Name: convolution rules for width and area
Uploaded: 2024-09-26T13:16:55.000Z
Duration: 1 min 17 s
Channel: JoVE

Ważnymi właściwościami konwolucji są właściwości szerokości, powierzchni, różnicowania i integracji.
Właściwość width wskazuje, że jeśli czasy trwania sygnałów wejściowych wynoszą odpowiednio T1 i T2, to szerokość odpowiedzi wyjściowej jest równa sumie obu czasów trwania, niezależnie od kształtów tych dwóch funkcji. Na przykład splot dwóch prostokątnych impulsów o czasie trwania 2s i 1s daje funkcję o szerokości 3s.
Właściwość area zakłada, że obszar w splocie dwóch funkcji jest równy iloczynowi obszarów w ramach każdej funkcji.
Właściwość różnicowania mówi, że pochodna splotu jest równa splucjom pochodnej sygnału wejściowego i odpowiedzi impulsowej lub odwrotnie.
Łączenie równań i uogólnianie dla pochodnych wyższego rzędu daje ogólną relację różniczkowania.
Właściwość całkowania dla danego splotu daje splot odpowiedzi impulsowej i odpowiedzi wejściowej. Można to również stwierdzić w odwrotnej kolejności.
Jeśli konwolucja jest wykonywana za pomocą funkcji krokowej, system LTI zachowuje się jak idealny integrator.

właściwości splotu - ii

Właściwości splotu obejmują szerokość, obszar, różniczkowanie i właściwości całkowania.

Właściwość szerokości wskazuje, że jeśli czasy trwania sygnałów wejściowych wynoszą T_1 i T_2, to szerokość odpowiedzi wyjściowej jest równa sumie obu czasów trwania, niezależnie od kształtów dwóch funkcji. Na przykład splot dwóch prostokątnych impulsów o czasie trwania 2 sekund i 1 sekundy daje funkcję o szerokości 3 sekund.

Właściwość obszaru potwierdza, że obszar pod splotem dwóch funkcji jest równy iloczynowi obszarów pod każdą funkcją. Matematycznie, jeśli x(t) i h(t) są dwiema funkcjami, to wyrażenie dla własności obszaru można podać jako,

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16051/16051_PT%20EQUATION_1.svg" style="height: 16px;">

Właściwość różniczkowania stwierdza, że pochodna splotu jest równa splotowi pochodnej sygnału wejściowego i odpowiedzi impulsowej lub odwrotnie. Można to wyrazić jako,

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16051/16051_PT%20EQUATION_2.svg" style="height: 34px;">

Połączenie tych równań i uogólnienie na pochodne wyższego rzędu daje ogólną relację różniczkowania.

Właściwość całkowania wskazuje, że całka splotu daje splot odpowiedzi impulsowej i całkę sygnału wejściowego lub odwrotnie. Matematycznie przedstawia się to następująco:

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16051/16051_PT%20EQUATION_3.svg" style="height: 42px;">

Jeśli splot jest wykonywany z funkcją skokową, system LTI zachowuje się jak idealny integrator.

Te właściwości — szerokość, obszar, różniczkowanie i całkowanie — są kluczowe dla uproszczenia i zrozumienia operacji na splotach w systemach LTI, ułatwiając analizę i projektowanie przetwarzania sygnałów.

Właściwości splotu - II

Ważnymi właściwościami konwolucji są właściwości szerokości, powierzchni, różnicowania i integracji.
Właściwość width wskazuje, że jeśli czasy trwania ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnika

Unit 1

Jednostka 1

Linear Time- Invariant Systems

Liniowe układy niezmiennicze w czasie

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

Convolution Properties II

convolution rules for width and area

Convolution rules help describe how an output signal changes when two signals are combined in an LTI system. The main rules here are width, area, differentiation, and integration. These rules make convolution easier to analyze and use in signal processing.

The width property says that if two input signals last for T1 and T2, the output response lasts for T1 plus T2. This is true no matter what shape the two functions have. For example, convolving two rectangular pulses with durations of 2 seconds and 1 second gives an output with a width of 3 seconds.

