Name: euler buckling for different column supports
Uploaded: 2025-05-22T09:06:18.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

Формула Эйлера для колонны с шарнирным концом выражает критическую нагрузку с помощью модуля упругости, момента инерции поперечного сечения и длины колонны.
Соответствующее критическое напряжение выражается делением формулы Эйлера на площадь поперечного сечения. Здесь длина колонны по радиусу вращения поперечного сечения определяется как коэффициент гибкости колонны. 
Формула Эйлера может быть распространена на колонны с различными торцевыми соединениями, рассчитав эффективную длину потери устойчивости, которая измеряет несущую способность колонны.
Эффективная длина столбца выражается как произведение длины столбца на эмпирическую константу k.
Для столбцов с одним фиксированным концом и свободным другим значением k является 2. С другой стороны, для столбцов с обоими фиксированными концами k равно 0,5.
Для колонн с одним фиксированным концом и закрепленным другим концом k равно 0,7.
Используя эти значения k, формула Эйлера может быть распространена на столбцы с различными торцевыми соединениями.

Формула Эйлера для колонн с другими условиями концов

Формула Эйлера очень важна в области проектирования конструкций, поскольку она обеспечивает основу для понимания критических условий нагружения колонн со штырями. Эта формула связывает модуль упругости, момент инерции поперечного сечения и длину колонны, предлагая точный расчет критической нагрузки, при которой колонна склонна к короблению. 

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15677/15677_Equation_1.svg" style="text-align: center; height: 38px;">

Чтобы глубже понять значение критической нагрузки Эйлера, можно изучить понятие критического напряжения. Оно рассчитывается путем деления критической нагрузки, полученной по формуле Эйлера, на площадь поперечного сечения колонны. Это одновременно упрощает понимание распределения напряжений и вводит понятие коэффициента гибкости. Коэффициент гибкости выражается как Le/r, где Le — эффективная длина потери устойчивости, описанная ниже, а r — отношение длины колонны к радиусу вращения ее поперечного сечения. 

<img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15677/15677_Equation_2.svg" style="text-align: center; height: 38px;">

Идеи Эйлера выходят за рамки колонн со штифтовыми концами и обсуждают различные структурные конфигурации с помощью концепции эффективной длины потери устойчивости Le. Это понятие адаптирует формулу Эйлера к колоннам с различными концевыми условиями путем введения эмпирической константы k, которая регулирует эффективную длину колонны на основе ее концевых соединений по формуле Le = Lk. Например, колонна, у которой один конец закреплен, а другой свободен, имеет значение k, равное 2, что отражает снижение ее устойчивости. И наоборот, колонна с обоими закрепленными концами имеет значение k 0,5, что отражает ее повышенную устойчивость к короблению. Значение k дополнительно варьируется в зависимости от других конечных условий, например 0,7 для столбцов с одним закрепленным концом, а другим зацепленным, что позволяет универсально применять формулу Эйлера. 

Эта адаптивность формулы Эйлера позволяет инженерам прогнозировать критические условия нагрузки для широкого спектра структурных сценариев, что позволяет им проектировать более безопасные и устойчивые конструкции.

Формула Эйлера для колонны с шарнирным концом выражает критическую нагрузку с помощью модуля упругости, момента инерции поперечного сечения и длины ...

euler-s-formula-to-columns-with-other-end-conditions

Education

JoVE Core

Mechanical Engineering

Машиностроение

Unit 1

Раздел 1

Columns

Столбцы

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

Euler&#39;s Formula to Columns with Other End Conditions

euler buckling for different column supports

Euler buckling explains how a column can fail when it is compressed. In structural engineering, it helps predict the critical load, which is the load level where a column is likely to buckle. The formula uses the modulus of elasticity, the moment of inertia of the cross-section, and the column length.

The same idea also helps describe critical stress. Critical stress is found by dividing the critical load from Euler's formula by the cross-sectional area of the column. This leads to the slenderness ratio, written as L e /r. Here, L e is the effective buckling length, and r is the radius of gyration of the cross-section.

