Riemann Sums and Area Estimates

Riemann sums and area estimates are a key part of calculus for finding the area under a curve. When a real-valued function is defined on a closed interval, the area under its graph can be approximated if an exact calculation is not easy to do.

The interval is split into equal subintervals. Each s...

閉区間の関数を考えます。曲線下の面積を近似するには、区間を等しい部分区間に分割し、等幅の長方形を形成します。

部分区間内の任意の点を選び、その関数値を長方形の高さとして使います。高さに幅を掛けると、その長方形の面積が得られます。曲線下の総面積はすべての長方形の面積を和にして近似し、リーマン和と呼ばれます。

与えられた区間上の関数の定積分は、部分区間の数が無限大に近づき、各長方形の幅が無限小になるときのリーマン和の極限として定義されます。ただし、この極限が存在する限ります。

例えば、速度が変化する車を考えます。移動時間を等しい時間間隔に割ります。

各区間で任意の時間点を選び、対応する速度を取る。速度に区間幅を掛けて移動距離を推定します。