Overfladekortlægning af jordlignende Exoplaneter ved hjælp af enkeltpunktslyskurver

Summary

Protokollen udtrækker oplysninger fra lyskurver af exoplaneter og konstruerer deres overfladekort. Det bruger lys kurver af Jorden, der tjener som en proxy exoplanet, at demonstrere den tilgang.

Abstract

Rumligt løse exoplanet funktioner fra enkelt-punkt observationer er afgørende for at vurdere den potentielle beboelighed af exoplaneter. Det endelige mål med denne protokol er at afgøre, om disse planetariske verdener havnen geologiske træk og / eller klimasystemer. Vi præsenterer en metode til at udtrække oplysninger fra flerbølgelængde single-point lys kurver og hente overflade kort. Det bruger ental værdi nedbrydning (SVD) til at adskille kilder, der bidrager til lys kurve variationer og udlede eksistensen af delvist overskyet klimasystemer. Gennem en analyse af tidsserierne fra SVD kan fysiske tilskrivninger af hovedkomponenter (pc'er) udledes uden antagelser om spektrale egenskaber. Ved at kombinere med visningsgeometri er det muligt at rekonstruere overfladekort, hvis en af pc'erne viser sig at indeholde overfladeoplysninger. Degeneracy stammer fra sammenvaskning af pixel geometri og spektrum oplysninger bestemmer kvaliteten af rekonstruerede overflade kort, som kræver indførelse af legalisering. Med henblik på at demonstrere protokollen analyseres jordens flerbølgelængdelyskurver, der fungerer som en proxy exoplanet. Sammenligning mellem resultaterne og jorden sandheden præsenteres for at vise udførelsen og begrænsningen af protokollen. Dette arbejde er et benchmark for fremtidig generalisering af exoplanet applikationer.

Introduction

Identifikation beboelige verdener er et af de ultimative mål i^{astrobiologi 1}. Siden den første^{afsløring 2}er mere end 4000 exoplaneter blevet bekræftet til dato³ med en række jordanalogier (f.eks. Disse planeter har orbital og planetariske egenskaber svarende til jordens, og derfor er potentielt beboelige. Det er i den forbindelse vigtigt at evaluere deres beboelighed ud fra begrænsede observationer. Baseret på viden om livet på Jorden er geologiske systemer og klimasystemer afgørende for beboeligheden, som derfor kan tjene som biosignaturer. I princippet kunne funktionerne i disse systemer observeres på afstand, selv når en planet ikke kunne løses rumligt bedre end et enkelt punkt. I dette tilfælde er det vigtigt at identificere geologiske træk og klimasystemer fra enkeltpunktslyskurver ved vurderingen af exoplanets beboelighed. Overflade kortlægning af disse exoplaneter bliver presserende.

På trods af sammenkædning mellem visning geometri og spektrale funktioner, oplysninger om en exoplanet overflade er indeholdt i sin tid-løst enkeltpunkt lys kurver, som kan fås fra en afstand, og udledes med tilstrækkelige observationer. Men to-dimensionelle (2D) overflade kortlægning af potentielt beboelige Jord-lignende exoplaneter er udfordrende på grund af indflydelse af skyer. Metoder til at hente 2D-kort er blevet udviklet og testet ved hjælp af simulerede lyskurver og kendte spektre^5,6,7,8, men de er ikke blevet anvendt til reelle observationer. Desuden kan antagelser om karakteristiske spektre i analyserne af exoplanetobservationer nu og i den nærmeste fremtid være kontroversielle, når de planetariske overfladesammensætninger ikke er velbegrænsede.

I dette papir demonstrerer vi en overfladekortlægningsteknik til jordlignende exoplaneter. Vi bruger SVD til at evaluere og adskille oplysninger fra forskellige kilder, der er indeholdt i flerbølgelængde lys kurver uden antagelser af nogen specifik spektre. Kombineret med visning geometri, præsenterer vi genopbygningen af overflade kort ved hjælp af rettidig løst, men rumligt indviklede overflade oplysninger. Med henblik på at demonstrere denne metode analyseres toårige flerbølgelængder af jordens enkeltpunktsobservationer, der er opnået ved Deep Space Climate Observatory/Earth Polychromatic Imaging Camera (DSCOVR/EPIC; www.nesdis.noaa.gov/DSCOVR/spacecraft.html). Vi bruger Jorden som en proxy exoplanet til at vurdere denne metode, fordi øjeblikket tilgængelige observationer af exoplaneter ikke er tilstrækkelige. Vi vedhæfter koden med papiret som et eksempel. Det er udviklet under Python 3,7 med anaconda og healpy pakker, men matematikken i protokollen kan også ske i andre programmering miljøer (f.eks IDL eller MATLAB).