The area property states that the area under the convolution of two functions equals the product of their individual areas. In other words, if x(t) and h(t) are convolved, the total area of the result depends on the area of each input. The differentiation property says that the derivative of a convolution is the convolution of the derivative of the input signal and the impulse response, or the other way around.

The integration property gives the matching rule for integrals. It says that integrating a convolution produces the convolution of the impulse response and the integral of the input signal, or vice versa. If a convolution is performed with a step function, the LTI system acts like an ideal integrator. Together, these width, area, differentiation, and integration rules help simplify convolution in LTI systems and support the analysis and design of more complex signal processing tasks.

Convolution Rules for Width and Area

linear time-invariant systems

Impulse Response in LTI Systems

Linear time-invariant systems are defined by linear elements and constant parameters. A system is linear when it shows homogeneity and additivity. These two ideas together are called the superposition property. Superposition is a key rule for analyzing linear systems. For a linear time-invariant system, the response to an impulse at the input can describe the whole input-output behavior. An impulse is a very short, sudden input. Once the impulse response is known, the response to other inputs...

impulse response

RC Circuit Impulse Response

RC circuit impulse response describes how the capacitor voltage changes after a brief input signal. In this system, the voltage source is the input, and the capacitor voltage is the output. The state of the circuit before and after excitation is defined separately so the response can be tracked clearly. Kirchhoff’s law is used to write the input signal equation for the RC circuit. The capacitor current and voltage provide the output relation. After substituting the current expression and...

convolution: math, graphics, and discrete signals

convolution-math-graphics-and-discrete-signals

Convolution in LTI Systems and Signal Response

Convolution describes how a linear time-invariant, or LTI, system responds to an input signal. In an LTI system, the convolution of two signals is written with a convolution operator. The method assumes that all initial conditions are zero. The convolution integral can be split into two parts. These are the zero-input response, also called the natural response, and the zero-state response, also called the forced response. The initial time is marked as t0. To make the integral easier to work...

convolution properties i

LTI System Tricks for Easier Convolution

LTI system properties can make convolution easier to work with. LTI stands for linear time-invariant. In these systems, the input signal and the impulse response can be handled in helpful ways that simplify the final output. The commutative property means the input and the impulse response can be switched without changing the result. The associative property says that when three functions are convolved, the order of grouping does not change the answer. For two LTI systems in series, this lets...

convolution properties ii

Convolution rules help describe how an output signal changes when two signals are combined in an LTI system. The main rules here are width, area, differentiation, and integration. These rules make convolution easier to analyze and use in signal processing. The width property says that if two input signals last for T1 and T2, the output response lasts for T1 plus T2. This is true no matter what shape the two functions have. For example, convolving two rectangular pulses with durations of 2...

deconvolution

Finding an Impulse Response from Signals

Deconvolution is a method for finding a system’s impulse response from known input and output signals. It is also called inverse filtering. This technique is useful when the system’s characteristics are not known directly and must be inferred from the signals that can be observed. One common way to do deconvolution is polynomial division. In this approach, the input and output sequences are treated as coefficients of polynomials written in descending order. Long division is then used to divide...

bibo stability of continuous and discrete -time systems

bibo-stability-of-continuous-and-discrete-time-systems

Testing System Stability with Convolution

System stability in signal processing is often tested with convolution. A system is BIBO stable, or bounded-input bounded-output stable, when every bounded input signal produces a bounded output signal. A bounded input signal has a modulus that never exceeds a set constant at any time. For a continuous-time Linear Time-Invariant, or LTI, system, BIBO stability is checked with the convolution integral. The input is bounded by a constant, and the convolution integral shows whether the output...

key terms and concepts

Learn the key convolution rules for width, area, differentiation, and integration in LTI systems, with a simple rectangular pulse example and step-function behavior.

Convolution Rules for Width and Area | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Convolution Rules for Width and Area

Description

Transcript

Tags