Name: testing system stability with convolution
Uploaded: 2024-09-26T13:16:56.000Z
Duration: 1 min 24 s
Channel: JoVE

Устойчивость систем может быть определена с помощью свертки.
Если входной сигнал имеет константу, которая гарантирует, что модуль сигнала никогда не превышает его в любой момент времени, он считается ограниченным.
Система является ограниченным входом и ограниченным выходом, также известной как BIBO стабильной, если любой заданный ограниченный входной сигнал неизменно выдает ограниченный выход. На рисунке показаны примеры BIBO-стабильных и не-BIBO-стабильных систем.
Интеграл свертки может быть использован для оценки устойчивости BIBO, когда ограниченный непрерывный вход времени применяется к линейной инвариантной по времени системе.
Ограниченность входного сигнала может быть представлена через константу, а интегральные формулировки свертки определяют ограниченный выход.
Если интеграл конечен, то выход конечен, то есть система непрерывного времени с абсолютно интегрируемой импульсной характеристикой стабильна по BIBO.
Тот же процесс применим и к системам дискретного времени; ограниченный выход достигается с помощью интеграла свертки.
Выход конечен, если член суммирования имеет конечное значение, указывающее на то, что дискретная временная система является BIBO стабильной, если ее импульсная характеристика абсолютно суммируема.

bibo-устойчивость непрерывной и дискретной системы

Устойчивость системы является фундаментальной концепцией в обработке сигналов, часто оцениваемой с помощью свертки. Для того чтобы система считалась устойчивой с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO), любой ограниченный входной сигнал должен производить ограниченный выходной сигнал. Ограниченный входной сигнал — это сигнал, модуль которого не превышает определенной константы в любой момент времени.

Для определения устойчивости BIBO используется интеграл свертки, когда ограниченный непрерывный вход применяется к линейной системе, инвариантной во времени (LTI). Ограниченность входного сигнала представлена ​​константой, а интеграл свертки помогает определить, остается ли выход ограниченным. Математически это означает, что если подынтегральное выражение интеграла свертки конечно, выход также будет конечным. В частности, система с непрерывным временем является BIBO-устойчивой, если ее импульсная характеристика интегрируема, то есть интеграл абсолютного значения импульсной характеристики конечен и представлен как,

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16053/16053_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 36px;">

Это условие гарантирует, что выход остается в пределах границ для любого ограниченного входного сигнала, тем самым подтверждая устойчивость системы.

Тот же принцип применим к системам с дискретным временем. BIBO-устойчивость в системах с дискретным временем определяется путем суммирования ряда свертки. Для системы с дискретным временем выход конечен, если член суммирования имеет конечное значение, что указывает на то, что система является BIBO-устойчивой, если ее импульсная характеристика суммируема, как указано в выражении ниже.

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16053/16053_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 28px;">

Другими словами, если сумма абсолютных значений импульсной характеристики конечна, система будет выдавать ограниченный выход для любого ограниченного входного сигнала, подтверждая BIBO-устойчивость.

Важность BIBO-устойчивости заключается в ее применении к реальным системам, где обеспечение того, чтобы выходные данные оставались в приемлемых пределах в ответ на ограниченные входные данные, имеет решающее значение. Понимание и применение концепций свертки и интегралов импульсного отклика критически важны для проектирования и анализа стабильных систем как в непрерывных, так и в дискретных временных доменах.

BIBO-устойчивость непрерывной и дискретной системы

Устойчивость систем может быть определена с помощью свертки.
Если входной сигнал имеет константу, гарантирующую, что модуль сигнала никогда не превышает ...

bibo-stability-of-continuous-and-discrete-time-systems

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Электротехника

Unit 1

Раздел 1

Linear Time- Invariant Systems

Линейные стационарные системы

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

BIBO stability of continuous and discrete -time systems

testing system stability with convolution

System stability in signal processing is often tested with convolution. A system is BIBO stable, or bounded-input bounded-output stable, when every bounded input signal produces a bounded output signal. A bounded input signal has a modulus that never exceeds a set constant at any time.