Protocol

1. Opsætning af programmering

1. Konfigurer programmeringsmiljøet for den vedhæftede kode. En computer med Linux-operativsystem er påkrævet, da healpy-pakken ikke er tilgængelig på Windows. Koden er ikke beregningsmæssigt dyrt, så en normal personlig computer kan håndtere protokollen.
2. Følg instruktionen (https://docs.anaconda.com/anaconda/install/linux/) for at installere Anaconda med Python 3.7 på systemet, og brug derefter følgende kommandoer i terminalen til at konfigurere programmeringsmiljøet:
   $ conda skabe --navn myenv python = 3,7
   $ conda aktivere myenv
   $ conda installere anaconda
   $ conda installere healpy
   BEMÆRK: Disse trin kan tage ti minutter afhængigt af hardwaren og internethastigheden. Miljønavnet 'myenv' i de første to kommandolinjer kan ændres til en hvilken som helst anden streng.

2. Opnåelse af multibølgelængde lys kurver og visning geometri fra observationer

1. I visningsgeometrien skal du medtage længde- og breddegraden af sub stjernernes og underobservatørpunkterne for hver tilsvarende tidsramme.
   Hvis du vil bruge følgende vedhæftede kode, skal du sikre dig, at disse to filer har samme format som LightCurve.csv og Geometri.csv.
2. Kør PlotTimeSeries.py for at visualisere dataene og kontrollere deres kvaliteter. Der oprettes to .png og geometri.png (supplerende figur 1-2). Det kan være nødvendigt at justere parametrene i dette og følgende plotningskoder, hvis de anvendes på forskellige observationer.
   $ python PlotTimeSeries.py LightCurve
   $ python PlotTimeSeries.py Geometri

3. Uddrag overfladeoplysninger fra lyskurver

1. Center tidsafregnet multi-bølgelængde albedo lys kurver af en exoplanet og normalisere dem ved tilsvarende standardafvigelse ved hver bølgelængde. Dette resulterer i den samme betydning af hver kanal.
   
   hvor R'_t,k og R_t,k er den skalerede og observerede albedo ved henholdsvis t-tiden og k-th-bølgelængden μ_k og σ_k er gennemsnits- og standardafvigelsen for albedo-tidsserien ved k-th-bølgelængden.
   1. Kør Normalize.py for at normalisere lyskurverne, R_t,k. Outputtet gemmes i NormalizedLightCurve.csv.
      $ python Normalize.py
2. Kør PlotTimeSeries.py for at visualisere de normaliserede lyskurver. Der oprettes et tal normaliseret .png der oprettes en .png(supplerende figur 3).
   $ python PlotTimeSeries.py NormalizedLightCurve
3. Påfør SVD på de skalerede albedo-lyskurver for at finde dominerende pc'er og deres tilsvarende tidsserier.
   
