Differential Equations and Falling Motion

Differential equations can model the motion of a falling object when gravity and air resistance act at the same time. In this example, a heavy test weight is released from rest during a ship safety check. Gravity pulls the weight downward, and air resistance pushes upward as the speed increases.

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船舶の安全確認には重い試験重りが使われます。重りを持ち上げてから解放し、空気抵抗が動きにどのように影響するかを調べます。一度離すと、重りは静止から空中に落ちていきます。

重力がそれを下に引っ張り、空気はその動きに逆らって上へ押し上げます。ニュートンの第二法則によれば、速度の変化は正味の力に依存します。

これらの力を組み合わせることで、加速度と速度を結びつける微分方程式が得られます。質量で方程式を割るとより単純な形が得られます。

抗力定数と質量の比率を定数bと定義することで、微分方程式の分離が容易になります。

方程式を積分し、速度を時間の関数として求めるために書き換えると指数関数的な方程式が得られます。初期速度をゼロにすることで、解の残りの...