Name: tetrahedron volume from triangle slices
Uploaded: 2026-06-30T06:21:21.659Z
Duration: 1 min 25 s
Channel: JoVE

Dla ciał stałych, gdzie znane są powierzchnie przekroju poprzecznego, objętość jest wyznaczana przez całkowanie tych obszarów wzdłuż osi prostopadłej do przekrojów.Rozważmy czworościan o wysokości h oraz bazę będącą trójkątem równobocznym o boku a.Początek układany jest w górnym wierzchołku, a oś y rozciąga się wzdłuż wysokości.Przekroje prostopadłe do tej osi tworzą mniejsze trójkąty równoboczne, które powiększają się od wierzchołka do podstawy.Przy jednej stronie bazy równoległej do osi x, długość boków każdego małego trójkąta równobocznego na wysokości y jest określana za pomocą podobnych trójkątów. Skaluje się jako y przez h razy a.Pole każdego trójkąta równobocznego jest równe pierwiastkowi 3 przez 4 razy kwadrat jego boku. Te obszary pokazują zmieniające się przekroje poprzeczne wzdłuż wysokości.Objętość czworościanu jest wyznaczana przez całkowanie tych obszarów od wierzchołka do podstawy. Wynik jest proporcjonalny do iloczynu wysokości i kwadratu strony bazy.Geodeci stosują tę metodę, aby określić objętość nieregularnego stosu żwiru, mierząc zmieniające się przekroje poprzeczne i integrując je w celu dokładnych szacunków materiału.

obliczanie objętości metodą pola przekroju poprzecznego

Finding Volume Using Cross-Sectional Area

W przypadku bry&#x142;, kt&#xF3;rych pola przekroju poprzecznego zmieniaj&#x105; si&#x119; w przewidywalny spos&#xF3;b, obj&#x119;to&#x15B;&#x107; mo&#x17C;na wyznaczy&#x107;, ca&#x142;kuj&#x105;c te pola wzd&#x142;u&#x17C; osi prostopad&#x142;ej do przekroj&#xF3;w. To podej&#x15B;cie jest szczeg&#xF3;lnie przydatne w przypadku bry&#x142; wielo&#x15B;ciennych, w kt&#xF3;rych klasyczne wzory geometryczne mog&#x105; nie by&#x107; od razu stosowane. Czworo&#x15B;cian stanowi wyra&#x17A;ny przyk&#x142;ad zastosowania ca&#x142;kowania przekroj&#xF3;w poprzecznych do obiektu tr&#xF3;jwymiarowego o ci&#x105;gle zmieniaj&#x105;cej si&#x119; geometrii.
Rozwa&#x17C;my czworo&#x15B;cian o wysoko&#x15B;ci h i podstawie b&#x119;d&#x105;cej tr&#xF3;jk&#x105;tem r&#xF3;wnobocznym o boku a. Uk&#x142;ad wsp&#xF3;&#x142;rz&#x119;dnych wybrano tak, aby pocz&#x105;tek znajdowa&#x142; si&#x119; w g&#xF3;rnym wierzcho&#x142;ku, a o&#x15B; y bieg&#x142;a w d&#xF3;&#x142; wzd&#x142;u&#x17C; wysoko&#x15B;ci czworo&#x15B;cianu do podstawy. Przekroje poprzeczne prostopad&#x142;e do tej osi tworz&#x105; tr&#xF3;jk&#x105;ty r&#xF3;wnoboczne, kt&#xF3;rych wymiary monotonnie rosn&#x105; od wierzcho&#x142;ka do podstawy. W wierzcho&#x142;ku pole przekroju poprzecznego wynosi zero i osi&#x105;ga maksymaln&#x105; warto&#x15B;&#x107; u podstawy.
Przyjmuj&#x105;c, &#x17C;e jeden bok tr&#xF3;jk&#x105;ta podstawy jest r&#xF3;wnoleg&#x142;y do osi x, d&#x142;ugo&#x15B;&#x107; boku ka&#x17C;dego tr&#xF3;jk&#x105;ta przekroju poprzecznego na danej wysoko&#x15B;ci y mo&#x17C;na wyznaczy&#x107; za pomoc&#x105; tr&#xF3;jk&#x105;t&#xF3;w podobnych. Poniewa&#x17C; czworo&#x15B;cian zw&#x119;&#x17C;a si&#x119; liniowo, d&#x142;ugo&#x15B;&#x107; boku przekroju poprzecznego ro&#x15B;nie wprost proporcjonalnie do stosunku odleg&#x142;o&#x15B;ci od wierzcho&#x142;ka do ca&#x142;kowitej wysoko&#x15B;ci. W rezultacie tr&#xF3;jk&#x105;tne przekroje poprzeczne rosn&#x105; r&#xF3;wnomiernie wraz ze wzrostem y.
Pole ka&#x17C;dego tr&#xF3;jk&#x105;ta r&#xF3;wnobocznego zale&#x17C;y od kwadratu d&#x142;ugo&#x15B;ci boku, pomno&#x17C;onego przez sta&#x142;y wsp&#xF3;&#x142;czynnik geometryczny. Pola te reprezentuj&#x105; zmiany przekroju poprzecznego czworo&#x15B;cianu w miar&#x119; jego rozszerzania si&#x119; wzd&#x142;u&#x17C; wysoko&#x15B;ci. Przez ca&#x142;kowanie pola tych tr&#xF3;jk&#x105;t&#xF3;w od wierzcho&#x142;ka do podstawy uzyskuje si&#x119; ca&#x142;kowit&#x105; obj&#x119;to&#x15B;&#x107; czworo&#x15B;cianu. Wynik ko&#x144;cowy pokazuje, &#x17C;e obj&#x119;to&#x15B;&#x107; jest proporcjonalna do wysoko&#x15B;ci i kwadratu d&#x142;ugo&#x15B;ci boku podstawy, co jest zgodne z powszechnie znanymi zale&#x17C;no&#x15B;ciami geometrycznymi.
Ta technika ca&#x142;kowania przekroj&#xF3;w poprzecznych ma praktyczne zastosowania wykraczaj&#x105;ce poza wyidealizowane bry&#x142;y. Geodeci i in&#x17C;ynierowie stosuj&#x105; podobne metody do szacowania obj&#x119;to&#x15B;ci nieregularnych ha&#x142;d &#x17C;wiru lub rob&#xF3;t ziemnych. Mierz&#x105;c pola przekroju poprzecznego w wielu miejscach i ca&#x142;kuj&#x105;c je wzd&#x142;u&#x17C; d&#x142;ugo&#x15B;ci lub wysoko&#x15B;ci, mo&#x17C;na dok&#x142;adnie okre&#x15B;li&#x107; ilo&#x15B;&#x107; materia&#x142;&#xF3;w do cel&#xF3;w planowania i budowy.

