Name: central force motion and areal velocity
Uploaded: 2024-03-07T13:22:17.000Z
Duration: 1 min 17 s
Channel: JoVE

Центральная силовая система включает в себя силу, действующую на объект в направлении неподвижной точки, обычно в начале координат. Эта сила определяется расстоянием объекта от фиксированной точки.
Если масса объекта равна 'm', то для описания уравнения движения используются полярные координаты. 
Азимутальная составляющая силы равна нулю. Переписывание этого уравнения и его интегрирование показывает, что произведение радиального расстояния в квадрат на угловую скорость постоянно.
Поскольку объект смещается на угловое смещение dθ, он описывает площадь dA. Это означает, что площадная скорость объекта является постоянной.
Таким образом, первая и вторая производные по времени радиальной компоненты могут быть записаны с использованием правила дифференцирования цепи и скорости записи объекта.
Здесь определена новая зависимая переменная, которая упрощает радиальную и угловую составляющие уравнения движения.
Подстановка радиальной и угловой составляющих скорости в уравнение движения дает уравнение для траектории движения объекта под действием центральной силы.

Движение центральной силы

Central-Force Motion

Центральная силовая система действует, воздействуя на объект силой, направленной к фиксированной точке, обычно к началу координат, при этом величина силы определяется расстоянием объекта от этой фиксированной точки. В контексте объекта с массой «m» для выражения уравнения движения используются полярные координаты. Примечательно, что в этой системе отсутствует азимутальная составляющая силы. Полное переписывание и интеграция этого уравнения показывают, что произведение квадрата радиального расстояния и угловой скорости остаётся постоянным.


 Когда объект подвергается угловому смещению, обозначенному dθ, он отслеживает область dA, что означает постоянную скорость по окружности. Используя цепное правило дифференцирования и учитывая площадную скорость объекта, можно выразить первую и вторую производные по времени радиальной компоненты. Введение новой зависимой переменной способствует упрощению радиальных и угловых составляющих в уравнении движения.


 Путём подстановки в уравнение движения радиальных и угловых составляющих скорости возникает новая формулировка, описывающая траекторию объекта под действием центральной силы. Это уточнённое представление обеспечивает более доступное понимание динамики, управляющей движением объектов, подверженных действию центральных сил.

Центральная силовая система включает в себя силу, действующую на объект в направлении неподвижной точки, обычно в начале координат. Эта сила определяется ...

Education

JoVE Core

Mechanical Engineering

Машиностроение

Unit 1

Раздел 1

Kinetics of a Particle: Force and Acceleration

Кинетика частицы: сила и ускорение

kinetics-of-a-particle-force-and-acceleration

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

central force motion and areal velocity

Central force motion describes the path of an object acted on by a force that points toward a fixed point, usually the origin. The force size depends on how far the object is from that point. For a mass m, the motion is written in polar coordinates, which use distance and angle instead of x and y position.

In this system, the azimuthal component of force is zero. That means there is no force in the angular direction. When the equation of motion is rewritten and integrated, the product of the squared radial distance and the angular velocity stays constant.

This result also leads to constant areal velocity. As the object moves through an angle dθ, it sweeps out a small area dA. The area covered per unit time remains constant, which helps describe how the object moves around the fixed point.

The radial part of the motion can be found with the chain rule of differentiation. Using the areal velocity, the first and second time derivatives of the radial component can be written more clearly. A new dependent variable is then introduced to simplify both the radial and angular parts of the equation of motion.

After the radial and angular velocity components are substituted into the equation, the motion takes a new form. This form describes the trajectory of the object under the central force. It gives a clearer way to understand how objects move when the force always points toward one center.

Central Force Motion and Areal Velocity

equations of motion: rectangular coordinates and cylindrical coordinates

equations-motion-rectangular-coordinates-cylindrical

Particle Motion in Rectangular and Cylindrical Form

Particle motion can be written in rectangular coordinates or cylindrical coordinates, depending on the path of the particle. In classical mechanics, the coordinate system you choose helps describe how a particle moves in an inertial frame. When motion stays in the x-y plane, rectangular components are often enough. Using only x and y makes the equation easier to write and follow. This form works well for motion that does not need a third spatial direction. Curved paths often call for...

equations of motion: normal and tangetial components

equations-of-motion-normal-and-tangetial-components

Curved Motion: Tangential and Normal Forces

Curved motion is described by splitting a particle’s acceleration into tangential and normal parts. These two components help show how the particle moves along a curving path at a specific point. The tangential component lies along the curve. It shows how the speed changes with time. A positive tangential acceleration means the speed is increasing. A negative tangential acceleration means the speed is decreasing. The normal component points along the radial direction of the curve. It...

normal and tangetial components: problem solving

normal-and-tangetial-components-problem-solving

Chair Reaction Forces in Curvilinear Motion

Chair reaction forces in curvilinear motion are found by using tangential and normal components of acceleration. A 70 kg man sits upright in a chair that is connected to a pin support by member BC. The member is 10 m long, and it makes a 45° angle with the horizontal at the instant of interest. The man has a speed of 5 m/s, and that speed is increasing at 1 m/s². The tangential acceleration is therefore 1 m/s². The normal acceleration is then determined from the tangential speed and the radius...

equation of motion: center of mass

Center of Mass and System Motion

The center of mass helps describe the motion of a system of particles. For a group with n particles, the equation of motion can be extended from a single particle to the whole system. Each particle has a net force on it that comes from both internal forces and external forces. When the motion of all particles is combined, the system follows one equation of motion. Forces between pairs of particles are internal forces. These forces act along the same line, have equal magnitude, and point in...

central-force motion

Central force motion describes the path of an object acted on by a force that points toward a fixed point, usually the origin. The force size depends on how far the object is from that point. For a mass m, the motion is written in polar coordinates, which use distance and angle instead of x and y position. In this system, the azimuthal component of force is zero. That means there is no force in the angular direction. When the equation of motion is rewritten and integrated, the product of the...

key terms and concepts

Explore central force motion in polar coordinates, including zero azimuthal force, constant areal velocity, and a simplified trajectory equation for the motion.

Central Force Motion and Areal Velocity | JoVE K12

JoVE Core Mechanical Engineering offers concise, easy-to-understand animated videos covering key topics such as equilibrium, forces, truss analysis, and structural mechanics. Explore their real-world applications, and witness these concepts in action through scientist-led experiments.

Central Force Motion and Areal Velocity

Description

Transcript