Name: root locus paths and asymptotes
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

La costruzione del locus radicale comporta la determinazione del numero di rami che equivale al numero di poli a circuito chiuso. Il luogo della radice è simmetrico rispetto all'asse reale.
Il locus radice esiste sulla parte dell'asse reale dove la somma del numero totale di poli finiti ad anello aperto e zeri a sinistra è dispari.
Originato dai poli ad anello aperto, il locus traccia i poli del sistema ad anello chiuso con guadagno crescente e termina agli zeri ad anello aperto, dove i poli del sistema si stabilizzano con il guadagno crescente.
Una funzione che si avvicina all'infinito come s si avvicina all'infinito ha un polo all'infinito. Se si avvicina allo zero, ha uno zero all'infinito.
Quando il locus radicale si muove verso l'infinito, si avvicina a certe linee rette note come asintoti. Per un dato sistema, vengono calcolati l'intercetta e l'angolo dell'asse reale. All'aumentare del guadagno, gli angoli iniziano a ripetersi.
La loro equazione, basata sull'intercetta e sull'angolo dell'asse reale, rivela il percorso dei loci dai poli all'infinito.
Il locus ha origine dai poli ad anello aperto e termina agli zeri ad anello aperto.

costruzione del luogo delle radici

La costruzione di un luogo delle radici, comporta diversi passaggi chiave, per analizzare e visualizzare il comportamento dei poli di un sistema con guadagno variabile. Il numero di rami nel luogo delle radici, è uguale al numero di poli a circuito chiuso ed è simmetrico rispetto all'asse reale.

Per valori di guadagno positivi, il luogo delle radici esiste sull'asse reale, a sinistra di un numero dispari di poli o zeri finiti a ciclo aperto. Il luogo delle radici inizia dai poli a ciclo aperto e traccia i percorsi dei poli a ciclo chiuso, man mano che il guadagno aumenta. Termina agli zeri a ciclo aperto, dove i poli del sistema si stabilizzano man mano che il guadagno continua a salire.

Se una funzione si avvicina all'infinito quando s si avvicina all'infinito, ha un polo all'infinito. Al contrario, se una funzione si avvicina allo zero, ha uno zero all'infinito. Quando il luogo delle radici si estende verso l'infinito, segue asintoti specifici. Le equazioni di questi asintoti sono determinate dall'intercetta dell'asse reale e dai loro angoli, che indicano i percorsi che i luoghi prendono dai poli all'infinito.

Per calcolare questi percorsi per un dato sistema, si determina l'intercetta dell'asse reale e gli angoli degli asintoti. Gli angoli sono derivati ​​in base al numero di poli e zeri, e iniziano a ripetersi man mano che il guadagno aumenta. La formula per l'angolo degli asintoti è data da,

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16122/16122_PT_Equation_001.svg" style="height: 30px;">

dove k è un numero intero, n è il numero di poli e m è il numero di zeri.

Il grafico completo del luogo delle radici, inizia ai poli del ciclo aperto e termina agli zeri del ciclo aperto. Questo grafico rispetta le regole che governano il metodo del luogo delle radici, assicurando che la stabilità e la risposta del sistema, possano essere analizzate e previste in modo approfondito.

Seguendo questi passaggi, gli ingegneri possono usare efficacemente il metodo del luogo delle radici, per progettare e mettere a punto i sistemi di controllo, assicurando prestazioni e stabilità desiderate in varie condizioni operative. Questo approccio fornisce una visualizzazione chiara di come i poli del sistema migrano con l'aumento del guadagno, aiutando nella progettazione robusta delle strategie di controllo.

Costruzione del Luogo delle Radici

La costruzione del locus radicale comporta la determinazione del numero di rami che equivale al numero di poli a circuito chiuso. Il locus radicale è simmetrico circa ...

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Electrical Engineering

Ingegneria elettrica

Unit 1

Unità 1

Root-Locus Method

Metodo del Luogo delle Radici

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMINI E CONCETTI CHIAVE

Construction of Root Locus

root locus paths and asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between.

The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or zeros. The paths begin at the open-loop poles and move as gain increases.

As gain continues to rise, the root locus ends at the open-loop zeros. At those points, the system poles settle. If a function goes to infinity as s approaches infinity, it has a pole at infinity. If a function goes to zero, it has a zero at infinity.

When the root locus extends toward infinity, it follows asymptotes. An asymptote is a line that shows the direction of a branch far from the poles and zeros. The asymptotes are found from the real-axis intercept and their angles. The angle formula depends on the number of poles, n, the number of zeros, m, and an integer k. These angles repeat as gain increases.

A complete root locus plot starts at the open-loop poles and ends at the open-loop zeros. It follows the rules of the root locus method so stability and response can be studied and predicted. Engineers use this plot to design and tune control systems for the desired performance across different operating conditions. The result is a clear picture of how system poles migrate with increasing gain.

Root Locus Paths and Asymptotes

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

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vector representation of complex numbers

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

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properties of the root locus

Root Locus Angle and Gain Rules

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response. A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles...

construction of root locus

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plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

Root locus rules help describe how oscillator feedback systems behave as gain changes. The Hartley oscillator is one example of a positive feedback system. It keeps oscillating by feeding the output back to the input in phase, which reinforces the signal. Positive feedback systems can also be treated as negative feedback systems with the feedback signal inverted. In root locus analysis, the locus is the set of points on the s-plane where the transfer function angle equals 360 degrees. The...

key terms and concepts

Learn how root locus branches move from open-loop poles to zeros, use asymptotes, and show how gain affects stability in control systems.

Root Locus Paths and Asymptotes | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Root Locus Paths and Asymptotes

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