Name: spring-loaded column buckling analysis
Uploaded: 2024-05-23T13:00:07.000Z
Duration: 1 min 23 s
Channel: JoVE

同じ長さの 2 つの剛体バー AB と BC が互いに接続され、定数 k のばねが点 B に接続されているとします。このシステムの臨界負荷の大きさは、荷重Fが点Aで垂直に下向きに印加された場合、どのくらいになりますか?
バーは、加えられた荷重により小さな角度でたわみ、スプリングの伸びXをもたらします。
両方のバーの自由体線図が描画され、力平衡方程式が水平方向に適用されます。 
バーABを別々に考えると、力のモーメントの平衡方程式が点Bに適用され、この方程式を解くと、点Aでのサポート反力が得られます。
同様に、点Bで力のモーメントの平衡を再び適用すると、点Cで支持反力が得られます。
点AとBの反力サポートを力平衡方程式に代入すると、2つの反力サポートのバランスをとる全ばね力が得られます。ここで、ばねの伸びをゼロにすることはできず、特定のシステムに対応する臨界荷重値が得られます。

オイラーの公式を使った柱 : 問題解決

オイラーの公式は、構造工学においてさまざまな条件下での柱の座屈荷重を決定するために使用されます。ただし、剛性要素とバネなどの弾性部品の両方を組み込んだ装置を扱う場合、解析では臨界荷重を決定するためのより詳細なアプローチが必要になります。説明されている問題には、バネが取り付けられたピボット点で接続され、一端に垂直荷重が加えられた 2 つの剛性棒が含まれます。

この装置は、膝関節と同様に、ピボット点 B で接続された等しい長さの 2 本の垂直剛性棒 AB と BC で構成されます。定数 k の引張バネが B に取り付けられており、水平方向に作用します。 垂直荷重 F が点 A に下向きに加わると、棒はピボット点 B を中心に回転します。バネはこの力に抗して作用し、点 B を元の位置に引き戻し、バネに伸び X が生じます。

まず、この装置を分析するために、各棒の自由体図が使用され、静的平衡の原理が棒に作用する力を分析するために適用されます。軸方向荷重 F により装置は点 B で回転し、その結果、棒に水平力と垂直力の両方が発生します。

装置に作用する水平力の平衡方程式が設定されます。これには、伸び X によるバネ力が含まれます。バネ力は、点 B の横方向の動きに反作用します。装置が点 B で回転すると、両方向の棒に曲げモーメントを誘発します。棒 AB の B でのモーメント平衡により、点 A での反力を決定できます。これには、加えられた荷重 F によって生成されるモーメントを計算し、それを反力によるモーメントと等しくすることが含まれます。同様に、棒BCの点Bの周りの力のモーメントを調べると、点Cでの反力が得られます。 このステップには、点 B に対するばねの力とそのモーメント アームも含まれます。点 A と C での反力を水平力の平衡方程式に代入することで、ばねの力の合計を計算できます。この力は、点 A と点 C での反力によって生成されるモーメントのバランスをとります。


<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15678/15678_Equation_1.svg" style="height: 12px;">
<img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15678/15678_Equation_2v2.svg" style="height: 18px;">
<img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/15678/15678_Equation_3.svg" style="height: 12px;">

装置の臨界荷重は、ばねの伸び X が加えられる荷重 F に直接関係することを認識することによって決定されます。ばねの伸び (したがってばね力) が、負荷によってバランスが取れない値に達すると、装置の安定性が損なわれます。組立の構造的完全性が損なわれ、座屈が発生します。臨界荷重の正確な数学的表現は、バネ定数 k、棒の長さ、座屈開始時の装置の形状を組み込んだ平衡方程式から導き出すことができます。

<img alt="Equation 4" src="/files/ftp_upload/15678/15678_Equation_4v2.svg" style="height: 42px;">

同じ長さの 2 つの剛体バー AB と BC が互いに接続され、定数 k のばねが点 B に接続されているとします。の大きさはどうなるのでしょうか...

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Unit 1

ユニット1

Columns

カラム

KEY TERMS AND CONCEPTS

主要用語と概念

Euler&#39;s Formula to Columns: Problem Solving

spring-loaded column buckling analysis

Spring-loaded column buckling analysis uses static equilibrium to find the critical load in a rigid bar system. The setup has two equal-length rigid bars, AB and BC, joined at pivot point B. A tension spring with constant k is attached to B and pulls horizontally. A vertical load F is applied at point A, and the bars rotate around the pivot like a knee joint.