   På venstre side er T og K det samlede antal tidstrin og observationsbølgelængder; R' er matrixen af skaleret albedo-observationer, hvis (t,k)-th element er R'_t,k. På højre side er kolonner af V pc'er, ortonormale vektorer, der definerer rummet SVD projekter til; Σ er en diagonal matrix, hvis (k,k)-th element er standardafvigelsen for skaleret lyskurver langs k-th aksen defineret af k-th kolonnen af V; kolonner af U er den tilsvarende tidsserie for hver pc i V.
   1. Kør SingularValueDecomposition.py at nedbryde R'. Den resulterende U, Σ, V^T gemmes i outputfilerne U.csv, SingularValue.csv og V_T.csv.
      $ python SingularValueDecomposition.py
4. Brug PlotTimeSeries.py og PlotSVD.py til at visualisere SVD-resultatet. Der vil blive oprettet .pngtal .png, Sigma.png V_T.png og4-6 ( Supplerende figur 4-6).
   $ python PlotTimeSeries.py U
   $ python PlotSVD.py
5. Analysér bidrag og tilsvarende tidsserier af pc'er for at bestemme den, der indeholder overfladeoplysninger.
   1. Sammenlign entalsværdierne ved diagonalen af Σ. En Jord-lignende delvist overskyet exoplanet forventes at have to sammenlignelige dominerende ental værdier.
      BEMÆRK: Σ kan indeholde mindre eller mere end to dominerende entalsværdier, som er beskrevet nedenfor.
   2. Sammenlign tidsseriemønstrene for de to dominerende pc'er. Den pc, der indeholder overfladeoplysninger, har en tendens til at have en mere almindelig form end den anden. På grund af den langsgående asymmetri og overfladens genkomst med små ændringer på to på hinanden følgende dage har de tilsvarende tidsserier en tendens til at have omtrent konstant daglig variation.
   3. Beregn hyppigheden af de to dominerende pc'er ved hjælp af Lomb-Scargle periodogram^9,10 for at bekræfte valget af PC. Den pc, der indeholder overfladeoplysninger, har en tendens til at have en højere top, der svarer til rotationsperioden i effekttæthedsspektret.
   4. Kør Periodogram.py for at få effektspektre af tidsserien af hver pc. Strømspektrene gemmes i periodogram.csv.
      $ python Periodogram.py
   5. Kør PlotPeriodogram.py for at visualisere disse periodogrammer og bekræfte valget af pc. Der oprettes et figurperiode.png deroprettes (supplerende figur 7). Den aktuelle plottekode tilføjer i stiplede linjer, der repræsenterer årlige, halvårlige, døgnlige og halvdagscyklusser som reference, hvilket kan være nødvendigt at ændre, når den anvendes på andre observationer.
      $ python PlotPeriodogram.py
   6. Vælg pc,v_j, der indeholder overflade oplysninger og dens tidsserier, u_j.
      
      
      hvor V[:,j] og U[:,j] er henholdsvis V og U'j-th-kolonner j er det pc-indeks, der udledes på trin 3.3, og som indeholder overfladeoplysninger.

4. Konstruere planetarisk overfladekort

1. Brug metoden Hierarchical Equal Area iso-Latitude Pixelization (HEALPix)¹¹ til at pixelere hentningskortet. Det deler sfæriske overflade af en planet i pixels med det samme område og ensartet fordeling. Angive den ukendte værdi af p-th-pixlen som x_p.
   1. Kør HEALPixRandom.py for at visualisere pixeliseringsmetoden. Der vil blive oprettet et .png HEALPixRandom.png der vil blive oprettet(supplerende figur 8). Parameter_N-siden ved linje 17 kan ændres for forskellige opløsninger. Dette trin kan tage et par sekunder til minutter afhængigt af opløsningen.
      $ python HEALPixRandom.py
2. Beregne vægten af p-th pixel i observationer på t-th tid trin, w_{t, p}, ved hjælp af visning geometri.
   
   hvor α_t,p, β_t,p er solen og rumfartøjet zenit vinkler på p-th pixel på t-th tid trin; c_t er en normaliseringsperiode for t-th observation, således at summen af den samlede vægt på hvert trin er enhed.
   BEMÆRK: Geometri antages at være kendt på dette trin, eller kan udledes af anden analyse, som er beskrevet nedenfor.
   1. Kør ComputeWeight.py at beregne w_t,p. Ændre værdien af_N-siden ved linje 23 for andre opløsninger på det hentede kort. Outputtet gemmes som W.npz på grund af dets størrelse.
      $ python ComputeWeight.py
3. Brug PlotWeight.py til at visualisere disse vægte. Der oprettes en række tal, et ad gangen, i en mappe Vægt. Fletning af dem resulterer i supplerende video 1, som viser, hvordan vægten af hver pixel ændrer sig med tiden. Dette trin kan tage timer at afslutte på grund af det store antal visualiseringer.
   $ python PlotWeight.py
4. Kombiner geometri og observationer for at nå et lineært regressionsproblem.
   
   hvor P er det samlede antal hentningspixels W er vægtmatrixen med w_t,p som (t,p)-th-elementet; x består af x_p som p-th element, som er den mængde, der skal løses i dette problem.
   Løs det lineære regressionsproblem med en legalisering af L-2 normen.
   
   hvor jeg er identitetsmatrixen, og λ er legaliseringsparameteren.
   BEMÆRK: 10^-3 er en god værdi for λ, når T ~ 10⁴ og P ~ 3 * 10³. De bør justeres ved at sammenligne værdierne af de to udtryk i den regulerede firkantede fejl, e, som vist nedenfor.
   
