Name: critical buckling load in pin-ended columns
Uploaded: 2024-05-23T13:00:07.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Rozważmy kolumnę PQ, połączoną sworzniowo na obu końcach, z centrycznym obciążeniem osiowym przyłożonym na końcu P. Wyboczenie występuje, jeśli obciążenie to przekracza obciążenie krytyczne.
Aby obliczyć obciążenie krytyczne, wyobraź sobie słup jako belkę pionową. Teraz rozważmy punkt O na krzywej sprężystej belki w odległości x od swobodnego końca P i mający ugięcie y od pionu.
Moment zginający w punkcie O można zapisać jako drugą pochodną jego ugięcia względem odległości x. Przestawiając warunki, uzyskuje się równanie różniczkowe drugiego rzędu, wyrażające rozwiązanie w postaci funkcji sinus i cosinus.
Pierwszy warunek brzegowy wymaga, aby współczynnik B był równy zero. Drugi warunek wymaga, aby współczynnik A lub składnik sinus był równy zero.
Uczynienie składnika sinusa zerowym daje wyrażenie obciążenia osiowego, przy czym najniższą wartością jest obciążenie krytyczne; jest to wzór Eulera.
Podstawiając wzór Eulera do równania różniczkowego, uzyskuje się równanie dla krzywej sprężystości po wyboczeniu.

wzór eulera na kolumny zakończone sworzniem

Euler&#39;s Formula for Pin-Ended Columns

W inżynierii konstrukcyjnej stabilność słupów pod ściskającymi obciążeniami osiowymi jest krytycznym czynnikiem, określanym jako wyboczenie. Typowym przykładem jest kolumna PQ, która jest połączona sworzniowo na obu końcach i poddana centrycznemu obciążeniu osiowemu F przyłożonemu na jednym końcu, z siłą reakcji F’ = -F na drugim końcu. W tym przypadku ważne jest, aby zrozumieć, że gdy przyłożone obciążenie przekracza obciążenie krytyczne, następuje wyboczenie, gdy system staje się niestabilny.

Aby obliczyć obciążenie krytyczne, wyobraź sobie kolumnę PQ jako belkę pionową. Rozważmy punkt O, położony na krzywej sprężystości belki, w odległości x od swobodnego końca P. Po przyłożeniu obciążenia punkt O odchyla się o odległość y od pierwotnego położenia pionowego. W tym momencie moment zginający w punkcie O można opisać drugą pochodną jego ugięcia, y, względem x, co symbolizuje zwrot w kierunku zrozumienia zachowania belki pod naprężeniem.

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_1v2.svg" style="height: 40px;">

Gdzie f jest zdefiniowane jako,

<img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_2.svg" style="height: 30px;">

Równanie to ma rozwiązanie ogólne posiadające wyrazy sinus i cosinus. Wartości brzegowe układu dają współczynniki rozwiązania.

<img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_3.svg" style="height: 24px;">

Rozwiązanie wymaga, aby człon sinusowy wynosił zero, co daje wyrażenie na obciążenie krytyczne. Wyrażenie to znane jest jako wzór Eulera.

<img alt="Equation 4" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_4v2.svg" style="height: 36px;">

Podstawienie wzoru Eulera z powrotem do równania różniczkowego daje wyrażenie na krzywą sprężystości słupa po wyboczeniu.

W tym miejscu należy zauważyć, że wzór Eulera wywodzi się z założeń, że przed obciążeniem słup jest idealnie prosty, jednorodny i izotropowy oraz że obciążenie osiowe przykładane jest idealnie wzdłuż osi pionowej.

Wzór Eulera na kolumny zakończone sworzniem

Rozważmy kolumnę PQ, połączoną sworzniowo na obu końcach, z centrycznym obciążeniem osiowym przyłożonym na końcu P. Wyboczenie występuje, jeśli obciążenie to przekracza obciążenie krytyczne.
Do...

Education

JoVE Core

Mechanical Engineering

Inżynieria mechaniczna

Unit 1

Jednostka 1

Columns

Kolumny

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

critical buckling load in pin-ended columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins.