Obliczanie objętości metodą pola przekroju poprzecznego

W przypadku bry&#x142;, kt&#xF3;rych pola przekroju poprzecznego zmieniaj&#x105; si&#x119; w przewidywalny spos&#xF3;b, obj&#x119;to&#x15B;&#x107; ...

https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40569/40569_article_thumb_40569_TN.jpg

finding-volume-using-cross-sectional-area

Education

JoVE Core

Calculus

Rachunek różniczkowy i całkowy

Unit

Jednostka

Applications of Integration

Zastosowania całkowania

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

tetrahedron volume from triangle slices

Tetrahedron volume can be found by adding the areas of triangular slices. This method uses cross-sectional area, which is the area of a flat slice taken through a 3D solid. It is useful when a solid changes shape in a regular way and a simple geometric formula is not available.

A tetrahedron is a good example. It has a height h and an equilateral triangle base with side length a. The coordinate system places the origin at the top vertex, and the y-axis goes downward along the height to the base. Slices taken perpendicular to this axis are equilateral triangles that grow larger from the vertex to the base.

At the top vertex, the cross-sectional area is zero. At the base, it is largest. Using similar triangles, the side length of a slice at height y can be found from the way the tetrahedron narrows linearly. The side length changes in direct proportion to the distance from the vertex to the total height.

Each cross-section is an equilateral triangle, so its area depends on the square of its side length and a constant geometric factor. These triangular areas show how the solid changes as it extends downward. Integrating the areas from the top vertex to the base gives the total volume of the tetrahedron. The final result matches the known relationship that volume depends on the height and the square of the base side length.

This cross-sectional integration method is also useful outside ideal math problems. Surveyors and engineers can use it to estimate the volume of irregular gravel piles or earthworks. They measure cross-sectional areas at several points and integrate along the length or height to find accurate material quantities for planning and construction.