Euler's method also works for columns with different end conditions. Engineers use an empirical constant, k, to adjust the effective length of the column with the formula L e = Lk. A column with one end fixed and the other free has k = 2, so it is less stable. A column with both ends fixed has k = 0.5, so it resists buckling better. A column with one end fixed and the other pinned has k = 0.7.

These end-condition values let Euler's formula apply to many structural cases. That makes it useful for predicting critical loading conditions in a wide range of columns. It also helps engineers design safer and more resilient structures.

Euler Buckling for Different Column Supports

euler-buckling-for-different-column-supports

stability of structures

Critical Load and Structure Stability

Structural stability is an important idea in mechanical engineering. It helps engineers design buildings, vehicles, and machines that stay safe and efficient under load. A simple model for studying this behavior uses two rods joined at a pivot point O with a torsional spring, which is a spring that resists twisting, at the pivot. The setup is similar to a scissor jack used to lift a car. In the example, the linkage arms are vertical, which matches the case where the vehicle has been raised as...

euler&#39;s formula for pin-ended columns

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins. To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance...

euler&#39;s formula to columns with other end conditions

Euler buckling explains how a column can fail when it is compressed. In structural engineering, it helps predict the critical load, which is the load level where a column is likely to buckle. The formula uses the modulus of elasticity, the moment of inertia of the cross-section, and the column length. The same idea also helps describe critical stress. Critical stress is found by dividing the critical load from Euler's formula by the cross-sectional area of the column. This leads to the...

euler&#39;s formula to columns: problem solving

euler-s-formula-to-columns-problem-solving

Spring-Loaded Column Buckling Analysis

Spring-loaded column buckling analysis uses static equilibrium to find the critical load in a rigid bar system. The setup has two equal-length rigid bars, AB and BC, joined at pivot point B. A tension spring with constant k is attached to B and pulls horizontally. A vertical load F is applied at point A, and the bars rotate around the pivot like a knee joint. As point B moves, the spring stretches by an amount X. The spring then pushes back against the sideways motion of B. To study the...

eccentric loading

Column Bending Under Off-Center Load

Eccentric loading shows how a column bends when a force is applied off-center. In structural engineering, this matters because the load no longer acts along the centroidal axis, so the column sees both direct compression and bending stress. The off-center force can be treated as two parts. One part is a centric load F that acts along the column’s axis. The other part is a couple moment created by the eccentricity, or distance, between the load and the centroidal axis. To study the column...

design of columns under a centric load

Column Buckling and Load Design Basics

Column design under a centric load is a key part of structural engineering. It helps engineers keep buildings and other structures stable and safe. The main tools used here are Euler’s formula and Secant’s formula. Euler’s formula is used when a column is assumed to be perfect, straight, and uniform. It also applies when the material stays within its elastic limit. The critical load from Euler’s formula depends on the material’s modulus of elasticity and the column’s shape. This formula works...

design of columns under an eccentric load

design-of-columns-under-an-eccentric-load

Eccentric Load Stresses in Structural Columns

Structural columns under eccentric load must be designed for both axial force and bending stress. An eccentric load is an off-center load, and it creates a non-uniform stress pattern across the column. Engineers must analyze this stress distribution carefully to reduce the risk of failure. The stress in an eccentrically loaded column can be treated as the sum of two parts. One part comes from an equivalent centric load, which is a load applied through the center of the column. The other part...

key terms and concepts

Learn how Euler buckling predicts critical load, critical stress, and slenderness ratio for columns with fixed, pinned, or free ends.

Euler Buckling for Different Column Supports | JoVE K12

JoVE Core Mechanical Engineering offers concise, easy-to-understand animated videos covering key topics such as equilibrium, forces, truss analysis, and structural mechanics. Explore their real-world applications, and witness these concepts in action through scientist-led experiments.

Euler Buckling for Different Column Supports

Description

Transcript