Name: root locus paths and asymptotes
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

A construção do locus raiz envolve a determinação do número de ramificações que é igual ao número de pólos de circuito fechado. O locus raiz é simétrico em relação ao eixo real.
O locus raiz existe na parte do eixo real onde a soma do número total de pólos finitos de malha aberta e zeros à esquerda é ímpar.
Originando-se em pólos de malha aberta, o locus traça pólos de sistema de malha fechada com ganho crescente e termina em zeros de malha aberta, onde os pólos do sistema se estabilizam com o ganho crescente.
Uma função que se aproxima do infinito à medida que s se aproxima do infinito tem um pólo no infinito. Se se aproximar de zero, tem um zero no infinito.
À medida que o locus raiz se move em direção ao infinito, ele se aproxima de certas linhas retas conhecidas como assíntotas. Para um determinado sistema, a interceptação e o ângulo do eixo real são calculados. À medida que o ganho aumenta, os ângulos começam a se repetir.
Sua equação, baseada na interceptação e no ângulo do eixo real, revela o caminho dos loci dos pólos ao infinito.
O locus se origina dos pólos de malha aberta e termina nos zeros de malha aberta.

construção do lugar das raízes

A construção de um lugar das raízes envolve várias etapas importantes para analisar e visualizar o comportamento dos pólos de um sistema com ganho variável. O número de ramificações no lugar das raízes é igual ao número de pólos de malha fechada e é simétrico em relação ao eixo real.


 Para valores de ganho positivos, o lugar das raízes existe no eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos ou zeros finitos de malha aberta. O lugar das raízes começa nos pólos de malha aberta e traça os caminhos dos pólos de malha fechada conforme o ganho aumenta. Ele termina nos zeros de malha aberta, onde os pólos do sistema se estabilizam conforme o ganho continua a aumentar.


 Se uma função se aproxima do infinito conforme s se aproxima do infinito, ela tem um pólo no infinito. Por outro lado, se uma função se aproxima de zero, ela tem um zero no infinito. Conforme o lugar das raízes se estende em direção ao infinito, ele segue assíntotas específicas. As equações dessas assíntotas são determinadas pela interceptação do eixo real e seus ângulos, que indicam os caminhos que os lugares das raízes tomam dos pólos ao infinito.


 Para calcular esses caminhos para um dado sistema, determina-se a interceptação do eixo real e os ângulos das assíntotas. Os ângulos são derivados com base no número de pólos e zeros e começam a se repetir conforme o ganho aumenta. A fórmula para o ângulo das assíntotas é dada por,

<img alt="PT_Equation1" src="/files/ftp_upload/16122/16122_PT_Equation_001.svg" style="height: 30px;">

 onde k é um inteiro, n é o número de pólos e m é o número de zeros.


 O gráfico completo do lugar geométrico das raízes começa nos pólos do circuito aberto e termina nos zeros do circuito aberto. Este gráfico adere às regras que regem o método do lugar das raízes, garantindo que a estabilidade e a resposta do sistema possam ser completamente analisadas e previstas.


 Seguindo essas etapas, os engenheiros podem usar efetivamente o método do lugar das raízes para projetar e ajustar sistemas de controle, garantindo o desempenho e a estabilidade desejados em várias condições operacionais. Essa abordagem fornece uma visualização clara de como os pólos do sistema migram com um ganho crescente, auxiliando no design robusto de estratégias de controle.

Construção do Lugar das Raízes

A construção do locus raiz envolve a determinação do número de ramificações que é igual ao número de pólos de circuito fechado. O locus raiz é simétrico sobre ...

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Engenharia Elétrica

Unit 1

Unidade 1

Root-Locus Method

Método do Lugar das Raízes

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMOS-CHAVE E CONCEITOS

Construction of Root Locus

root locus paths and asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between.

The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or zeros. The paths begin at the open-loop poles and move as gain increases.

As gain continues to rise, the root locus ends at the open-loop zeros. At those points, the system poles settle. If a function goes to infinity as s approaches infinity, it has a pole at infinity. If a function goes to zero, it has a zero at infinity.

When the root locus extends toward infinity, it follows asymptotes. An asymptote is a line that shows the direction of a branch far from the poles and zeros. The asymptotes are found from the real-axis intercept and their angles. The angle formula depends on the number of poles, n, the number of zeros, m, and an integer k. These angles repeat as gain increases.

A complete root locus plot starts at the open-loop poles and ends at the open-loop zeros. It follows the rules of the root locus method so stability and response can be studied and predicted. Engineers use this plot to design and tune control systems for the desired performance across different operating conditions. The result is a clear picture of how system poles migrate with increasing gain.

Root Locus Paths and Asymptotes

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

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vector representation of complex numbers

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

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properties of the root locus

Root Locus Angle and Gain Rules

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construction of root locus

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plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

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key terms and concepts

Learn how root locus branches move from open-loop poles to zeros, use asymptotes, and show how gain affects stability in control systems.

Root Locus Paths and Asymptotes | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Root Locus Paths and Asymptotes

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