Tetrahedron Volume from Triangle Slices

area between curves: integrating with respect to x

area-between-curves-integrating-with-respect-to-x

Vertical Slices for Area Between Curves

Area between curves can be found by using vertical slices and a definite integral. For two continuous functions on a closed interval from a to b, the region is bounded by their graphs on the sides and by the interval endpoints across the bottom and top edges of the setup. A first estimate comes from splitting the interval into many narrow vertical strips of equal width. Each strip is treated like a rectangle. Its height is the vertical difference between the two functions at a chosen point...

area between curves: integrating with respect to y

area-between-curves-integrating-with-respect-to-y

Horizontal Slices for Area Between Curves

Area between curves can be found with horizontal slices when both boundaries are written as functions of y. The left and right curves are continuous from y = c to y = d, and those lines set the vertical limits of the region. Because the curves depend on y, the area is best measured by moving across the shape with thin horizontal strips. The method uses a Riemann sum. The region is divided into many thin strips with the same height, delta y. For each strip, the width is the horizontal distance...

area between curves: problem solving

Piecewise Area Between Curves

Piecewise area between curves uses more than one integral to find the size of a region on a graph. In this example, the region is enclosed by a square root function, a reflected cube root function, and a linear function. The line intersects each of the other two curves, and those intersection points show where the boundary of the region changes. The area cannot be found with one setup over the full interval because the top and bottom curves are not the same everywhere. The region is split at...

calculation of volume of solids by integration

calculation-of-volume-of-solids-by-integration

Slicing Methods for Solid Volume

Slicing methods help find the volume of solids with changing cross-sections. A basic solid, like a rectangular box, is easy to measure because its base area stays the same along its height. Many real objects do not have that regular shape, so elementary geometry is not enough. The slicing method solves this by breaking a solid into many very thin slices. These slices are taken perpendicular to a chosen axis, often the x-axis. Each slice has a small thickness, written as delta x, and a...

volumes of solids of revolution

Disk Method for Rotated Region Volume

The disk method is used to find the volume of a solid formed by rotating a region around an axis. The region is first drawn in a two-dimensional plane. When that region spins around a fixed line, called the axis of revolution, it creates a three-dimensional shape with rotational symmetry. These shapes appear often in math models, physics, and engineering. When the region touches the axis of revolution, the solid has no hollow space inside. Its cross-sections are circular, so the shape can be...

finding volume using cross-sectional area

Tetrahedron volume can be found by adding the areas of triangular slices. This method uses cross-sectional area, which is the area of a flat slice taken through a 3D solid. It is useful when a solid changes shape in a regular way and a simple geometric formula is not available. A tetrahedron is a good example. It has a height h and an equilateral triangle base with side length a. The coordinate system places the origin at the top vertex, and the y-axis goes downward along the height to the...

problem solving: volume

Finding the Volume of a Jet Fuel Tank

The volume of a jet fuel tank can be found with solids of revolution. The tank is modeled by rotating a two-dimensional region around the x-axis. This creates a three-dimensional shape that is symmetric about the axis of rotation. The region runs from 0 to 2 meters, so the tank’s shape can be measured along that length. Because the boundary curve touches the axis, the disk method works well here. The disk method breaks the solid into many very thin circular slices that are perpendicular to the...

average value of a function

Estimating Function Behavior with Average Value

The average value of a function gives one number that summarizes how a quantity changes over a closed interval. It can also be viewed as the height of a rectangle whose area matches the net area under the curve. That net area includes both positive and negative parts of the function, so the result reflects the function’s overall behavior. A greenhouse temperature over a 24-hour period is a practical example of this idea. The temperature may rise and fall throughout the day, but it is still...

key terms and concepts

Learn how triangular cross-sections, similar triangles, and integration are used to find the volume of a tetrahedron and estimate real-world material piles.

Tetrahedron Volume from Triangle Slices | JoVE K12

The JoVE Core Calculus collection provides a comprehensive visual guide to the entire calculus sequence, seamlessly connecting mathematical theory to real-world applications in physics and economics. Through dynamic animated lessons, the course transitions smoothly from foundational single-variable concepts to advanced multivariable topics. Students will explore everything from standard differentiation and integration to spatial vectors, multi-dimensional derivatives, and complex vector fields. By breaking down abstract coordinate systems, infinite series, and spatial motion, this structured approach builds the robust analytical skills and advanced mastery essential for STEM success.

calculus

Tetrahedron Volume from Triangle Slices

Description

Transcript

Tags