To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance x from the free end P. When the load is applied, point O deflects by a distance y from its original vertical position. The bending moment at point O is then related to the second derivative of y with respect to x, which helps describe how the beam changes shape under stress.

The resulting equation has a general solution with sine and cosine terms. The boundary values of the system determine the coefficients in that solution. The sine term must be zero, and that condition gives the expression for the critical load. This expression is known as Euler's formula.

After Euler's formula is substituted back into the differential equation, the elastic curve of the column after buckling can be found. The formula is based on several assumptions. Before loading, the column must be perfectly straight, homogeneous, and isotropic. The axial load must also be applied perfectly along the vertical axis.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

critical-buckling-load-in-pin-ended-columns

stability of structures

Critical Load and Structure Stability

Structural stability is an important idea in mechanical engineering. It helps engineers design buildings, vehicles, and machines that stay safe and efficient under load. A simple model for studying this behavior uses two rods joined at a pivot point O with a torsional spring, which is a spring that resists twisting, at the pivot. The setup is similar to a scissor jack used to lift a car. In the example, the linkage arms are vertical, which matches the case where the vehicle has been raised as...

euler&#39;s formula for pin-ended columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins. To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance...

euler&#39;s formula to columns with other end conditions

euler-s-formula-to-columns-with-other-end-conditions

Euler Buckling for Different Column Supports

Euler buckling explains how a column can fail when it is compressed. In structural engineering, it helps predict the critical load, which is the load level where a column is likely to buckle. The formula uses the modulus of elasticity, the moment of inertia of the cross-section, and the column length. The same idea also helps describe critical stress. Critical stress is found by dividing the critical load from Euler's formula by the cross-sectional area of the column. This leads to the...

euler&#39;s formula to columns: problem solving

euler-s-formula-to-columns-problem-solving

Spring-Loaded Column Buckling Analysis

Spring-loaded column buckling analysis uses static equilibrium to find the critical load in a rigid bar system. The setup has two equal-length rigid bars, AB and BC, joined at pivot point B. A tension spring with constant k is attached to B and pulls horizontally. A vertical load F is applied at point A, and the bars rotate around the pivot like a knee joint. As point B moves, the spring stretches by an amount X. The spring then pushes back against the sideways motion of B. To study the...

eccentric loading

Column Bending Under Off-Center Load

Eccentric loading shows how a column bends when a force is applied off-center. In structural engineering, this matters because the load no longer acts along the centroidal axis, so the column sees both direct compression and bending stress. The off-center force can be treated as two parts. One part is a centric load F that acts along the column’s axis. The other part is a couple moment created by the eccentricity, or distance, between the load and the centroidal axis. To study the column...

design of columns under a centric load

Column Buckling and Load Design Basics

Column design under a centric load is a key part of structural engineering. It helps engineers keep buildings and other structures stable and safe. The main tools used here are Euler’s formula and Secant’s formula. Euler’s formula is used when a column is assumed to be perfect, straight, and uniform. It also applies when the material stays within its elastic limit. The critical load from Euler’s formula depends on the material’s modulus of elasticity and the column’s shape. This formula works...

design of columns under an eccentric load

design-of-columns-under-an-eccentric-load

Eccentric Load Stresses in Structural Columns

Structural columns under eccentric load must be designed for both axial force and bending stress. An eccentric load is an off-center load, and it creates a non-uniform stress pattern across the column. Engineers must analyze this stress distribution carefully to reduce the risk of failure. The stress in an eccentrically loaded column can be treated as the sum of two parts. One part comes from an equivalent centric load, which is a load applied through the center of the column. The other part...

key terms and concepts

Learn how pin-ended columns buckle under compressive axial load and how Euler's formula gives the critical load and elastic curve after buckling.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns | JoVE K12

JoVE Core Mechanical Engineering offers concise, easy-to-understand animated videos covering key topics such as equilibrium, forces, truss analysis, and structural mechanics. Explore their real-world applications, and witness these concepts in action through scientist-led experiments.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

Description

Transcript

Tags