Name: root locus angle and gain rules
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 5 s
Channel: JoVE

根軌跡法は、伝達関数の分母を因数分解することなく、高次系の解析に役立ちます。
極は、伝達関数の分母の特性多項式がゼロに等しい場合に識別されます。
点が根軌跡上にある基準は、すべてのゼロからすべての極からの合計角度の寄与を差し引いた合計角度が 180 度の奇数倍に等しいことです。
根軌跡上の任意の点でのゲインは、極の長さの積をゼロの長さの積で割ることによって決定されます。
ユニティフィードバックシステムの伝達関数について考えます。特定の点での角度は、システムの伝達関数の零点と極からその点に引き出されたベクトルの角度の代数的和です。
角度は 180 度の奇数倍に等しいため、点は根軌跡上にあります。
ゲインは、極の長さの積をゼロの長さの積で割ることによって計算できます。

根軌跡の特性

根軌跡法は、伝達関数の分母を因数分解する必要なく、高次システムを解析するための非常に有用なツールです。伝達関数の分母の特性多項式がゼロに等しいとき、システムの極が特定されます。

ある点が根軌跡上にあるかどうかを判断するには、その点に対するすべての極とゼロ点の角度の合計が基準となります。具体的には、この合計は 180 度の奇数倍でなければなりません。根軌跡上の任意の点におけるゲインは、極からその点までの長さの積をゼロ点からその点までの長さの積で割ることで求められます。

ユニティフィードバックシステムの場合、この方法を使用して伝達関数を分析できます。根軌跡上における特定の点の角度は、システムのゼロと極からその点までの角度を合計することによって計算されます。点が根軌跡の一部であるかどうかを確認するには、この合計が 180 度の奇数倍に等しくなければなりません。

ある点が根軌跡上にあることが確認されると、システムの極とゼロ点からその点までの距離を比較することで、その点のゲインを決定できます。これには、各極からその点までの距離の積を計算し、各ゼロ点からその点までの距離の積で割ることが含まれます。

この方法は、制御システムの設計と分析に特に役立ち、エンジニアはシステムパラメータの変化が安定性と応答にどのように影響するかを予測できます。根軌跡を理解することで、エンジニアは望ましいパフォーマンス特性を維持し、さまざまな動作条件にわたって安定性を確保するシステムを設計できます。

要約すると、根軌跡法は、極とゼロ点から特定の点までの角度と距離に焦点を当てることで、高次システムを解析するための体系的なアプローチを提供します。この手法は、さまざまなゲインでのシステムの安定性とパフォーマンスを確認するのに役立ち、制御システムの設計と解析に不可欠なツールとなっています。

根軌跡法は、伝達関数の分母を因数分解することなく、高次系の解析に役立ちます。
ポールは...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

電気工学

Unit 1

ユニット1

Root-Locus Method

根軌跡法

KEY TERMS AND CONCEPTS

主要用語と概念

Properties of the Root Locus

root locus angle and gain rules

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response.

A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles from all poles and zeros to that point. The total must be an odd multiple of 180 degrees.

Once a point is confirmed on the root locus, the gain at that point can be found from distances. Multiply the lengths from each pole to the point. Then divide by the product of the lengths from each zero to the point. This gives the gain for that location on the root locus.

These rules are useful in control system design and analysis. They help engineers predict how changes in system parameters affect stability and response. By using root locus, engineers can design systems that keep desired performance across a range of operating conditions. In this way, the method offers a systematic way to study higher-order systems through angles and distances from poles and zeros.

Root Locus Angle and Gain Rules

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

Root locus and closed-loop stability are key ideas in control systems. A basic thermostat is an open-loop system, so its transfer function poles affect the response but do not set stability. When feedback is added, the system becomes closed-loop, like an advanced thermostat that changes heating based on room temperature. In a closed-loop system, stability depends on the new poles of the closed-loop transfer function. If those poles move into the unstable region, the system can start to...

vector representation of complex numbers

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

Root locus helps show how cruise control stays stable as conditions change. In a car, cruise control keeps a set speed by adjusting the gas pedal automatically. It keeps checking the car’s speed and makes small pedal changes to hold that target speed. This system can be drawn as a block diagram, and its transfer function gives the math model. The model is useful when the car goes uphill, downhill, or faces strong wind resistance. To find the system poles for different pedal forces, the...

properties of the root locus

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response. A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles...

construction of root locus

Root Locus Paths and Asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between. The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or...

plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

Root locus rules help describe how oscillator feedback systems behave as gain changes. The Hartley oscillator is one example of a positive feedback system. It keeps oscillating by feeding the output back to the input in phase, which reinforces the signal. Positive feedback systems can also be treated as negative feedback systems with the feedback signal inverted. In root locus analysis, the locus is the set of points on the s-plane where the transfer function angle equals 360 degrees. The...

key terms and concepts

Learn how root locus uses angle criteria and pole-zero distances to check points, find gain, and study stability in unity feedback control systems.

Root Locus Angle and Gain Rules | JoVE K12

JoVE Core 電気工学 は、電気回路の基本概念と回路解析テクニックを網羅したアニメーションビデオシリーズです。オペアンプと回路変換および 1 次・ 2 次回路の概念を網羅しています。実験を撮影した実写動画では、設計例や現代社会での応用が含まれており、複雑な概念も分かりやすく学習いただけます。

electrical engineering

Root Locus Angle and Gain Rules

Description

Transcript