   1. Kør LinearRegression.py for at løse dette lineære regressionsproblem. Resultatet af x gemmes i filen PixelValue.csv. Ændre værdien af λ ved linje 16 for forskellige styrker af legalisering.
      $ python LinearRegression.py
5. Konverter x til et 2D-overfladekort i henhold til kortlægningsreglen i HEALPix.
   1. Kør PlotMap.py at konstruere de hentede kort ved hjælp af forskellige legaliseringsparametre. Der vil Map_-2.png, Map_-3.png og Map_-4.png op med den aktuelle indstilling (supplerende figur 9). Forholdet mellem pixelindeksene og deres placeringer på kortet er beskrevet i HEALPix-dokumentet¹¹. Dette trin tager snesevis af sekunder.
      $ python PolotMap.py

5. Anslå usikkerheden for det hentede kort

1. Omskrive den lineære regression problem på trin 4,3 med den "sande værdi" af x som z og observation støj, ε.
   1. Antag ε at følge en Gaussisk Distribution N (0, σ²I_{[T * T]}) og anslå sin kovarians. T-P er graden af frihed u j_fra observation, når den hentede kort er fast.
      
   2. Kombiner ligninger i trin 4.4 og 5.1. Det resulterer i en gaussisk vektor af x.
      
   3. Beregn forventningen og kovarians matrix af x.
      
   4. Opnå usikkerheden for hvert element i x som kvadratroden af det tilsvarende element på diagonalen af Cov[x].
      
      hvor e_p er usikkerheden ved x_p Diag[Cov[x]]_p er p-th element på diagonalen af Cov[x].
   5. Kør Covariance.py for at beregne kovarians matrix af x. Resultatet gemmes i Covariance.npz på grund af dets størrelse. Dette trin tager snesevis af sekunder til minutter afhængigt af størrelsen af W.
      $ python Covariance.py
2. Konverter_{e p} til det hentede 2D-kort i henhold til kortlægningsreglen i HEALPix.
   1. Kør PlotCovariance.py for at visualisere Cov[x] og knytte usikkerheden ep_til det hentede kort. Der vil blive oprettet to .png og usikkerhed.png (supplerende figur 10-11).
      $ python PlotCovariance.py

Representative Results

Vi bruger multi-bølgelængde single-point lys kurver af Jorden til at demonstrere protokollen, og sammenligne resultaterne med jorden sandheden at vurdere kvaliteten af overflade kortlægning. Observation anvendes her er opnået ved DSCOVR / EPIC, som er en satellit placeret i nærheden af den første Lagrangian punkt (L1) mellem Jorden og Solen tager billeder på ti bølgelængder af solbeskinnede ansigt Af Jorden. To år (2016 og 2017) af observationer bruges til denne demonstration, som er de samme som i Jiang et al. (2018)¹² og Fan et al. (2019)¹³, hvor flere detaljer om observationerne præsenteres. En prøve observation på 9:27 UTC, 2017 Februar 8 er vist i figur 1. Billeder af Jorden er integreret til enkelte punkter for at simulere lyskurve observationer opnået af Aliens, fjerne observatører, der ikke kunne rumligt løse Jorden bedre end en pixel. Derfor genereres der multibølgelængdekurver med et enkelt punkt med ~10.000 tidstrin, som er inputdataene i denne protokol.

Efter trin 3 finder vi to dominerende pc'er i lyskurverne med flere bølgelængder, og den anden pc (PC2) indeholder overfladeoplysninger. Afledt som trin 3.5, tidsserie af PC2 viser mere regelmæssig morfologi med en omtrent konstant daglig variation, og dens effektspektrum viser stærkere døgncyklus end den første PC (PC1, Figur 2). Derfor er en overflade kort over denne proxy exoplanet er konstrueret efter trin 4 (Figur 3a), som består af værdien af PC2 på hver pixel. Sammenlignet med jorden sandheden om Jorden (Figur 3b), den rekonstruerede kort genvinder alle større kontinenter, på trods af nogle uoverensstemmelser i den sydlige halvkugle, hvor skyer delvist forhindre overflade oplysninger fra at blive observeret. Usikkerheden for hver pixelværdi opnået i henhold til trin 5 (Figur 3c) er i rækkefølgen af 10 % af den i det hentede kort, hvilket tyder på en god kvalitet af overfladekortlægningen og et positivt resultat.

Figur 1: Reflektbilleder af Jordens solbeskinnede halvkugle.
Observationerne er taget af DSCOVR / EPIC på ti bølgelængder og på 9:27 UTC, 2017 Februar 8. Klik her for at se en større version af dette tal.

