Name: critical buckling load in pin-ended columns
Uploaded: 2024-05-23T13:00:07.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Рассмотрим колонну PQ, соединенную с обоих концов штифтами, с центральной осевой нагрузкой, приложенной на конце P. Потеря устойчивости происходит, если эта нагрузка превышает критическую нагрузку.
Чтобы рассчитать критическую нагрузку, представьте колонну в виде вертикальной балки. Теперь рассмотрим точку O на упругой кривой балки, находящуюся на расстоянии x от свободного конца P и имеющую отклонение y от вертикали.
Изгибающий момент в точке О можно записать как вторую производную его прогиба по отношению к расстоянию x. Переставляя члены, получается дифференциальное уравнение второго порядка, выражающее решение в терминах синусоидальной и косинусной функций.
Первое граничное условие требует, чтобы коэффициент B был равен нулю. Второе условие требует, чтобы либо коэффициент А, либо синусоидальный член был равен нулю.
Если сделать синусоидальный член нулевым, получится выражение осевой нагрузки, наименьшее значение которого является критической нагрузкой; это формула Эйлера.
Подставляя формулу Эйлера в дифференциальное уравнение, получается уравнение для упругой кривой после потери устойчивости.

Формула Эйлера для колонн с штыревыми окончаниями

Euler&#39;s Formula for Pin-Ended Columns

В строительной инженерии решающим фактором является устойчивость колонн при сжимающих осевых нагрузках, называемых потерей устойчивости. Типичный пример представляет собой колонну PQ, которая соединена штырями на обоих концах и подвергается центральной осевой нагрузке F, приложенной на одном конце, с силой реакции F’ = -F на другом конце. Здесь важно понимать, что когда приложенная нагрузка превышает критическую, происходит потеря устойчивости, поскольку система становится неустойчивой. 

Чтобы рассчитать критическую нагрузку, представьте себе колонну PQ в виде вертикальной балки. Рассмотрим точку О, расположенную на кривой упругости балки на расстоянии x от свободного конца P. При приложении нагрузки точка O отклоняется на расстояние y от своего первоначального вертикального положения. В этот момент изгибающий момент в точке O можно описать второй производной его отклонения y по x, что символизирует поворот к пониманию поведения балки под нагрузкой. 

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_1v2.svg" style="text-align: center; height: 40px;">

Где f определяется как, 

<img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_2.svg" style="text-align: center; height: 30px;">

Это уравнение имеет общее решение, состоящее из синуса и косинуса. Граничные значения системы дают коэффициенты решения. 

<img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_3.svg" style="text-align: center; height: 24px;"> 

Решение требует, чтобы синусоидальный член был равен нулю, что дает выражение для критической нагрузки. Это выражение известно как формула Эйлера. 

<img alt="Equation 4" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_4v2.svg" style="text-align: center; height: 36px;"> 

Подстановка формулы Эйлера обратно в дифференциальное уравнение дает выражение для кривой упругости колонны после потери устойчивости. 

Здесь важно отметить, что формула Эйлера выведена из предположения, что перед нагружением колонна совершенно прямая, однородная и изотропная, а осевая нагрузка прикладывается идеально вдоль вертикальной оси.

Рассмотрим колонну PQ, соединенную с обоих концов штифтами, с центральной осевой нагрузкой, приложенной на конце P. Потеря устойчивости происходит, если эта нагрузка превышает критическую нагрузку.
Кому...

Education

JoVE Core

Mechanical Engineering

Машиностроение

Unit 1

Раздел 1

Columns

Столбцы

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

critical buckling load in pin-ended columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins.

To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance x from the free end P. When the load is applied, point O deflects by a distance y from its original vertical position. The bending moment at point O is then related to the second derivative of y with respect to x, which helps describe how the beam changes shape under stress.

The resulting equation has a general solution with sine and cosine terms. The boundary values of the system determine the coefficients in that solution. The sine term must be zero, and that condition gives the expression for the critical load. This expression is known as Euler's formula.

After Euler's formula is substituted back into the differential equation, the elastic curve of the column after buckling can be found. The formula is based on several assumptions. Before loading, the column must be perfectly straight, homogeneous, and isotropic. The axial load must also be applied perfectly along the vertical axis.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

critical-buckling-load-in-pin-ended-columns

stability of structures

Critical Load and Structure Stability

Structural stability is an important idea in mechanical engineering. It helps engineers design buildings, vehicles, and machines that stay safe and efficient under load. A simple model for studying this behavior uses two rods joined at a pivot point O with a torsional spring, which is a spring that resists twisting, at the pivot. The setup is similar to a scissor jack used to lift a car. In the example, the linkage arms are vertical, which matches the case where the vehicle has been raised as...

euler&#39;s formula for pin-ended columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins. To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance...

euler&#39;s formula to columns with other end conditions

euler-s-formula-to-columns-with-other-end-conditions

Euler Buckling for Different Column Supports

Euler buckling explains how a column can fail when it is compressed. In structural engineering, it helps predict the critical load, which is the load level where a column is likely to buckle. The formula uses the modulus of elasticity, the moment of inertia of the cross-section, and the column length. The same idea also helps describe critical stress. Critical stress is found by dividing the critical load from Euler's formula by the cross-sectional area of the column. This leads to the...

euler&#39;s formula to columns: problem solving

euler-s-formula-to-columns-problem-solving

Spring-Loaded Column Buckling Analysis

Spring-loaded column buckling analysis uses static equilibrium to find the critical load in a rigid bar system. The setup has two equal-length rigid bars, AB and BC, joined at pivot point B. A tension spring with constant k is attached to B and pulls horizontally. A vertical load F is applied at point A, and the bars rotate around the pivot like a knee joint. As point B moves, the spring stretches by an amount X. The spring then pushes back against the sideways motion of B. To study the...

eccentric loading

Column Bending Under Off-Center Load

Eccentric loading shows how a column bends when a force is applied off-center. In structural engineering, this matters because the load no longer acts along the centroidal axis, so the column sees both direct compression and bending stress. The off-center force can be treated as two parts. One part is a centric load F that acts along the column’s axis. The other part is a couple moment created by the eccentricity, or distance, between the load and the centroidal axis. To study the column...

design of columns under a centric load

Column Buckling and Load Design Basics

Column design under a centric load is a key part of structural engineering. It helps engineers keep buildings and other structures stable and safe. The main tools used here are Euler’s formula and Secant’s formula. Euler’s formula is used when a column is assumed to be perfect, straight, and uniform. It also applies when the material stays within its elastic limit. The critical load from Euler’s formula depends on the material’s modulus of elasticity and the column’s shape. This formula works...

design of columns under an eccentric load

design-of-columns-under-an-eccentric-load

Eccentric Load Stresses in Structural Columns

Structural columns under eccentric load must be designed for both axial force and bending stress. An eccentric load is an off-center load, and it creates a non-uniform stress pattern across the column. Engineers must analyze this stress distribution carefully to reduce the risk of failure. The stress in an eccentrically loaded column can be treated as the sum of two parts. One part comes from an equivalent centric load, which is a load applied through the center of the column. The other part...

key terms and concepts

Learn how pin-ended columns buckle under compressive axial load and how Euler's formula gives the critical load and elastic curve after buckling.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns | JoVE K12

JoVE Core Mechanical Engineering offers concise, easy-to-understand animated videos covering key topics such as equilibrium, forces, truss analysis, and structural mechanics. Explore their real-world applications, and witness these concepts in action through scientist-led experiments.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

Description

Transcript