Name: complex numbers as vectors in polar form
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 16 s
Channel: JoVE

Комплексные числа, описываемые в декартовых координатах, могут быть изображены в виде векторов. Они могут быть выражены в полярной форме, демонстрируя их величину и угол.
Когда комплексные числа вводятся в функцию, результатом является еще одно комплексное число. Это подчеркивает ключевую особенность: нулевую точку функции, из которой может исходить векторное представление.
Рассмотрим функцию, определенную как произведение числителя комплексных делителей на произведение знаменателя.
Поскольку каждый комплексный множитель по сути является вектором, величина функции в любой точке вычисляется как произведение нулевой длины, деленное на произведение длин полюсов.
Угол функции вычисляется как сумма нулевых углов, вычитаемых из суммы углов полюсов. Эти углы измеряются от положительного удлинения вещественной оси векторов, проведенных от нуля или полюса функции до данной точки.
Чтобы решить сложную функцию в определенной точке, вычисляются векторы, исходящие из нулей и полюсов функции, заканчивающиеся в выбранной точке. Подстановка векторных уравнений дает величину и угол.

Векторные представления комплексных чисел

Vector Representation of Complex Numbers

Комплексные числа, представленные в декартовых координатах, также могут быть визуализированы как векторы. Эти векторы могут быть выражены в полярной форме, подчеркивая их величину и угол. Когда комплексное число вводится в функцию, выходом является другое комплексное число, что подчеркивает нулевую точку функции, из которой может исходить векторное представление.

Рассмотрим функцию, определенную как произведение комплексных множителей в числителе, деленное на произведение комплексных множителей в знаменателе. Каждый комплексный множитель, рассматриваемый как вектор, позволяет вычислить величину функции в любой точке как произведение величин векторов из нулей, деленное на произведение величин векторов из полюсов.

Угол функции в любой точке вычисляется суммой углов векторов из нулей за вычетом суммы углов векторов из полюсов. Эти углы измеряются от положительной действительной оси до векторов, проведенных из нулей или полюсов функции в интересующую точку.

Чтобы решить сложную функцию в определенной точке, векторы рисуются из каждого нуля и полюса функции в выбранную точку. Затем величины и углы этих векторов используются для определения значения функции в этой точке. Величина функции является произведением длин векторов из нулей, деленным на произведение длин векторов из полюсов. Угол функции находится путем вычитания суммы углов из полюсов из суммы углов из нулей.

Подставляя эти векторные уравнения в функцию, можно получить как величину, так и угол функции в указанной точке. Такой подход позволяет проводить комплексный анализ сложных функций, предоставляя понимание их поведения и свойств посредством использования векторного представления в полярной форме.

Комплексные числа, описываемые в декартовых координатах, могут быть изображены в виде векторов. Они могут быть выражены в полярной форме, демонстрируя их величину и ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Электротехника

Unit 1

Раздел 1

Root-Locus Method

Метод корневого годографа

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

complex numbers as vectors in polar form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction.

The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point.

For a function written as a product of complex factors in the numerator divided by a product of complex factors in the denominator, each factor can be treated like a vector. The magnitude of the function at any point is found by multiplying the lengths of the vectors from the zeros and dividing by the lengths of the vectors from the poles. A zero is a point where the function can start, and a pole is a point where the denominator creates a special point in the function.

The angle of the function is found in a similar way. It is the sum of the angles from the zeros minus the sum of the angles from the poles. These angles are measured from the positive real axis to the vectors drawn from each zero or pole to the point of interest.

To solve the function at a specific point, vectors are drawn from every zero and pole to that point. Their magnitudes and angles are then used to calculate the value of the function. By replacing the function with these vector equations, both the magnitude and angle at the chosen point can be found.

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

Root locus and closed-loop stability are key ideas in control systems. A basic thermostat is an open-loop system, so its transfer function poles affect the response but do not set stability. When feedback is added, the system becomes closed-loop, like an advanced thermostat that changes heating based on room temperature. In a closed-loop system, stability depends on the new poles of the closed-loop transfer function. If those poles move into the unstable region, the system can start to...

vector representation of complex numbers

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

Root locus helps show how cruise control stays stable as conditions change. In a car, cruise control keeps a set speed by adjusting the gas pedal automatically. It keeps checking the car’s speed and makes small pedal changes to hold that target speed. This system can be drawn as a block diagram, and its transfer function gives the math model. The model is useful when the car goes uphill, downhill, or faces strong wind resistance. To find the system poles for different pedal forces, the...

properties of the root locus

Root Locus Angle and Gain Rules

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response. A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles...

construction of root locus

Root Locus Paths and Asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between. The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or...

plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

Root locus rules help describe how oscillator feedback systems behave as gain changes. The Hartley oscillator is one example of a positive feedback system. It keeps oscillating by feeding the output back to the input in phase, which reinforces the signal. Positive feedback systems can also be treated as negative feedback systems with the feedback signal inverted. In root locus analysis, the locus is the set of points on the s-plane where the transfer function angle equals 360 degrees. The...

key terms and concepts

Learn how complex numbers can be treated as vectors in polar form, and how zeros, poles, magnitude, and angle help evaluate complex functions.

Complex Numbers as Vectors in Polar Form | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Description

Transcript