497;). &#1492;&#1494;&#1493;&#1493;&#1497;&#1514; &#952; &#1504;&#1502;&#1491;&#1491;&#1514; &#1489;&#1512;&#1491;&#1497;&#1488;&#1504;&#1497;&#1501;; &#1492;&#1497;&#1488; &#1495;&#1497;&#1493;&#1489;&#1497;&#1514; &#1499;&#1488;&#1513;&#1512; &#1502;&#1493;&#1491;&#1491;&#1497;&#1501; 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&#1489;&#1512;&#1491;&#1497;&#1493;&#1505; &#1513;&#1500;&#1497;&#1500;&#1497; &#1502;&#1488;&#1508;&#1513;&#1512; &#1500;&#1497;&#1497;&#1510;&#1490; &#1488;&#1514; &#1488;&#1493;&#1514;&#1492; &#1504;&#1511;&#1493;&#1491;&#1492; &#1490;&#1501; &#1499;-P(&#8722;r, &#952; + &#960;).&#1492;&#1502;&#1512;&#1492; &#1489;&#1497;&#1503; &#1502;&#1506;&#1512;&#1499;&#1493;&#1514; &#1511;&#1493;&#1488;&#1493;&#1512;&#1491;&#1497;&#1504;&#1496;&#1493;&#1514;&#1499;&#1491;&#1497; &#1500;&#1492;&#1502;&#1497;&#1512; &#1489;&#1497;&#1503; &#1511;&#1493;&#1488;&#1493;&#1512;&#1491;&#1497;&#1504;&#1496;&#1493;&#1514; &#1508;&#1493;&#1500;&#1512;&#1497;&#1493;&#1514; &#1500;&#1511;&#1512;&#1496;&#1494;&#1497;&#1493;&#1514;, &#1504;&#1506;&#1494;&#1512;&#1497;&#1501; &#1489;&#1497;&#1495;&#1505;&#1497;&#1501; &#1496;&#1512;&#1497;&#1490;&#1493;&#1504;&#1493;&#1502;&#1496;&#1512;&#1497;&#1497;&#1501;:&#1502;&#1511;&#1493;&#1496;&#1489;&#1497; &#1500;&#1511;&#1512;&#1496;&#1494;&#1497;&#1514;:<figure class='image image-style-align-center image_resized' style='display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;width:50%;'><img style='aspect-ratio:1920/120;' src='https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40081/40081_Equation_1_editor_40081.svg' alt='40081_Equation_1.svg' /></figure>&#1502;&#1511;&#1512;&#1496;&#1494;&#1497;&#1514; &#1500;&#1511;&#1493;&#1496;&#1489;&#1497;:<figure class='image image-style-align-center image_resized' style='display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;width:50%;'><img style='aspect-ratio:1920/250;' src='https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40081/40081_Equation_2_editor_40081.svg' alt='40081_Equation_2.svg' /></figure>&#1497;&#1495;&#1505;&#1497;&#1501; &#1488;&#1500;&#1492; &#1502;&#1488;&#1508;&#1513;&#1512;&#1497;&#1501; &#1502;&#1506;&#1489;&#1512; &#1504;&#1493;&#1495; &#1489;&#1497;&#1503; &#1492;&#1502;&#1506;&#1512;&#1499;&#1493;&#1514; &#1489;&#1492;&#1514;&#1488;&#1501; &#1500;&#1492;&#1511;&#1513;&#1512; &#1492;&#1489;&#1506;&#1497;&#1492; &#1488;&#1493; &#1500;&#1514;&#1510;&#1493;&#1512;&#1492; &#1492;&#1490;&#1497;&#1488;&#1493;&#1502;&#1496;&#1512;&#1497;&#1514;.

&#1502;&#1506;&#1512;&#1499;&#1514; &#1492;&#1511;&#1493;&#1488;&#1493;&#1512;&#1491;&#1497;&#1504;&#1496;&#1493;&#1514; ...

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Polar Coordinates and Vectors

קואורדינאטות פולריות ווקטורים

KEY TERMS AND CONCEPTS

מונחים ומושגים מרכזיים

plotting points with polar coordinates

Polar coordinates give a way to plot points in a plane using distance and angle. Instead of x and y values, this system uses a radial distance and an angular direction. It is especially useful for problems with circular or rotational symmetry, including waves, oscillations, and orbital paths in physics and engineering.

A point in polar form is written as P(r, θ). The value r is the distance from the pole, which plays the same role as the origin in the Cartesian plane. The angle θ is measured from the polar axis, usually the positive x-axis, and it is measured in radians. Positive angles move counterclockwise, while negative angles move clockwise.

A negative radius changes the direction of the point. When r is negative, the point is placed on the line opposite the angle θ. Polar coordinates can also represent the same point in more than one way. Angles that differ by 2nπ radians, where n is any integer, point in the same direction. The same point can also be written with a negative radius as P(-r, θ + π).

Polar and Cartesian coordinates can be converted using trigonometric relationships. To move from polar to Cartesian form, the coordinate values are found from r and θ. To move from Cartesian to polar form, the same relationships are used in reverse. These conversions make it easier to choose the coordinate system that best fits the shape or situation being studied.

Plotting Points with Polar Coordinates

polar coordinates

Polar coordinates give a way to plot points in a plane using distance and angle. Instead of x and y values, this system uses a radial distance and an angular direction. It is especially useful for problems with circular or rotational symmetry, including waves, oscillations, and orbital paths in physics and engineering. A point in polar form is written as P(r, θ). The value r is the distance from the pole, which plays the same role as the origin in the Cartesian plane. The angle θ is measured...

graphs of polar equations

Polar Curves: Circles, Roses, and Limacons

Polar equations can be used to graph curves with radial symmetry or repeating patterns. In the polar coordinate system, a point is described by its distance from the pole, or central point, and by an angle from the polar axis, or reference direction. This format is different from rectangular coordinates and is especially useful for certain curve shapes. A circle centered at the pole appears when the radius stays constant as the angle changes. A line through the pole appears when the angle...

vectors

Vector Components and Direction

Vectors describe quantities with both magnitude and direction. This makes them different from scalars, which have magnitude only. Common examples include displacement, velocity, and force, where direction matters. A vector is shown as a directed line segment from an initial point to a terminal point. It may also be written with bold letters or with an arrow above the symbol. Two vectors are equal if they have the same magnitude and direction, even when they start in different places. Vector...

the dot product

Dot Product From Direction and Angle

The dot product measures how much one vector acts along another vector’s direction. Vectors are quantities with both size and direction. This calculation gives one number that shows how aligned two vectors are. One way to find the dot product is to combine the horizontal parts and the vertical parts of the two vectors. The matching parts are multiplied, and the results are added together. This form shows why the value depends on both direction and strength. The dot product becomes larger when...

key terms and concepts

Learn how polar coordinates use distance and angle to locate points, handle negative radii, and convert between polar and Cartesian forms.

Plotting Points with Polar Coordinates | JoVE K12

The JoVE Math Fundamentals collection is designed to build a deep and comprehensive understanding of essential mathematics. Covering the foundations of algebra, geometry, trigonometry, and analytic reasoning, this course establishes a strong base for future studies. The collection connects core mathematical concepts with real-world practice, equipping learners to solve complex problems, master problem-solving skills, and apply abstract ideas.

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Plotting Points with Polar Coordinates

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