As point B moves, the spring stretches by an amount X. The spring then pushes back against the sideways motion of B. To study the forces, free-body diagrams are drawn for each bar. Static equilibrium is then applied to track the horizontal and vertical forces in the rods.

The axial load F creates force components in the bars and also produces a bending moment at the joint. The moment equilibrium around B for bar AB is used to find the reaction force at point A. The same method is applied to bar BC to determine the reaction force at point C. This step also includes the spring force and its moment arm relative to B.

After the reactions at A and C are found, they are used in the horizontal force balance to calculate the total spring force. That spring force counteracts the moments created by the reactions in the structure. The critical load is identified when the spring elongation, and therefore the spring force, can no longer be balanced by the assembly. At that point, buckling begins.

The final expression for the critical load depends on the spring constant k, the bar length, and the geometry of the system at the onset of buckling. This makes the problem a useful example of how a spring changes the stability of a column-like structure. It also shows how Euler’s formula can be adapted when rigid members and elastic parts work together.

Spring-Loaded Column Buckling Analysis

stability of structures

Critical Load and Structure Stability

Structural stability is an important idea in mechanical engineering. It helps engineers design buildings, vehicles, and machines that stay safe and efficient under load. A simple model for studying this behavior uses two rods joined at a pivot point O with a torsional spring, which is a spring that resists twisting, at the pivot. The setup is similar to a scissor jack used to lift a car. In the example, the linkage arms are vertical, which matches the case where the vehicle has been raised as...

euler&#39;s formula for pin-ended columns

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins. To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance...

euler&#39;s formula to columns with other end conditions

euler-s-formula-to-columns-with-other-end-conditions

Euler Buckling for Different Column Supports

Euler buckling explains how a column can fail when it is compressed. In structural engineering, it helps predict the critical load, which is the load level where a column is likely to buckle. The formula uses the modulus of elasticity, the moment of inertia of the cross-section, and the column length. The same idea also helps describe critical stress. Critical stress is found by dividing the critical load from Euler's formula by the cross-sectional area of the column. This leads to the...

euler&#39;s formula to columns: problem solving

Spring-loaded column buckling analysis uses static equilibrium to find the critical load in a rigid bar system. The setup has two equal-length rigid bars, AB and BC, joined at pivot point B. A tension spring with constant k is attached to B and pulls horizontally. A vertical load F is applied at point A, and the bars rotate around the pivot like a knee joint. As point B moves, the spring stretches by an amount X. The spring then pushes back against the sideways motion of B. To study the...

eccentric loading

Column Bending Under Off-Center Load

Eccentric loading shows how a column bends when a force is applied off-center. In structural engineering, this matters because the load no longer acts along the centroidal axis, so the column sees both direct compression and bending stress. The off-center force can be treated as two parts. One part is a centric load F that acts along the column’s axis. The other part is a couple moment created by the eccentricity, or distance, between the load and the centroidal axis. To study the column...

design of columns under a centric load

Column Buckling and Load Design Basics

Column design under a centric load is a key part of structural engineering. It helps engineers keep buildings and other structures stable and safe. The main tools used here are Euler’s formula and Secant’s formula. Euler’s formula is used when a column is assumed to be perfect, straight, and uniform. It also applies when the material stays within its elastic limit. The critical load from Euler’s formula depends on the material’s modulus of elasticity and the column’s shape. This formula works...

design of columns under an eccentric load

design-of-columns-under-an-eccentric-load

Eccentric Load Stresses in Structural Columns

Structural columns under eccentric load must be designed for both axial force and bending stress. An eccentric load is an off-center load, and it creates a non-uniform stress pattern across the column. Engineers must analyze this stress distribution carefully to reduce the risk of failure. The stress in an eccentrically loaded column can be treated as the sum of two parts. One part comes from an equivalent centric load, which is a load applied through the center of the column. The other part...

key terms and concepts

Use static equilibrium to analyze a spring-loaded rigid bar system, find reaction forces, and determine the critical load where buckling begins.

Spring-Loaded Column Buckling Analysis | JoVE K12

JoVE Core 機械工学は、平衡、力、トラス解析、構造力学などの重要なトピックをカバーする簡潔でわかりやすいアニメーション ビデオを提供します。実際のアプリケーションを探索し、科学者主導の実験を通じてこれらのコンセプトが実際に動作しているのを目撃してください。

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Spring-Loaded Column Buckling Analysis

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