Name: complex numbers as vectors in polar form
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 16 s
Channel: JoVE

Kartezyen koordinatlarda tanımlanan karmaşık sayılar vektör olarak gösterilebilir. Bunlar, büyüklüklerini ve açılarını sergileyen kutupsal biçimde ifade edilebilir.
Bir fonksiyona karmaşık sayılar girildiğinde, sonuç başka bir karmaşık sayıdır. Bu, önemli bir özelliği vurgular: vektör gösteriminin kaynaklanabileceği fonksiyonun sıfır noktası.
Karmaşık faktörlerin pay çarpımının payda çarpımına bölünmesi olarak tanımlanan bir fonksiyonu düşünün.
Her karmaşık faktör esasen bir vektör olduğundan, fonksiyonun herhangi bir noktadaki büyüklüğü, sıfır uzunlukların çarpımının kutup uzunluklarının çarpımına bölünmesiyle hesaplanır.
Fonksiyonun açısı, kutup açılarının toplamından çıkarılan sıfır açılarının toplamı olarak hesaplanır. Bu açılar, fonksiyonun sıfırdan veya kutbundan verilen noktaya çizilen vektörlerin gerçek ekseninin pozitif açılımından ölçülür.
Belirli bir noktada karmaşık bir fonksiyonu çözmek için, fonksiyonun sıfırlarından ve kutuplarından kaynaklanan vektörler hesaplanır ve seçilen noktada biter. Vektör denklemlerini yerine koymak, büyüklüğü ve açıyı sağlar.

karmaşık sayıların vektör gösterimi

<div>
 Kartezyen koordinatlarla temsil edilen karmaşık sayılar, vektörler olarak da gösterilebilir. Bu vektörler, büyüklüklerini ve açılarını vurgulayarak kutupsal biçimde ifade edilebilir. Bir karmaşık sayı bir fonksiyona girildiğinde, çıktı başka bir karmaşık sayıdır ve vektör gösteriminin kaynaklanabileceği fonksiyonun sıfır noktasını vurgular.
 Paydaki karmaşık faktörlerin çarpımının paydadaki karmaşık faktörlerin çarpımına bölünmesiyle tanımlanan bir fonksiyonu ele alalım. Bir vektör olarak görülen her karmaşık faktör, fonksiyonun herhangi bir noktadaki büyüklüğünün, sıfırlardan itibaren vektörlerin büyüklüklerinin çarpımının kutuplardan itibaren vektörlerin büyüklüklerinin çarpımına bölünmesiyle hesaplanmasına olanak tanır.
 Fonksiyonun herhangi bir noktadaki açısı, vektörlerin sıfırlardan itibaren açılarının toplamından kutuplardan itibaren açılarının toplamının çıkarılmasıyla belirlenir. Bu açılar, pozitif gerçek eksenden, fonksiyonun sıfırlarından veya kutuplarından ilgi noktasına çizilen vektörlere kadar ölçülür.

 Karmaşık bir fonksiyonu belirli bir noktada çözmek için, fonksiyonun her sıfırından ve kutbundan seçilen noktaya vektörler çizilir. Daha sonra bu vektörlerin büyüklükleri ve açıları, fonksiyonun o noktadaki değerini belirlemek için kullanılır. Fonksiyonun büyüklüğü, vektörlerin sıfırlardan itibaren uzunluklarının çarpımının, vektörlerin kutuplardan itibaren uzunluklarının çarpımına bölünmesiyle elde edilir. Fonksiyonun açısı, kutuplardan itibaren açıların toplamının sıfırlardan itibaren açıların toplamından çıkarılmasıyla bulunur.
 Bu vektör denklemlerini fonksiyona yerleştirerek, belirtilen noktada fonksiyonun hem büyüklüğünü hem de açısını elde edebiliriz. Bu yaklaşım, karmaşık fonksiyonların kapsamlı bir analizine olanak tanır ve kutupsal formda vektör gösteriminin kullanımı yoluyla davranışları ve özellikleri hakkında içgörüler sağlar.
 
 </div>

Karmaşık Sayıların Vektör Gösterimi

Kartezyen koordinatlarda tanımlanan karmaşık sayılar vektör olarak gösterilebilir. Bunlar, büyüklüklerini sergileyen kutupsal biçimde ifade edilebilir ve ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrik Mühendisliği

Unit 1

Ünite 1

Root-Locus Method

Kök Yer Eğrisi Yöntemi

KEY TERMS AND CONCEPTS

TEMEL TERİMLER VE KAVRAMLAR

Vector Representation of Complex Numbers

complex numbers as vectors in polar form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction.

The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point.

For a function written as a product of complex factors in the numerator divided by a product of complex factors in the denominator, each factor can be treated like a vector. The magnitude of the function at any point is found by multiplying the lengths of the vectors from the zeros and dividing by the lengths of the vectors from the poles. A zero is a point where the function can start, and a pole is a point where the denominator creates a special point in the function.

The angle of the function is found in a similar way. It is the sum of the angles from the zeros minus the sum of the angles from the poles. These angles are measured from the positive real axis to the vectors drawn from each zero or pole to the point of interest.

To solve the function at a specific point, vectors are drawn from every zero and pole to that point. Their magnitudes and angles are then used to calculate the value of the function. By replacing the function with these vector equations, both the magnitude and angle at the chosen point can be found.

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

Root locus and closed-loop stability are key ideas in control systems. A basic thermostat is an open-loop system, so its transfer function poles affect the response but do not set stability. When feedback is added, the system becomes closed-loop, like an advanced thermostat that changes heating based on room temperature. In a closed-loop system, stability depends on the new poles of the closed-loop transfer function. If those poles move into the unstable region, the system can start to...

vector representation of complex numbers

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

Root locus helps show how cruise control stays stable as conditions change. In a car, cruise control keeps a set speed by adjusting the gas pedal automatically. It keeps checking the car’s speed and makes small pedal changes to hold that target speed. This system can be drawn as a block diagram, and its transfer function gives the math model. The model is useful when the car goes uphill, downhill, or faces strong wind resistance. To find the system poles for different pedal forces, the...

properties of the root locus

Root Locus Angle and Gain Rules

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response. A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles...

construction of root locus

Root Locus Paths and Asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between. The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or...

plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

Root locus rules help describe how oscillator feedback systems behave as gain changes. The Hartley oscillator is one example of a positive feedback system. It keeps oscillating by feeding the output back to the input in phase, which reinforces the signal. Positive feedback systems can also be treated as negative feedback systems with the feedback signal inverted. In root locus analysis, the locus is the set of points on the s-plane where the transfer function angle equals 360 degrees. The...

key terms and concepts

Learn how complex numbers can be treated as vectors in polar form, and how zeros, poles, magnitude, and angle help evaluate complex functions.

Complex Numbers as Vectors in Polar Form | JoVE K12

JoVE Core Elektrik Mühendisliği, devre analizi teknikleriyle birlikte elektrik devrelerinin temel kavramlarını kapsayan, anlaşılması kolay animasyonlu videolar sunar. Operasyonel amplifikatörler ve devre dönüşümü kavramlarını kullanarak birinci dereceden ve ikinci dereceden devreleri içerir. Pratik tasarım örneklerinin ve gerçek dünya uygulamalarının bilim insanlarınca hazırlanan videolar aracılığıyla dahil edilmesi, karmaşık kavramları erişilebilir hale getirerek önemli bir eğitim değeri katmaktadır.

electrical engineering

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Description

Transcript

Tags