For a continuous-time Linear Time-Invariant, or LTI, system, BIBO stability is checked with the convolution integral. The input is bounded by a constant, and the convolution integral shows whether the output stays bounded too. If the integrand in the convolution integral remains finite, the output remains finite as well. A continuous-time system is BIBO stable when its impulse response is integrable, which means the integral of the absolute value of the impulse response is finite.

The same idea applies to discrete-time systems. Here, stability is checked through the convolution series rather than the convolution integral. A discrete-time system is BIBO stable if the summation is finite, which means its impulse response is summable. In other words, if the sum of the absolute values of the impulse response is finite, any bounded input will still produce a bounded output.

BIBO stability matters in real-world system design and analysis. It helps ensure that outputs stay within acceptable limits when inputs are bounded. Understanding convolution and impulse response conditions is key for studying stable continuous-time and discrete-time systems.

Testing System Stability with Convolution

testing-system-stability-with-convolution

linear time-invariant systems

Impulse Response in LTI Systems

Linear time-invariant systems are defined by linear elements and constant parameters. A system is linear when it shows homogeneity and additivity. These two ideas together are called the superposition property. Superposition is a key rule for analyzing linear systems. For a linear time-invariant system, the response to an impulse at the input can describe the whole input-output behavior. An impulse is a very short, sudden input. Once the impulse response is known, the response to other inputs...

impulse response

RC Circuit Impulse Response

RC circuit impulse response describes how the capacitor voltage changes after a brief input signal. In this system, the voltage source is the input, and the capacitor voltage is the output. The state of the circuit before and after excitation is defined separately so the response can be tracked clearly. Kirchhoff’s law is used to write the input signal equation for the RC circuit. The capacitor current and voltage provide the output relation. After substituting the current expression and...

convolution: math, graphics, and discrete signals

convolution-math-graphics-and-discrete-signals

Convolution in LTI Systems and Signal Response

Convolution describes how a linear time-invariant, or LTI, system responds to an input signal. In an LTI system, the convolution of two signals is written with a convolution operator. The method assumes that all initial conditions are zero. The convolution integral can be split into two parts. These are the zero-input response, also called the natural response, and the zero-state response, also called the forced response. The initial time is marked as t0. To make the integral easier to work...

convolution properties i

LTI System Tricks for Easier Convolution

LTI system properties can make convolution easier to work with. LTI stands for linear time-invariant. In these systems, the input signal and the impulse response can be handled in helpful ways that simplify the final output. The commutative property means the input and the impulse response can be switched without changing the result. The associative property says that when three functions are convolved, the order of grouping does not change the answer. For two LTI systems in series, this lets...

convolution properties ii

Convolution Rules for Width and Area

Convolution rules help describe how an output signal changes when two signals are combined in an LTI system. The main rules here are width, area, differentiation, and integration. These rules make convolution easier to analyze and use in signal processing. The width property says that if two input signals last for T1 and T2, the output response lasts for T1 plus T2. This is true no matter what shape the two functions have. For example, convolving two rectangular pulses with durations of 2...

deconvolution

Finding an Impulse Response from Signals

Deconvolution is a method for finding a system’s impulse response from known input and output signals. It is also called inverse filtering. This technique is useful when the system’s characteristics are not known directly and must be inferred from the signals that can be observed. One common way to do deconvolution is polynomial division. In this approach, the input and output sequences are treated as coefficients of polynomials written in descending order. Long division is then used to divide...

bibo stability of continuous and discrete -time systems

System stability in signal processing is often tested with convolution. A system is BIBO stable, or bounded-input bounded-output stable, when every bounded input signal produces a bounded output signal. A bounded input signal has a modulus that never exceeds a set constant at any time. For a continuous-time Linear Time-Invariant, or LTI, system, BIBO stability is checked with the convolution integral. The input is bounded by a constant, and the convolution integral shows whether the output...

key terms and concepts

Learn how convolution is used to test BIBO stability in continuous-time and discrete-time systems by checking impulse response integrals and sums.

Testing System Stability with Convolution | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Testing System Stability with Convolution

Description

Transcript

Tags