Figur 2: Tidsserier og effektspektre af de to dominerende pc'er.
(a)Tidsserie af PC1. Dagligt maksimum og minimum er angivet med sorte linjer. b) Effektspektret af PC1's tidsserier. Årlige, halvårlige, døgnlige og halvdagscyklusser betegnes som sort stiplede linje. c) og d )eridentiske meda) ogb), men svarer til PC2. Dette tal er taget fra Fan et al. (2019)¹³. Klik her for at se en større version af dette tal.

Figur 3: Rekonstruktion af Jordens overflade.
a)Overfladekort over Jorden, der fungerer som en proxy exoplanet, rekonstrueret fra multi-bølgelængde lys kurver. Farver på kortet er værdierne for PC2 ved hver pixel. Konturen af medianværdien angives som den sorte linje. (b) Ground sandheden af Jordens overflade kort. c) Usikkerheden ved det rekonstruerede kort vist i (a). Dette tal er ændret fra Fan et al. (2019)¹³. Klik her for at se en større version af dette tal.

Figur 4: Resultat af at finde den optimale legaliseringsparameter.
Den optimale værdi af legaliseringsparameteren λ er 10^-3,153 (stiplet linje), når χ² af rekonstruktionen (fast linje) når sit minimum. Klik her for at se en større version af dette tal.

Figur 5: Følsomhedstest af observationsstøj.
a)Korrelationskoefficient mellem PC2 og jordfraktion i synsfeltet (fast linje) afledt af observationer med forskellige signal-støjforhold (S/Ns). Den oprindelige korrelation fra lyskurver uden støj vises som den stiplede linje. b) Betydningen af hver pc på jordfraktionen, der er afledt med forskellige observationss- og observations-S/N'er. Vigtigheden beregnes ved hjælp af gradient boosted regression trees (GBRT) modeller som beskrevet i Fan et al. (2019)¹³. Klik her for at se en større version af dette tal.

Supplerende figur 1: Tidsserie af refleksion af Jorden ved ti bølgelængder. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 2: a) Tidsserie af breddegrader for underobservatørpunktet. b) Samme som (a), men for længdegrad. c) og d) er identiske med litra a) og b), men svarer til del stjernernes punkt. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 3: Tidsserie af normaliseret refleksion af Jorden ved ti bølgelængder. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 4: Tidsserie af de ti pc'er, kolonner af U. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 5: Entalværdier, der svarer til hver pc, diagonale elementer i Σ. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 6: Normaliseret reflektalitetsspektre af ti pc'er, kolonner af V. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 7: Effekttæthedsspektre af tidsserier på ti pc'er. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 8: Pixelisering af hentning af kort fyldt med tilfældige pixelværdier. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 9: Rekonstrueret kort over Jorden ved hjælp af forskellige legaliseringsparametre på (a) 10^-2, (b) 10^-3og (c) 10^-4. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 10: Kovarians matrix af x. Klik her for at downloade dette tal.

Supplerende figur 11: Kvadratroden af de diagonale elementer i kovariansmatrixen x, der er knyttet til det hentede overfladekort. Klik her for at downloade dette tal.

Video S1: Pixel vægte for observationer på hver tidsramme i 2016 og 2017.

Supplerende filer. Klik her for at downloade disse filer.

Discussion

Et afgørende krav i protokollen er muligheden for at udtrække overfladeoplysninger fra lyskurver, som afhænger af skydækningen. I trin 3.5.1 kan pc'ernes relative værdier være forskellige blandt exoplaneter. For Jordens tilfælde dominerer de to første pc'er lyskurvevariationerne og svarer til overfladeafhængige skyer og overflade (Fan et al. 2019)¹³. De har sammenlignelige entalsværdier, således at overfladeoplysningerne kan adskilles efter trin 3.5.2 og 3.5.3. For en fremtidig observation af exoplanet, i ekstreme tilfælde af enten en helt overskyet eller en sky-fri exoplanet, kun én dominerende pc ville blive vist i SVD på trin 3.3. Spektralanalyse er nødvendig i dette tilfælde for at fortolke betydningen af denne pc, da sammensætninger af skyer og overflade er forskellige. Hvis den dominerende pc svarer til overfladen, kan trin 4 og 5 stadig følges. hvis det svarer til skyer, kan det konkluderes, at overfladeoplysninger blokeres af skyer og derfor ikke kan udtrækkes ved hjælp af lyskurver ved givne bølgelængder. I dette tilfælde er overfladekortlægning ikke mulig. En tredje eller endog fjerde sammenlignelig dominerende pc kan også eksistere, hvilket kan svare til et andet lag af skyer eller store hydrologiske processer, og vil ikke gøre følgende trin i metoden ugyldig, så længe overfladeoplysningerne er udvundet.

