Name: parseval's theorem in signal power
Uploaded: 2024-09-26T13:17:01.000Z
Duration: 1 min 18 s
Channel: JoVE

Twierdzenie Parsevala mówi, że jeśli funkcja jest okresowa, to średnia moc sygnału w jednym okresie jest równa sumie kwadratów wielkości wszystkich zespolonych współczynników Fouriera.
Aby zweryfikować twierdzenie Parsevala, załóżmy, że funkcja ma zespolony szereg Fouriera w postaci standardowej. Podstawienie tego i dalsze rozwiązanie daje dowód twierdzenia.
Co ciekawe, twierdzenie Parsevala można również wyrazić w postaci współczynników Fouriera trygonometrycznego szeregu Fouriera.
W przetwarzaniu dźwięku twierdzenie Parsevala służy do porównywania energii oryginalnej fali dźwiękowej z jej skompresowaną wersją.
Inżynierska interpretacja tego twierdzenia dostarcza praktycznych spostrzeżeń. Jeśli funkcja reprezentuje sygnał elektryczny, taki jak prąd lub napięcie, to kwadrat funkcji reprezentuje chwilową moc w rezystorze 1-omowym.
Twierdzenie to odnosi również energię rozpraszaną w rezystorze w jednym okresie do szeregu Fouriera, podając dwa różne wyrażenia - jedno pod względem trygonometrycznego szeregu Fouriera, a drugie pod względem szeregu Fouriera w fazie amplitudy.

twierdzenie parsevala

Twierdzenie Parsevala jest fundamentalną koncepcją w przetwarzaniu sygnałów i analizie harmonicznej. Dla funkcji okresowej średnia moc sygnału w jednym okresie jest równa sumie kwadratów wielkości wszystkich jej zespolonych współczynników Fouriera. Twierdzenie to, nazwane na cześć Marca-Antoine'a Parsevala, stanowi potężne narzędzie do analizy rozkładu energii w sygnałach.

Co ciekawe, twierdzenie Parsevala obowiązuje również dla trygonometrycznej formy szeregu Fouriera, która wyraża funkcję za pomocą funkcji sinus i cosinus. Tutaj współczynniki Fouriera można powiązać ze współczynnikami szeregu trygonometrycznego, co pozwala na zastosowanie twierdzenia w tej alternatywnej formie.

Aby potwierdzić twierdzenie Parsevala, zaczynamy od rozważenia funkcji x(t) z reprezentacją w postaci zespolonego szeregu Fouriera:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16063/16063_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 30px;">

Gdzie cn to zespolone współczynniki Fouriera, a ω_0 to podstawowa częstość kątowa. Twierdzenie stwierdza:

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16063/16063_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 36px;">

Gdzie T to okres funkcji. Podstawienie szeregu Fouriera do lewej strony i rozwiązanie potwierdza równość, udowadniając w ten sposób twierdzenie.

Twierdzenie Parsevala jest kluczowe w praktycznych zastosowaniach, szczególnie w przetwarzaniu dźwięku. Umożliwia porównanie energii zawartej w oryginalnej fali dźwiękowej z energią zawartą w jej skompresowanej wersji. Porównanie to jest niezbędne, aby zapewnić, że proces kompresji nie pogorszy znacząco jakości sygnału audio poprzez utratę zbyt dużej ilości energii.

Z perspektywy inżynierskiej twierdzenie Parsevala pozwala na cenne spostrzeżenia. Na przykład, jeśli funkcja w kwestii reprezentuje sygnał elektryczny, taki jak prąd lub napięcie, to kwadrat tej funkcji reprezentuje chwilową moc rozproszoną w rezystorze 1-omowym. W konsekwencji twierdzenie łączy energię rozproszoną w rezystorze w ciągu jednego okresu z reprezentacją sygnału w postaci szeregu Fouriera. Ta relacja jest wyrażona w dwóch różnych formach: jednej przy użyciu trygonometrycznego szeregu Fouriera, a drugiej przy użyciu postaci amplitudy i fazy szeregu Fouriera. Tak więc twierdzenie Parsevala nie tylko służy jako narzędzie analityczne, ale także łączy koncepcje teoretyczne z praktycznymi zastosowaniami inżynierskimi.

Twierdzenie Parsevala

Twierdzenie Parsevala mówi, że jeśli funkcja jest okresowa, to średnia moc sygnału w jednym okresie jest równa sumie kwadratów ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnika

Unit 1

Jednostka 1

Fourier Series

Szeregi Fouriera

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

Parseval's Theorem

parseval's theorem in signal power

Parseval's theorem links signal power to Fourier series coefficients. For a periodic function, it says the average power over one period equals the sum of the squared magnitudes of its complex Fourier coefficients. This makes the theorem useful for studying how energy is distributed in a signal.

