Surface Mapping van aarde-achtige exoplaneten met behulp van Single Point Lichtcurven

Summary

Het protocol haalt informatie uit lichtcurven van exoplaneten en construeert hun oppervlaktekaarten. Het maakt gebruik van lichte rondingen van de aarde, die dient als een proxy exoplaneet, om de aanpak aan te tonen.

Abstract

Het ruimtelijk oplossen van exoplaneetkenmerken uit single-point waarnemingen is essentieel voor de beoordeling van de potentiële bewoonbaarheid van exoplaneten. Het uiteindelijke doel van dit protocol is om te bepalen of deze planetaire werelden geologische kenmerken en/of klimaatsystemen herbergen. We presenteren een methode om informatie uit multigolflengte single-point lichtcurven te extraheren en oppervlaktekaarten op te halen. Het maakt gebruik van singular value decomposition (SVD) om bronnen te scheiden die bijdragen aan lichte curve variaties en afleiden van het bestaan van gedeeltelijk troebele klimaatsystemen. Door analyse van de tijdreeksen verkregen van SVD konden fysieke toeschrijvingen van hoofdcomponenten (pc's) worden afgeleid zonder aannames van spectrale eigenschappen. In combinatie met de weergavegeometrie is het mogelijk om oppervlaktekaarten te reconstrueren als een van de pc's oppervlakte-informatie bevat. Deracy is ontstaan uit de convolutie van de pixelmeetkunde en spectruminformatie bepaalt de kwaliteit van gereconstrueerde oppervlaktekaarten, wat de invoering van regularisatie vereist. Voor het aantonen van het protocol, multi-golflengte licht bochten van de aarde, die dient als een proxy exoplaneet, worden geanalyseerd. Vergelijking tussen de resultaten en de grond waarheid wordt gepresenteerd om de prestaties en beperking van het protocol aan te tonen. Dit werk biedt een benchmark voor toekomstige generalisatie van exoplaneettoepassingen.

Introduction

Het identificeren van bewoonbare werelden is een van de ultieme doelen in astrobiologie^1. Sinds de eerste detectie²zijn tot op heden meer dan 4000 exoplaneten bevestigd^met een aantal aardanalogieën (bijvoorbeeld TRAPPIST-1e)⁴. Deze planeten hebben orbitale en planetaire eigenschappen die vergelijkbaar zijn met die van de aarde, en zijn daarom potentieel bewoonbaar. In dit verband is het van essentieel belang dat hun bewoonbaarheid wordt geëvalueerd op uit beperkte waarnemingen. Op basis van de kennis van het leven op aarde zijn geologische en klimaatsystemen van cruciaal belang voor de bewoonbaarheid, die dus als biosignatuur kunnen dienen. In principe kunnen kenmerken van deze systemen van een afstand worden waargenomen, zelfs wanneer een planeet niet beter dan één enkel punt ruimtelijk kon worden opgelost. In dit geval is het identificeren van geologische kenmerken en klimaatsystemen van enkelpuntige lichtcurven essentieel bij de beoordeling van de bewoonbaarheid van exoplaneten. Oppervlaktemapping van deze exoplaneten wordt urgent.

Ondanks de convolutie tussen het bekijken van geometrie en spectrale kenmerken, is informatie van het oppervlak van een exoplaneet opgenomen in de tijd-opgeloste single-point lichtcurven, die kunnen worden verkregen van een afstand, en afgeleid met voldoende waarnemingen. Echter, twee-dimensionale (2D) oppervlakte mapping van potentieel bewoonbare Aarde-achtige exoplaneten is een uitdaging als gevolg van de invloed van wolken. Methoden voor het ophalen van 2D-kaarten zijn ontwikkeld en getest met behulp van gesimuleerde lichtcurven en bekende spectra^5,6,7,8, maar ze zijn niet toegepast op echte waarnemingen. Bovendien kunnen in de analyses van exoplaneetwaarnemingen nu en in de nabije toekomst veronderstellingen van karakteristieke spectra controversieel zijn wanneer de planetaire oppervlaktecomposities niet goed beperkt zijn.

In deze paper demonstreren we een oppervlaktemappingtechniek voor aardachtige exoplaneten. We gebruiken SVD om informatie te evalueren en te scheiden van verschillende bronnen die zijn opgenomen in meergolflengte lichtcurven zonder aannames van specifieke spectra. In combinatie met de weergavegeometrie presenteren we de reconstructie van oppervlaktekaarten met behulp van tijdige opgeloste maar ruimtelijk ingewikkelde oppervlakte-informatie. Om deze methode aan te tonen, worden twee jaar lang multigolflengte enkelpuntwaarnemingen van de aarde die zijn verkregen door de Deep Space Climate Observatory/Earth Polychromatic Imaging Camera (DSCOVR/EPIC; www.nesdis.noaa.gov/DSCOVR/spacecraft.html) geanalyseerd. We gebruiken de Aarde als proxy exoplaneet om deze methode te beoordelen, omdat de momenteel beschikbare waarnemingen van exoplaneten niet voldoende zijn. We voegen de code bij het papier als voorbeeld. Het is ontwikkeld onder python 3.7 met anaconda en healpy pakketten, maar de wiskunde van het protocol kan ook worden gedaan in andere programmeeromgevingen (bijvoorbeeld IDL of MATLAB).

