Name: root locus paths and asymptotes
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

Budowa locus korzenia polega na określeniu liczby odgałęzień równej liczbie biegunów w pętli zamkniętej. Locus korzenia jest symetryczny względem osi rzeczywistej.
Locus główny istnieje w tej części osi rzeczywistej, w której suma całkowitej liczby skończonych biegunów pętli otwartej i zer po lewej stronie jest nieparzysta.
Zaczynając od biegunów pętli otwartej, locus śledzi bieguny systemu zamkniętej pętli z rosnącym wzmocnieniem i kończy się na zerach w pętli otwartej, gdzie bieguny systemu stabilizują się wraz ze wzrostem wzmocnienia.
Funkcja, która zbliża się do nieskończoności, gdy s zbliża się do nieskończoności, ma biegun w nieskończoności. Jeśli zbliża się do zera, ma zero w nieskończoności.
Gdy locus rdzenia przesuwa się w kierunku nieskończoności, zbliża się do pewnych linii prostych zwanych asymptotami. Dla danego układu obliczane jest punkt przecięcia i kąt osi rzeczywistej. Wraz ze wzrostem wzmocnienia kąty zaczynają się powtarzać.
Ich równanie, oparte na przecięciu osi rzeczywistej i kącie, ujawnia drogę loci od biegunów do nieskończoności.
Locus zaczyna się od biegunów pętli otwartej i kończy się na zerach pętli otwartej.

budowa linii pierwiastkowej

Konstrukcja linii pierwiastkowej obejmuje kilka kluczowych kroków w celu analizy i wizualizacji zachowania biegunów układu ze zmiennym wzmocnieniem. Liczba gałęzi w linii pierwiastkowej jest równa liczbie biegunów pętli zamkniętej i jest symetryczna względem osi rzeczywistej.

W przypadku dodatnich wartości wzmocnienia, miejsce pierwiastka znajduje się na osi rzeczywistej na lewo od nieparzystej liczby skończonych biegunów pętli otwartej lub zer. Miejsce pierwiastka zaczyna się od biegunów pętli otwartej i śledzi ścieżki biegunów pętli zamkniętej, gdy wzmocnienie wzrasta. Kończy się przy zerach pętli otwartej, gdzie bieguny układu stabilizują się, gdy wzmocnienie nadal rośnie.

Jeśli funkcja zbliża się do nieskończoności, gdy s zbliża się do nieskończoności, ma biegun w nieskończoności. Odwrotnie, jeśli funkcja zbliża się do zera, ma zero w nieskończoności. Gdy linia pierwiastkowa rozciąga się w kierunku nieskończoności, podąża on za określonymi asymptotami. Równania tych asymptot są określone przez przecięcie osi rzeczywistej i ich kąty, które wskazują ścieżki, jakie pokonują zbiory od biegunów do nieskończoności.

Aby obliczyć te ścieżki dla danego układu, należy określić przecięcie osi rzeczywistej i kąty asymptot. Kąty są wyprowadzane na podstawie liczby biegunów i zer i zaczynają się powtarzać wraz ze wzrostem wzmocnienia. Wzór na kąt asymptot jest podany przez:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16122/16122_PT_Equation_001.svg" style="height: 30px;">

gdzie k jest liczbą całkowitą, n jest liczbą biegunów, a m jest liczbą zer.

Pełny wykres linii pierwiastkowej zaczyna się od biegunów pętli otwartej i kończy się na zerach pętli otwartej. Ten wykres przestrzega zasad rządzących metodą linii pierwiastkowej, zapewniając, że stabilność i odpowiedź systemu mogą być dokładnie analizowane i przewidywane.

Postępując zgodnie z tymi krokami, inżynierowie mogą skutecznie używać metody linii pierwiastków do projektowania i dostrajania systemów sterowania, zapewniając pożądaną wydajność i stabilność w różnych warunkach pracy. To podejście zapewnia wyraźną wizualizację tego, jak bieguny systemu migrują wraz ze wzrostem wzmocnienia, pomagając w solidnym projektowaniu strategii sterowania.

Budowa linii pierwiastkowej

Budowa locus korzenia polega na określeniu liczby odgałęzień równej liczbie biegunów w pętli zamkniętej. Locus korzenia jest symetryczny względem ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnika

Unit 1

Jednostka 1

Root-Locus Method

Metoda miejsca pierwiastków

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

Construction of Root Locus

root locus paths and asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between.

The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or zeros. The paths begin at the open-loop poles and move as gain increases.

As gain continues to rise, the root locus ends at the open-loop zeros. At those points, the system poles settle. If a function goes to infinity as s approaches infinity, it has a pole at infinity. If a function goes to zero, it has a zero at infinity.

When the root locus extends toward infinity, it follows asymptotes. An asymptote is a line that shows the direction of a branch far from the poles and zeros. The asymptotes are found from the real-axis intercept and their angles. The angle formula depends on the number of poles, n, the number of zeros, m, and an integer k. These angles repeat as gain increases.

A complete root locus plot starts at the open-loop poles and ends at the open-loop zeros. It follows the rules of the root locus method so stability and response can be studied and predicted. Engineers use this plot to design and tune control systems for the desired performance across different operating conditions. The result is a clear picture of how system poles migrate with increasing gain.

Root Locus Paths and Asymptotes

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

Root locus and closed-loop stability are key ideas in control systems. A basic thermostat is an open-loop system, so its transfer function poles affect the response but do not set stability. When feedback is added, the system becomes closed-loop, like an advanced thermostat that changes heating based on room temperature. In a closed-loop system, stability depends on the new poles of the closed-loop transfer function. If those poles move into the unstable region, the system can start to...

vector representation of complex numbers

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

Root locus helps show how cruise control stays stable as conditions change. In a car, cruise control keeps a set speed by adjusting the gas pedal automatically. It keeps checking the car’s speed and makes small pedal changes to hold that target speed. This system can be drawn as a block diagram, and its transfer function gives the math model. The model is useful when the car goes uphill, downhill, or faces strong wind resistance. To find the system poles for different pedal forces, the...

properties of the root locus

Root Locus Angle and Gain Rules

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response. A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles...

construction of root locus

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between. The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or...

plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

Root locus rules help describe how oscillator feedback systems behave as gain changes. The Hartley oscillator is one example of a positive feedback system. It keeps oscillating by feeding the output back to the input in phase, which reinforces the signal. Positive feedback systems can also be treated as negative feedback systems with the feedback signal inverted. In root locus analysis, the locus is the set of points on the s-plane where the transfer function angle equals 360 degrees. The...

key terms and concepts

Learn how root locus branches move from open-loop poles to zeros, use asymptotes, and show how gain affects stability in control systems.

Root Locus Paths and Asymptotes | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Root Locus Paths and Asymptotes

Description

Transcript

Tags