The theorem also works for the trigonometric form of the Fourier series. In that form, a function is written using sine and cosine terms. The Fourier coefficients can be related to the trigonometric series coefficients, so the same idea can be applied in this alternate form.

To verify Parseval's theorem, start with a function x(t) written as a complex Fourier series. In this form, Cn are the complex Fourier coefficients, and ω0 is the fundamental angular frequency. The theorem states the equality between average power over a period T and the sum of the squared coefficient magnitudes. Substituting the Fourier series into the left-hand side and simplifying confirms the result.

Parseval's theorem is important in audio processing. It can compare the energy in an original sound wave with the energy in a compressed version. This helps show whether compression has kept most of the signal energy and avoided major loss in sound quality.

The theorem is also useful in engineering with current or voltage signals. In that case, the square of the function represents the instantaneous power dissipated in a 1-ohm resistor. Parseval's theorem then connects the energy dissipated over one period to the Fourier series form of the signal. It can be written using either the trigonometric Fourier series or the amplitude-phase form, which makes it a practical bridge between signal theory and real engineering problems.

Parseval's Theorem in Signal Power

trigonometric fourier series

Fourier Coefficients and Harmonic Terms

Fourier series describe periodic functions by writing them as sums of sine and cosine waves. The trigonometric Fourier series uses a function with period T and represents it with simple harmonic terms. This approach helps break a complex repeating signal into parts that are easier to study. In the standard form, the series includes a0, an, and bn. The term a0 gives the average value of the function over one period. The coefficients an and bn show how much each cosine and sine term contributes...

exponential fourier series

Fourier Series in Audio Signal Processing

Fourier series are used in audio signal processing to break complex sounds into simpler sinusoidal parts. This helps explain how musical notes and other periodic signals can be analyzed and rebuilt from frequency components. The exponential Fourier series writes a periodic signal as a sum of complex exponentials at positive and negative harmonic frequencies. These harmonic terms capture the repeated pattern in the signal. Euler's identity connects the exponential form to cosine and sine, which...

properties of fourier series i

Fourier Series Properties in Signal Processing

Fourier series properties help describe periodic signals in signal processing and communications. A Fourier series breaks a signal into sine and cosine parts. These properties make it easier to study how signals behave and how they can be handled in real systems. Linearity is one of the most important properties. If two periodic signals are added together or combined in a linear way, the new signal has Fourier coefficients that are the same linear combination of the original coefficients. This...

properties of fourier series ii

Fourier Series Symmetry and Time Scaling

Fourier series change in useful ways when a signal is time-scaled or when it has symmetry. Time scaling changes the fundamental frequency, but the Fourier series coefficients stay the same. This idea helps show how a signal is represented over time in signal processing. Symmetry also makes Fourier series easier to work with. A function is even if f(t) = f(-t). For even functions, the sine terms disappear because sine is an odd function, and the integral of an odd function over a symmetric...

parseval's theorem

Parseval's theorem links signal power to Fourier series coefficients. For a periodic function, it says the average power over one period equals the sum of the squared magnitudes of its complex Fourier coefficients. This makes the theorem useful for studying how energy is distributed in a signal. The theorem also works for the trigonometric form of the Fourier series. In that form, a function is written using sine and cosine terms. The Fourier coefficients can be related to the trigonometric...

convergence of fourier series

Fourier Series Truncation and Gibbs Ripples

Fourier series can represent a periodic signal as an infinite sum of complex exponentials. For practical use, that infinite series is cut off after a finite number of terms. The result is a partial sum that gives a workable approximation of the original signal. Truncating the series creates a challenge near discontinuities. The approximation develops the Gibbs phenomenon, which is the set of persistent oscillations and overshoots around a jump in the signal. These high-frequency ripples do not...

discrete-time fourier series

DTFS for Periodic Signal Analysis

Discrete-Time Fourier Series (DTFS) helps analyze periodic signals in discrete time by breaking them into frequency components. It is the discrete-time counterpart of the continuous-time Fourier series. Instead of using integrals, DTFS uses summations because the signal is discrete. For a discrete-time periodic signal x[n] with period N0, the DTFS coefficients X[k] are found from the DTFS formula. The index k runs from 0 to N0 − 1. These coefficients describe the signal in the frequency domain...

key terms and concepts

Learn how Parseval's theorem connects a periodic signal’s average power to Fourier coefficients, with uses in audio compression and electrical signals.

Parseval's Theorem in Signal Power | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Parseval's Theorem in Signal Power

Description

Transcript

Tags