Name: wave speed on lossless transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:41.000Z
Duration: 1 min 27 s
Channel: JoVE

Линии электропередачи, видимые вдоль улиц, могут быть смоделированы как однофазная, двухпроводная линия электропередачи без потерь.
Рассмотрим участок линии, характеризующийся последовательной индуктивностью и шунтирующей емкостью с направленностью от посылающего к принимающему концу.
Используя законы Кирхгофа, уравнения напряжения и тока записываются и делятся на дельту x. Когда Delta x стремится к нулю, получаются уравнения, включающие частные производные, поскольку и положение, и время являются переменными.
Преобразования Лапласа применяются с учетом нулевых начальных условий и упрощением производных только до одной переменной.
Дифференцирование этих уравнений дает линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с соответствующими решениями. Скорость является функцией значений индуктивности и емкости.
Использование обратных преобразований Лапласа и применение сдвига по времени приводит к функциям, представляющим волны напряжения и тока. Эти выражения представляют собой движущиеся вперед и назад волны.
Для вычисления констант решения подставляются в уравнение второго порядка.
Коэффициенты экспоненциальных функций с обеих сторон уравниваются, что дает прямые и обратные токи в терминах прямого и обратного напряжений соответственно, а также характеристический импеданс.

Линии электропередачи: переходный режим работы

Traveling Waves: Lossless Lines

Представленный контент исследует поведение бегущих волн на однофазных линиях передачи без потерь. Он начинается с однофазной двухпроводной линии передачи без потерь длиной Δx, характеризующейся индуктивностью контура LH/м и межфазной ёмкостью C F/м. Эти параметры приводят к последовательной индуктивности LΔx и шунтирующей ёмкости CΔx.

<img alt="Figure1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_figure_001.svg" style="height: 125px;">

Напряжение v(x,t) и ток i(x,t) в любой точке x и в любой момент времени t на линии выражаются с помощью закона напряжения Кирхгофа (KVL) и закона тока Кирхгофа (KCL).

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_1v2.svg" style="height: 70px;">

Когда Δx приближается к нулю, возникают частные дифференциальные уравнения, которые фиксируют соотношения между напряжением, током и их скоростями изменения как по времени, так и по положению. Преобразования Лапласа применяются для преобразования этих частных дифференциальных уравнений в обыкновенные дифференциальные уравнения, предполагая нулевые начальные условия.

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_2v2.svg" style="height: 70px;">

Решения этих уравнений показывают, что скорость бегущих волн зависит от индуктивности и ёмкости на единицу длины линии передачи.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_3v4.svg" style="height: 30px;">

Эти решения описывают прямые и обратные волны; прямые волны движутся в положительном направлении x, а обратные волны движутся в отрицательном направлении x. Решение включает сдвиг по времени и приводит к функциям, которые описывают напряжение и ток как суммы прямых и обратных бегущих волн. Эти волны движутся в противоположных направлениях вдоль линии передачи под влиянием индуктивности и ёмкости линии. Эти выражения приводят к характеристическому сопротивлению линии, функции индуктивности и ёмкости на единицу длины.

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_4v4.svg" style="height: 30px;">

Этот параметр имеет решающее значение для понимания того, как волны распространяются вдоль линии и взаимодействуют с окончаниями на каждом конце.

Линии электропередачи, видимые вдоль улиц, могут быть смоделированы как однофазная, двухпроводная линия электропередачи без потерь.
Рассмотрим отрезок линии, характеризующийся рядами ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Электротехника

Unit 1

Раздел 1

Transmission Lines: Transient Operation

Линии электропередачи: переходные процессы

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

wave speed on lossless transmission lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx.

Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation. Kirchhoff’s Current Law, or KCL, is used for the current relation. As Δx becomes very small, these relations turn into partial differential equations that link voltage and current to their changes in time and position.

Laplace transforms are then applied to these equations. This step assumes zero initial conditions and converts the partial differential equations into ordinary differential equations. The solutions show that wave speed depends on the inductance and capacitance per unit length of the transmission line. The voltage and current can be written as sums of forward and backward traveling waves.

The forward wave moves in the positive x-direction. The backward wave moves in the negative x-direction. A time shift appears in the solution, which helps describe how the waves travel along the line. These expressions also lead to the characteristic impedance, which depends on the line inductance and capacitance per unit length and helps describe how the waves interact with terminations at each end.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines

wave-speed-on-lossless-transmission-lines

traveling waves: lossless lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx. Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation.

boundary conditions: lossless lines

Transmission Line Reflections at Both Ends

Single-phase, two-wire, lossless transmission lines show how voltage and current waves reflect at both ends of a circuit. In this model, the line has a length, a surge impedance, and a wave velocity. These are set by the line’s inductance and capacitance per unit length. A home electrical wiring system can be treated this way in a simple circuit model. At the receiving end, the boundary condition says that the voltage equals the receiving-end impedance times the current. This relationship is...

bewley lattice diagram

Tracing Transient Waves with a Bewley Diagram

The Bewley lattice diagram organizes voltage-wave reflections in transmission-line transients. It helps students follow how a signal moves along a line and bounces back from each end. The diagram was developed by L. V. Bewley. The vertical axis shows transient time, and the horizontal axis shows the line position x. Diagonal lines show traveling waves. These lines make the wave motion easier to read because each segment marks a wave moving through the line. Each reflection is found by...

lossy lines and overvoltages

Signal Attenuation and Power Losses

Transmission lines with series resistance and shunt conductance can weaken signals, change wave shape, and waste power. These effects are called attenuation, distortion, and power losses. They matter in long power lines and other practical transmission systems. When constant resistance and conductance are present, the voltage and current equations change. The propagation constant shows that the wave includes both forward-traveling and backward-traveling parts. As the wave moves along the line,...

insulation coordination

BIL and Surge Protection for Power Equipment

Insulation coordination matches electric equipment insulation strength with protective device settings to guard against expected overvoltages. Engineers choose these levels using judgment and cost. The goal is to keep equipment safe while avoiding unnecessary expense. Equipment can usually survive short, high transient overvoltages. Repeated tests with the same waveform can still give inconsistent results. For that reason, standard impulse voltage waveforms are used in testing. These waveforms...

key terms and concepts

Learn how inductance and capacitance set wave speed on a lossless transmission line, and how forward and backward waves lead to characteristic impedance.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Wave Speed on Lossless Transmission Lines

Description

Transcript