Name: parseval's theorem in signal power
Uploaded: 2024-09-26T13:17:01.000Z
Duration: 1 min 18 s
Channel: JoVE

Parseval의 정리에 따르면 함수가 주기적인 경우 한 주기에 대한 신호의 평균 전력은 모든 복소 푸리에 계수의 제곱 크기의 합과 같습니다.
Parseval의 정리를 검증하기 위해 함수가 표준 형식의 복소수 푸리에 급수를 갖는다고 가정합니다. 이것을 대입하고 더 풀면 정리의 증명이 제공됩니다.
흥미롭게도 Parseval의 정리는 삼각법 푸리에 급수의 푸리에 계수로도 표현될 수 있습니다.
오디오 처리에서 Parseval의 정리는 원래 음파의 에너지를 압축 버전과 비교하는 데 사용됩니다.
이 정리에 대한 공학적 해석은 실용적인 통찰력을 제공합니다. 함수가 전류 또는 전압과 같은 전기 신호를 나타내는 경우 함수의 제곱은 1옴 저항기의 순간 전력을 나타냅니다.
이 정리는 또한 한 기간 동안 저항기에서 소산되는 에너지를 푸리에 급수와 관련시켜 삼각법 푸리에 급수와 진폭 위상 푸리에 급수 측면에서 두 가지 다른 표현을 제공합니다.

퍼시벌 정리

퍼시벌 정리는 신호 처리 및 조화 해석의 기본 개념입니다. 이 정리는 주기 함수의 경우 한 주기 동안 신호의 평균 전력이 모든 복소 푸리에 계수의 제곱 크기의 합과 같다고 주장합니다. Marc-Antoine Parseval의 이름을 딴 이 정리는 신호의 에너지 분포를 분석하는 강력한 도구를 제공합니다.

흥미롭게도, 파르스발 정리는 사인 및 코사인 함수로 함수를 표현하는 푸리에 급수의 삼각 형태에도 적용됩니다. 여기서 푸리에 계수는 삼각 급수 계수와 관련될 수 있으므로 이 대체 형태에 정리를 적용할 수 있습니다.

퍼시벌 정리를 검증하기 위해 복소 푸리에 급수 표현을 갖는 함수 x(t)를 살펴보겠습니다.

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16063/16063_PT%20EQUATION_1.svg" style="height: 30px;">

여기서 c_n는 복소 푸리에 계수이고 ω_0는 기본 각주파수입니다. 정리는 다음과 같습니다.

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16063/16063_PT%20EQUATION_2.svg" style="height: 36px;">

여기서 T는 함수의 주기입니다. 푸리에 급수를 좌변에 대입하여 풀면 등식이 확인되어 정리가 증명됩니다.

퍼시벌 정리는 실제 응용에서, 특히 오디오 처리에 매우 중요합니다. 원래 음파에 포함된 에너지를 압축된 버전의 에너지와 비교할 수 있습니다. 이 비교는 압축 프로세스가 너무 많은 에너지를 손실하여 오디오 신호의 품질을 크게 저하시키지 않도록 하는 데 필수적입니다.

공학적 관점에서, 퍼시벌 정리는 유용한 통찰을 선사합니다. 예를 들어, 문제의 함수가 전류나 전압과 같은 전기 신호를 나타내는 경우, 이 함수의 제곱은 1옴 저항에서 소모되는 순간 전력을 나타냅니다. 결과적으로, 이 정리는 한 주기 동안 저항에서 소모되는 에너지를 신호의 푸리에 급수 표현과 연결시킵니다. 이 관계는 두 가지 다른 형태로 표현됩니다. 하나는 삼각 푸리에 급수를 사용하고 다른 하나는 푸리에 급수의 진폭-위상 형태를 사용합니다. 따라서 퍼시벌 정리는 강력한 분석 도구 역할을 할 뿐만 아니라 이론적 개념과 실제 공학적 응용을 연결하는 역할을 합니다.

Parseval의 정리에 따르면 함수가 주기적이면 한 주기에 걸친 신호의 평균 전력은 제곱의 합과 같습니다.

