Name: wave speed on lossless transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:41.000Z
Duration: 1 min 27 s
Channel: JoVE

As linhas de energia vistas ao longo das ruas podem ser modeladas como uma linha de transmissão monofásica, de dois fios e sem perdas.
Considere uma seção de linha caracterizada por indutância em série e capacitância de derivação, com direcionalidade da extremidade de envio para a extremidade receptora.
Usando as leis de Kirchhoff, as equações para tensão e corrente são escritas e divididas por Delta x. À medida que Delta x se aproxima de zero, as equações envolvendo derivadas parciais são derivadas, uma vez que tanto a posição quanto o tempo são variáveis.
As transformadas de Laplace são aplicadas assumindo condições iniciais zero e simplificando as derivadas para apenas uma variável.
Diferenciá-los produz equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com as respectivas soluções. A velocidade é uma função dos valores de indutância e capacitância.
Tomar transformadas de Laplace inversas e aplicar uma mudança de tempo resulta em funções que representam ondas de tensão e corrente. Essas expressões representam as ondas viajantes para frente e para trás.
Para avaliar as constantes, as soluções são substituídas na equação de segunda ordem.
Os coeficientes das funções exponenciais em ambos os lados são equiparados, produzindo as correntes para frente e para trás em termos de tensões para frente e para trás, respectivamente, e a impedância característica.

linhas de transmissão: operação transiente

Traveling Waves: Lossless Lines

O conteúdo fornecido explora o comportamento de ondas viajantes em linhas de transmissão monofásicas sem perdas. Ele começa com uma linha de transmissão monofásica de dois fios sem perdas de comprimento Δx, caracterizada por uma indutância de loop LH/m e uma capacitância linha a linha C F/m. Esses parâmetros resultam em uma indutância série LΔx e uma capacitância de derivação CΔx.


<img alt="Figure1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_figure_001.svg" style="height: 125px;">


 A tensão v(x,t) e a corrente i(x,t) em qualquer posição x e tempo t na linha são expressas usando a Lei de Tensão de Kirchhoff (KVL) e a Lei de Corrente de Kirchhoff (KCL).


<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_1v2.svg" style="height: 70px;">


 À medida que Δx se aproxima de zero, equações diferenciais parciais emergem, capturando as relações entre tensão, corrente e suas taxas de mudança em relação ao tempo e à posição. As transformadas de Laplace são aplicadas para converter essas equações diferenciais parciais em equações diferenciais ordinárias, assumindo condições iniciais zero.


<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_2v2.svg" style="height: 70px;">


 As soluções para essas equações revelam que a velocidade das ondas viajantes depende da indutância e capacitância por unidade de comprimento da linha de transmissão.


<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_3v4.svg" style="height: 30px;">


 Essas soluções descrevem ondas para frente e para trás; as ondas para frente viajam na direção x positiva, e as ondas para trás se movem na direção x negativa. A solução incorpora uma mudança de tempo e resulta em funções que descrevem a tensão e a corrente como somas de ondas viajantes para frente e para trás. Essas ondas se movem em direções opostas ao longo da linha de transmissão, influenciadas pela indutância e capacitância da linha. Essas expressões levam à impedância característica da linha, uma função da indutância e capacitância por unidade de comprimento.


<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_4v4.svg" style="height: 30px;">


 Este parâmetro é crucial para entender como as ondas se propagam ao longo da linha e interagem com as terminações em cada extremidade.

Linhas de Transmissão: Operação Transiente

As linhas de energia vistas ao longo das ruas podem ser modeladas como uma linha de transmissão monofásica, de dois fios e sem perdas.
Considere uma seção de linha caracterizada por séries ...

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Engenharia Elétrica

Unit 1

Unidade 1

Transmission Lines: Transient Operation

Linhas de Transmissão: Operação Transitória

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMOS-CHAVE E CONCEITOS

wave speed on lossless transmission lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx.

Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation. Kirchhoff’s Current Law, or KCL, is used for the current relation. As Δx becomes very small, these relations turn into partial differential equations that link voltage and current to their changes in time and position.

Laplace transforms are then applied to these equations. This step assumes zero initial conditions and converts the partial differential equations into ordinary differential equations. The solutions show that wave speed depends on the inductance and capacitance per unit length of the transmission line. The voltage and current can be written as sums of forward and backward traveling waves.

The forward wave moves in the positive x-direction. The backward wave moves in the negative x-direction. A time shift appears in the solution, which helps describe how the waves travel along the line. These expressions also lead to the characteristic impedance, which depends on the line inductance and capacitance per unit length and helps describe how the waves interact with terminations at each end.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines

wave-speed-on-lossless-transmission-lines

traveling waves: lossless lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx. Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation.

boundary conditions: lossless lines

Transmission Line Reflections at Both Ends

Single-phase, two-wire, lossless transmission lines show how voltage and current waves reflect at both ends of a circuit. In this model, the line has a length, a surge impedance, and a wave velocity. These are set by the line’s inductance and capacitance per unit length. A home electrical wiring system can be treated this way in a simple circuit model. At the receiving end, the boundary condition says that the voltage equals the receiving-end impedance times the current. This relationship is...

bewley lattice diagram

Tracing Transient Waves with a Bewley Diagram

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lossy lines and overvoltages

Signal Attenuation and Power Losses

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key terms and concepts

Learn how inductance and capacitance set wave speed on a lossless transmission line, and how forward and backward waves lead to characteristic impedance.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Wave Speed on Lossless Transmission Lines

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