Name: testing system stability with convolution
Uploaded: 2024-09-26T13:16:56.000Z
Duration: 1 min 24 s
Channel: JoVE

システムの安定性は、畳み込みを使用して確認できます。
入力信号に、信号のモジュラスがどの時点でもそれを超えないようにする定数がある場合、その信号は有界と見なされます。
システムは有界入力有界出力であり、特定の有界入力信号が常に有界出力を生成する場合、BIBO 安定とも呼ばれます。この図は、BIBO安定システムと非BIBO安定システムの例を示しています。
畳み込み積分は、線形時間不変システムに有界連続時間入力が適用された場合の BIBO の安定性を評価するために使用できます。
入力信号の有界性は定数で表すことができ、畳み込み積分の定式化によって有界出力が決定されます。
被積分関数が有限の場合、出力は有限であり、絶対可積分インパルス応答を持つ連続時間システムはBIBO安定であることを意味します。
これと同じプロセスが離散時間システムにも適用され、有界出力は畳み込み積分によって達成されます。
加算項が有限の値を持つ場合、出力は有限であり、インパルス応答が絶対的に合計可能な場合、離散時間システムはBIBO安定であることを示します。

連続時間システムと離散時間システムの bibo 安定性

システム安定性は信号処理の基本概念であり、畳み込みを使用して評価されることがよくあります。システムが有界入力有界出力安定、つまり BIBO 安定であると見なされるには、有界入力信号が有界出力信号を生成する必要があります。有界入力信号とは、どの時点でも係数が特定の定数を超えない信号です。

BIBO 安定性を判断するには、有界連続時間入力が線形時間不変 (LTI) システムに適用されたときに畳み込み積分を使用します。入力信号の有界性は定数で表され、畳み込み積分は出力が有界のままであるかどうかを判断するのに役立ちます。数学的には、畳み込み積分の被積分関数が有限である場合、出力も有限になることを意味します。具体的には、連続時間システムは、そのインパルス応答が積分可能である場合、つまりインパルス応答の絶対値の積分が有限であり、次のように表される場合、BIBO 安定です。

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16053/16053_PT%20EQUATION_1.svg" style="height: 36px;">

この条件により、出力は任意の制限付き入力信号の範囲内に留まることが保証され、システムの安定性が確認されます。

同じ原則が離散時間システムに適用されます。離散時間システムの BIBO 安定性は、畳み込み級数の加算によって決定されます。離散時間システムにおいて、加算項が有限値である場合、出力は有限であり、インパルス応答が以下の式で示されるように加算可能である場合、システムは BIBO 安定であることを示します。

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16053/16053_PT%20EQUATION_2.svg" style="height: 28px;">


言い換えれば、インパルス応答の絶対値の合計が有限であれば、システムは任意の制限された入力に対して制限された出力を生成し、BIBO 安定性を確認します。

BIBO 安定性の重要性は、制限された入力に対する出力が許容範囲内に留まるようにすることが極めて重要である実際のシステムへの適用にあります。畳み込みとインパルス応答積分の概念を理解して適用することは、連続時間領域と離散時間領域の両方で安定したシステムの設計および分析に不可欠です。

連続時間システムと離散時間システムの BIBO 安定性

システムの安定性は、畳み込みを使用して確認できます。
入力信号に、信号の係数が...

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KEY TERMS AND CONCEPTS

主要用語と概念

BIBO stability of continuous and discrete -time systems

testing system stability with convolution

System stability in signal processing is often tested with convolution. A system is BIBO stable, or bounded-input bounded-output stable, when every bounded input signal produces a bounded output signal. A bounded input signal has a modulus that never exceeds a set constant at any time.

For a continuous-time Linear Time-Invariant, or LTI, system, BIBO stability is checked with the convolution integral. The input is bounded by a constant, and the convolution integral shows whether the output stays bounded too. If the integrand in the convolution integral remains finite, the output remains finite as well. A continuous-time system is BIBO stable when its impulse response is integrable, which means the integral of the absolute value of the impulse response is finite.

The same idea applies to discrete-time systems. Here, stability is checked through the convolution series rather than the convolution integral. A discrete-time system is BIBO stable if the summation is finite, which means its impulse response is summable. In other words, if the sum of the absolute values of the impulse response is finite, any bounded input will still produce a bounded output.

BIBO stability matters in real-world system design and analysis. It helps ensure that outputs stay within acceptable limits when inputs are bounded. Understanding convolution and impulse response conditions is key for studying stable continuous-time and discrete-time systems.

Testing System Stability with Convolution

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linear time-invariant systems

Impulse Response in LTI Systems

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RC Circuit Impulse Response

RC circuit impulse response describes how the capacitor voltage changes after a brief input signal. In this system, the voltage source is the input, and the capacitor voltage is the output. The state of the circuit before and after excitation is defined separately so the response can be tracked clearly. Kirchhoff’s law is used to write the input signal equation for the RC circuit. The capacitor current and voltage provide the output relation. After substituting the current expression and...

convolution: math, graphics, and discrete signals

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Convolution in LTI Systems and Signal Response

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LTI System Tricks for Easier Convolution

LTI system properties can make convolution easier to work with. LTI stands for linear time-invariant. In these systems, the input signal and the impulse response can be handled in helpful ways that simplify the final output. The commutative property means the input and the impulse response can be switched without changing the result. The associative property says that when three functions are convolved, the order of grouping does not change the answer. For two LTI systems in series, this lets...

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key terms and concepts

Learn how convolution is used to test BIBO stability in continuous-time and discrete-time systems by checking impulse response integrals and sums.

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