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KEY TERMS AND CONCEPTS

주요 용어 및 개념

Parseval's Theorem

parseval's theorem in signal power

Parseval's theorem links signal power to Fourier series coefficients. For a periodic function, it says the average power over one period equals the sum of the squared magnitudes of its complex Fourier coefficients. This makes the theorem useful for studying how energy is distributed in a signal.

The theorem also works for the trigonometric form of the Fourier series. In that form, a function is written using sine and cosine terms. The Fourier coefficients can be related to the trigonometric series coefficients, so the same idea can be applied in this alternate form.

To verify Parseval's theorem, start with a function x(t) written as a complex Fourier series. In this form, Cn are the complex Fourier coefficients, and ω0 is the fundamental angular frequency. The theorem states the equality between average power over a period T and the sum of the squared coefficient magnitudes. Substituting the Fourier series into the left-hand side and simplifying confirms the result.

Parseval's theorem is important in audio processing. It can compare the energy in an original sound wave with the energy in a compressed version. This helps show whether compression has kept most of the signal energy and avoided major loss in sound quality.

The theorem is also useful in engineering with current or voltage signals. In that case, the square of the function represents the instantaneous power dissipated in a 1-ohm resistor. Parseval's theorem then connects the energy dissipated over one period to the Fourier series form of the signal. It can be written using either the trigonometric Fourier series or the amplitude-phase form, which makes it a practical bridge between signal theory and real engineering problems.

Parseval's Theorem in Signal Power

trigonometric fourier series

Fourier Coefficients and Harmonic Terms

Fourier series describe periodic functions by writing them as sums of sine and cosine waves. The trigonometric Fourier series uses a function with period T and represents it with simple harmonic terms. This approach helps break a complex repeating signal into parts that are easier to study. In the standard form, the series includes a0, an, and bn. The term a0 gives the average value of the function over one period. The coefficients an and bn show how much each cosine and sine term contributes...

exponential fourier series

Fourier Series in Audio Signal Processing

Fourier series are used in audio signal processing to break complex sounds into simpler sinusoidal parts. This helps explain how musical notes and other periodic signals can be analyzed and rebuilt from frequency components. The exponential Fourier series writes a periodic signal as a sum of complex exponentials at positive and negative harmonic frequencies. These harmonic terms capture the repeated pattern in the signal. Euler's identity connects the exponential form to cosine and sine, which...

properties of fourier series i

Fourier Series Properties in Signal Processing

Fourier series properties help describe periodic signals in signal processing and communications. A Fourier series breaks a signal into sine and cosine parts. These properties make it easier to study how signals behave and how they can be handled in real systems. Linearity is one of the most important properties. If two periodic signals are added together or combined in a linear way, the new signal has Fourier coefficients that are the same linear combination of the original coefficients. This...

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Fourier Series Symmetry and Time Scaling

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parseval's theorem

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convergence of fourier series

Fourier Series Truncation and Gibbs Ripples

Fourier series can represent a periodic signal as an infinite sum of complex exponentials. For practical use, that infinite series is cut off after a finite number of terms. The result is a partial sum that gives a workable approximation of the original signal. Truncating the series creates a challenge near discontinuities. The approximation develops the Gibbs phenomenon, which is the set of persistent oscillations and overshoots around a jump in the signal. These high-frequency ripples do not...

discrete-time fourier series

DTFS for Periodic Signal Analysis

Discrete-Time Fourier Series (DTFS) helps analyze periodic signals in discrete time by breaking them into frequency components. It is the discrete-time counterpart of the continuous-time Fourier series. Instead of using integrals, DTFS uses summations because the signal is discrete. For a discrete-time periodic signal x[n] with period N0, the DTFS coefficients X[k] are found from the DTFS formula. The index k runs from 0 to N0 − 1. These coefficients describe the signal in the frequency domain...

key terms and concepts

Learn how Parseval's theorem connects a periodic signal’s average power to Fourier coefficients, with uses in audio compression and electrical signals.

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Parseval's Theorem in Signal Power

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