Degeneracy som følge af sammenlemjening af geometri og spektrum er den dominerende faktor, der begrænser kvaliteten af det hentede kort, som diskuteret i Cowan & Strait (2013)¹⁴ og Fujii et al. (2017)¹⁵. Da tidsserien af dominerende pc'er kun dækker en lille del af pc-flyet, er der altid en afvejning mellem rumlige og spektrale variationer. Med andre ord kunne det hentede kort (Figur 2a) ikke forbedres meget, selv med et uendeligt antal tidstrin og perfekte observationer, så længe der blev brugt lyskurver ved de samme bølgelængder. Vi indfører legalisering til delvist at lindre degeneracy. Den optimale værdi af legaliserings udtrykket λ i trin 4.4 bestemmes ved hjælp af observationer, der er syntetiseret af den grundlæggende sandhed, hvor den observerede u_j erstattes af vægtede og skalerede jordfraktioner i synsfeltet (FOV). For at generere den syntetiske observation, bruger vi ligningen på trin 4.3 og erstatte x med jorden sandheden jord brøkdele af hver pixel, y. y skaleres til samme område med x ved hjælp af den stærke lineære korrelation mellem PC2 af observation, u₂, og den gennemsnitlige FOV jord fraktion¹³. På grund af degeneracyen kan y ikke perfekt nyttiggøres fra den lineære regression i trin 4.4, så vi bestemmer den optimale værdi af λ ved at finde minimum χ², kvadreret restskaleret ved variansen af hver pixel. Sidstnævnte estimeres ud fra den absolutte værdi af hver pixel. Dette svarer til L-kurvekriteriet i Kawahara & Fujii (2011)¹⁶. I det særlige tilfælde, hvor T=9739 og P=3072, er den optimale værdi af λ 10^-3,153 (figur 4).

Observationsstøj, en anden faktor, der påvirker kortlægningskvaliteten, kan ødelægge SVD-analysen af lyskurver i praksis. Vi tester protokollens robusthed ved at indføre forskellige niveauer af observationsstøj i de oprindelige lyskurver. De antages at indeholde alle støjkilder (f.eks. himmelbaggrund, mørk strøm og udlæsningsstøj) og følge Gaussisk fordeling. I den oprindelige lyskurver uden støj viser PC2 stærk (r²=0,91) lineær korrelation med FOV-landfraktionen¹³, så tidsserien bruges til overfladekortlægningen. Med stigende støjniveau bliver sammenhængen mellem PC2 og overfladen svagere (Figur 5). Korrelationskoefficienten r²bliver til under 0,5, når signal-støj-forholdet (S/N) er mindre end 10 (Figur 5a), selv om pc2's betydning stadig er dominerende (figur 5b). Vi foreslår et minimum S / N på 30 for trygt at anvende protokollen i fremtidig generalisering. Det er værd at bemærke, at S / N her er forholdet mellem exoplanet signal til observation støj, med signalet af forælder stjerne bliver fjernet.

Visning geometri antages at være kendt på trin 4.2, som netop udlede visning geometri fra exoplanet observationer er uden for rammerne af dette arbejde. Ud over de orbital elementer, der kan udledes af lys kurve observationer, og rotation periode fra effekttæthed spektre (Figur 2b og 2d), er der kun to mængder, sommer / vinter solhverv og obliquity, der er nødvendige for overflade kortlægning. Sommer/ vintersolhverv normalt falder sammen med ekstremitet af tidsserie af overfladen tilsvarende PC, så længe der findes mærkbar asymmetri mellem nordlige og sydlige halvkugler. Exoplanetens obliquity kan udledes af dens indflydelse på lyskurvernes amplitud og^{frekvens 17,18}. Alle disse afledning kræver observationer prøveudtagning frekvens mindst højere end den planetariske rotation, som i øjeblikket sjældent er opfyldt for exoplaneter.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Python 3.7 with anaconda and healpy packages			Other programming environments (e.g., IDL or MATLAB) also work.