Name: wave speed on lossless transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:41.000Z
Duration: 1 min 27 s
Channel: JoVE

Le linee elettriche che si vedono lungo le strade possono essere modellate come una linea di trasmissione monofase, a due fili, senza perdite.
Si consideri una sezione di linea caratterizzata da induttanza in serie e capacità di shunt, con direzionalità dall'estremità di invio a quella di ricezione.
Usando le leggi di Kirchhoff, le equazioni per la tensione e la corrente vengono scritte e divise per Delta x. Quando Delta x si avvicina allo zero, vengono derivate equazioni che coinvolgono derivate parziali poiché sia la posizione che il tempo sono variabili.
Le trasformate di Laplace vengono applicate assumendo zero condizioni iniziali e semplificando le derivate a una sola variabile.
Differenziando queste si ottengono equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine con rispettive soluzioni. La velocità è una funzione dei valori di induttanza e capacità.
Prendendo le trasformate di Laplace inverse e applicando uno spostamento temporale si ottengono funzioni che rappresentano le onde di tensione e corrente. Queste espressioni rappresentano le onde che viaggiano in avanti e indietro.
Per valutare le costanti, le soluzioni vengono sostituite nell'equazione del secondo ordine.
I coefficienti delle funzioni esponenziali su entrambi i lati sono equiparati, producendo le correnti avanti e indietro in termini di tensioni dirette e indietro, rispettivamente, e l'impedenza caratteristica.

linee di trasmissione: funzionamento transitorio

Traveling Waves: Lossless Lines

Il contenuto fornito esplora il comportamento delle onde viaggianti su linee di trasmissione monofase senza perdite. Inizia con una linea di trasmissione monofase senza perdite a due fili di lunghezza Δx, caratterizzata da un'induttanza di loop LH/m e una capacità da linea a linea C F/m. Questi parametri determinano un'induttanza di serie LΔx e una capacità di derivazione (shunt) CΔx.

<img alt="Figure1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_figure_001.svg" style="height: 125px;">

La tensione v(x,t) e la corrente i(x,t) in qualsiasi posizione x e tempo t sulla linea sono espresse utilizzando la legge di Kirchhoff sulla tensione (KVL) e la legge di Kirchhoff sulla corrente (KCL).

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_1v2.svg" style="height: 70px;">

Quando Δx si avvicina a zero, emergono equazioni differenziali parziali, che catturano le relazioni tra tensione, corrente e i loro tassi di variazione rispetto sia al tempo che alla posizione. Le trasformate di Laplace vengono applicate per convertire queste equazioni differenziali parziali in equazioni differenziali ordinarie, assumendo condizioni iniziali pari a zero.

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_2v2.svg" style="height: 70px;">

Le soluzioni a queste equazioni rivelano che la velocità delle onde viaggianti dipende dall'induttanza e dalla capacità per unità di lunghezza della linea di trasmissione.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_3v4.svg" style="height: 30px;">

Queste soluzioni descrivono onde in avanti e indietro; le onde in avanti viaggiano nella direzione positiva x e le onde indietro si muovono nella direzione negativa x. La soluzione incorpora uno spostamento temporale e produce funzioni che descrivono tensione e corrente come somme di onde in avanti e indietro. Queste onde si muovono in direzioni opposte lungo la linea di trasmissione, influenzate dall'induttanza e dalla capacità della linea. Queste espressioni portano all'impedenza caratteristica della linea, una funzione dell'induttanza e della capacità per unità di lunghezza.

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_4v4.svg" style="height: 30px;">

Questo parametro è fondamentale per comprendere come le onde si propagano lungo la linea e interagiscono con le terminazioni a ciascuna estremità.

Linee di trasmissione: funzionamento transitorio

Le linee elettriche che si vedono lungo le strade possono essere modellate come una linea di trasmissione monofase, a due fili, senza perdite.
Si consideri una sezione di linea caratterizzata da serie ...

Education

Didattica

JoVE Core

Electrical Engineering

Ingegneria elettrica

Unit 1

Unità 1

Transmission Lines: Transient Operation

Linee di trasmissione: regime transitorio

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMINI E CONCETTI CHIAVE

wave speed on lossless transmission lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx.

Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation. Kirchhoff’s Current Law, or KCL, is used for the current relation. As Δx becomes very small, these relations turn into partial differential equations that link voltage and current to their changes in time and position.

Laplace transforms are then applied to these equations. This step assumes zero initial conditions and converts the partial differential equations into ordinary differential equations. The solutions show that wave speed depends on the inductance and capacitance per unit length of the transmission line. The voltage and current can be written as sums of forward and backward traveling waves.

The forward wave moves in the positive x-direction. The backward wave moves in the negative x-direction. A time shift appears in the solution, which helps describe how the waves travel along the line. These expressions also lead to the characteristic impedance, which depends on the line inductance and capacitance per unit length and helps describe how the waves interact with terminations at each end.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines

wave-speed-on-lossless-transmission-lines

traveling waves: lossless lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx. Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation.

boundary conditions: lossless lines

Transmission Line Reflections at Both Ends

Single-phase, two-wire, lossless transmission lines show how voltage and current waves reflect at both ends of a circuit. In this model, the line has a length, a surge impedance, and a wave velocity. These are set by the line’s inductance and capacitance per unit length. A home electrical wiring system can be treated this way in a simple circuit model. At the receiving end, the boundary condition says that the voltage equals the receiving-end impedance times the current. This relationship is...

bewley lattice diagram

Tracing Transient Waves with a Bewley Diagram

The Bewley lattice diagram organizes voltage-wave reflections in transmission-line transients. It helps students follow how a signal moves along a line and bounces back from each end. The diagram was developed by L. V. Bewley. The vertical axis shows transient time, and the horizontal axis shows the line position x. Diagonal lines show traveling waves. These lines make the wave motion easier to read because each segment marks a wave moving through the line. Each reflection is found by...

lossy lines and overvoltages

Signal Attenuation and Power Losses

Transmission lines with series resistance and shunt conductance can weaken signals, change wave shape, and waste power. These effects are called attenuation, distortion, and power losses. They matter in long power lines and other practical transmission systems. When constant resistance and conductance are present, the voltage and current equations change. The propagation constant shows that the wave includes both forward-traveling and backward-traveling parts. As the wave moves along the line,...

insulation coordination

BIL and Surge Protection for Power Equipment

Insulation coordination matches electric equipment insulation strength with protective device settings to guard against expected overvoltages. Engineers choose these levels using judgment and cost. The goal is to keep equipment safe while avoiding unnecessary expense. Equipment can usually survive short, high transient overvoltages. Repeated tests with the same waveform can still give inconsistent results. For that reason, standard impulse voltage waveforms are used in testing. These waveforms...

key terms and concepts

Learn how inductance and capacitance set wave speed on a lossless transmission line, and how forward and backward waves lead to characteristic impedance.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Wave Speed on Lossless Transmission Lines

Description

Transcript

Tags