Name: root locus paths and asymptotes
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

Kök yeri yapısı, kapalı döngü kutuplarının sayısına eşit olan dal sayısının belirlenmesini içerir. Kök lokusu gerçek eksen etrafında simetriktir.
Kök lokusu, gerçek eksenin, sonlu açık döngü kutuplarının ve soldaki sıfırların toplam sayısının toplamının tek olduğu kısmında bulunur.
Açık döngü kutuplarından kaynaklanan lokus, artan kazançla kapalı döngü sistem kutuplarını izler ve sistem kutuplarının artan kazançla stabilize olduğu açık döngü sıfırlarda sona erer.
s sonsuza yaklaştıkça sonsuza yaklaşan bir fonksiyonun sonsuzda bir kutbu vardır. Sıfıra yaklaşırsa, sonsuzda sıfırı vardır.
Kök lokusu sonsuza doğru hareket ederken, asimptotlar olarak bilinen belirli düz çizgilere yaklaşır. Belirli bir sistem için, gerçek eksen kesişimi ve açısı hesaplanır. Kazanç arttıkça açılar kendini tekrar etmeye başlar.
Gerçek eksen kesişimi ve açısına dayanan denklemleri, lokusların kutuplardan sonsuza giden yolunu ortaya çıkarır.
Lokus, açık döngü kutuplarından kaynaklanır ve açık döngü sıfırlarında sona erer.

kök yer eğrisinin İnşası

<div>
Kök yer eğrisinin inşası, bir sistemin kutuplarının değişen kazanca gösterdiği davranışını analiz etmek ve görselleştirmek için birkaç temel adımı içerir. Kök yer eğrisindeki dal sayısı, kapalı döngü kutuplarının sayısına eşittir ve gerçel eksene göre simetriktir.

Pozitif kazanç değerleri için kök yer eğrisi; gerçel eksende, tek sayıda sonlu açık döngü kutuplarının veya sıfırlarının solunda bulunur. Kök yer eğrisi, açık döngü kutuplarında başlar ve kazanç arttıkça kapalı döngü kutuplarının yollarını izler. Kazanç artmaya devam ettikçe sistem kutuplarının sabitlendiği açık döngü sıfırlarında sona erer.

Bir fonksiyon s sonsuza yaklaşırken sonsuza yaklaşıyorsa, sonsuzda bir kutbu vardır. Tersine, bir fonksiyon sıfıra yaklaşıyorsa, sonsuzda bir sıfırı vardır. Kök yer eğrisi sonsuza doğru uzadıkça, belirli asimptotları takip eder. Bu asimptot denklemleri, gerçel ekseni kestiği nokta ve asimptotların açıları tarafından belirlenir; bu, noktaların kutuplardan sonsuza kadar izlediği yolları gösterir.

Belirli bir sistemde bu yolları hesaplamak için, gerçel eksen kesişimi ve asimptotların açıları belirlenir. Açılar, kutup ve sıfır sayısına göre türetilir ve kazanç arttıkça tekrarlanmaya başlar. Asimptot açısı formülü şu şekilde verilir:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16122/16122_PT_Equation_001.svg" style="height: 30px;">

burada k bir tam sayı, n kutupların sayısı ve m sıfırların sayısıdır.

Tam kök yer eğrisi grafiği açık döngü kutuplarında başlar ve açık döngü sıfırlarında sonlanır. Bu grafik, kök yer eğrisi yöntemini yöneten kurallara uyarak sistemin kararlılığının ve tepkisinin kapsamlı bir şekilde analiz edilebilmesini ve tahmin edilebilmesini sağlar.

Mühendisler bu adımları izleyerek kök yer eğrisi yöntemini kontrol sistemlerini tasarlamak ve ayarlamak için etkili bir şekilde kullanabilir ve çeşitli çalışma koşullarında istenen performansı ve kararlılığı sağlayabilir. Bu yaklaşım, sistem kutuplarının artan kazançla nasıl hareket ettiğinin net bir görselleştirmesini sağlayarak kontrol stratejilerinin güçlü tasarımına yardımcı olur.
</div>

Kök Yer Eğrisinin İnşası

Kök yeri yapısı, kapalı döngü kutuplarının sayısına eşit olan dal sayısının belirlenmesini içerir. Kök lokusu yaklaşık simetriktir ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrik Mühendisliği

Unit 1

Ünite 1

Root-Locus Method

Kök Yer Eğrisi Yöntemi

KEY TERMS AND CONCEPTS

TEMEL TERİMLER VE KAVRAMLAR

Construction of Root Locus

root locus paths and asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between.

The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or zeros. The paths begin at the open-loop poles and move as gain increases.

As gain continues to rise, the root locus ends at the open-loop zeros. At those points, the system poles settle. If a function goes to infinity as s approaches infinity, it has a pole at infinity. If a function goes to zero, it has a zero at infinity.

When the root locus extends toward infinity, it follows asymptotes. An asymptote is a line that shows the direction of a branch far from the poles and zeros. The asymptotes are found from the real-axis intercept and their angles. The angle formula depends on the number of poles, n, the number of zeros, m, and an integer k. These angles repeat as gain increases.

A complete root locus plot starts at the open-loop poles and ends at the open-loop zeros. It follows the rules of the root locus method so stability and response can be studied and predicted. Engineers use this plot to design and tune control systems for the desired performance across different operating conditions. The result is a clear picture of how system poles migrate with increasing gain.

Root Locus Paths and Asymptotes

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

Root locus and closed-loop stability are key ideas in control systems. A basic thermostat is an open-loop system, so its transfer function poles affect the response but do not set stability. When feedback is added, the system becomes closed-loop, like an advanced thermostat that changes heating based on room temperature. In a closed-loop system, stability depends on the new poles of the closed-loop transfer function. If those poles move into the unstable region, the system can start to...

vector representation of complex numbers

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

Root locus helps show how cruise control stays stable as conditions change. In a car, cruise control keeps a set speed by adjusting the gas pedal automatically. It keeps checking the car’s speed and makes small pedal changes to hold that target speed. This system can be drawn as a block diagram, and its transfer function gives the math model. The model is useful when the car goes uphill, downhill, or faces strong wind resistance. To find the system poles for different pedal forces, the...

properties of the root locus

Root Locus Angle and Gain Rules

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response. A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles...

construction of root locus

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between. The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or...

plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

Root locus rules help describe how oscillator feedback systems behave as gain changes. The Hartley oscillator is one example of a positive feedback system. It keeps oscillating by feeding the output back to the input in phase, which reinforces the signal. Positive feedback systems can also be treated as negative feedback systems with the feedback signal inverted. In root locus analysis, the locus is the set of points on the s-plane where the transfer function angle equals 360 degrees. The...

key terms and concepts

Learn how root locus branches move from open-loop poles to zeros, use asymptotes, and show how gain affects stability in control systems.

Root Locus Paths and Asymptotes | JoVE K12

JoVE Core Elektrik Mühendisliği, devre analizi teknikleriyle birlikte elektrik devrelerinin temel kavramlarını kapsayan, anlaşılması kolay animasyonlu videolar sunar. Operasyonel amplifikatörler ve devre dönüşümü kavramlarını kullanarak birinci dereceden ve ikinci dereceden devreleri içerir. Pratik tasarım örneklerinin ve gerçek dünya uygulamalarının bilim insanlarınca hazırlanan videolar aracılığıyla dahil edilmesi, karmaşık kavramları erişilebilir hale getirerek önemli bir eğitim değeri katmaktadır.

electrical engineering

Root Locus Paths and Asymptotes

Description

Transcript

Tags