Protocol

1. Programmering setup

1. Stel de programmeeromgeving in voor de bijgevoegde code. Een computer met Linux-besturingssysteem is vereist, omdat het healpy-pakket niet beschikbaar is op Windows. De code is niet rekenkundig duur, dus een normale personal computer kan het protocol aan.
2. Volg de instructie (https://docs.anaconda.com/anaconda/install/linux/) om Anaconda met Python 3.7 op het systeem te installeren en gebruik vervolgens de volgende opdrachten in de terminal om de programmeeromgeving in te stellen:
   $ conda maken --naam myenv python = 3.7
   $ conda activeren myenv
   $ conda installeren anaconda
   $ conda installeren healpy
   LET OP: Deze stappen kunnen tientallen minuten duren, afhankelijk van de hardware en internetsnelheid. De omgevingsnaam 'myenv' in de eerste twee opdrachtregels kan worden gewijzigd in een andere tekenreeks.

2. Het verkrijgen van meergolflengte lichtcurven en het bekijken van geometrie uit waarnemingen

1. In de weergavegeometrie, omvatten de lengte en breedte van de sub-stellaire en de sub-waarnemer punten voor elk overeenkomstig tijdsbestek.
   Als u de volgende bijgevoegde code wilt gebruiken, moet u ervoor zorgen dat deze twee bestanden dezelfde indeling hebben als LightCurve.csv en Geometry.csv.
2. Voer PlotTimeSeries.py uit om de gegevens te visualiseren en hun kwaliteiten te controleren. Er worden twee figuren LightCurve.png en Geometry.png gemaakt (Supplemental Figuur 1-2). Parameters in deze en volgende plotcodes moeten mogelijk worden aangepast als ze op verschillende waarnemingen worden toegepast.
   $ python PlotTimeSeries.py LightCurve
   $ python PlotTimeSeries.py Geometrie

3. Oppervlakte-informatie uit lichtkrommen

1. Center time-resolved multi-wavelength albedo lichtcurven van een exoplaneet en normaliseren door overeenkomstige standaarddeviatie op elke golflengte. Dit resulteert in het even belangrijke belang van elk kanaal.
   
   waar R'_t,k en R_t,k respectievelijk de geschaalde en waargenomen albedo zijn bij de t-th-tijdstap en de k-th golflengte; μ_k en σ_k zijn de gemiddelde en standaardafwijking van de albedo-tijdreeks op de k-th golflengte.
   1. Run Normalize.py om de lichtcurven te normaliseren, R_t,k. De uitvoer wordt opgeslagen in NormalizedLightCurve.csv.
      $ python Normalize.py
2. Voer PlotTimeSeries.py uit om de genormaliseerde lichtcurven te visualiseren. Er wordt een cijfer genormaliseerdlightcurve.png gemaakt(supplementisch figuur 3).
   $ python PlotTimeSeries.py NormalizedLightCurve
3. Pas SVD aan op de geschaalde albedo-lichtcurven om dominante pc's en de bijbehorende tijdreeksen te vinden.
   
   Aan de linkerkant, T en K zijn het totale aantal tijd stappen en observatie golflengten; R' is de matrix van geschaalde albedo-waarnemingen, waarvan het (t,k)-th-element R'_t,kis. Aan de rechterkant zijn kolommen van V pc's, orthonormale vectoren die de ruimte definiëren waar SVD naar projecteert; Σ is een diagonale matrix, waarvan het element (k,k)-th de standaarddeviatie is van geschaalde lichtcurven langs de k-th-as die wordt gedefinieerd door de k-th-kolom van V; kolommen van U zijn de bijbehorende tijdreeksen van elke pc in V.
   1. Ren SingularValueDecomposition.py om R' te ontleden. De resulterende U, Σ, V^T worden opgeslagen in de uitvoerbestanden U.csv, SingularValue.csv en V_T.csv,respectievelijk.
      $ python SingularValueDecomposition.py
4. Gebruik PlotTimeSeries.py en PlotSVD.py om het SVD-resultaat te visualiseren. Er worden drie figuren U.png, Sigma.png en V_T.png gemaakt (Supplemental Figuur 4-6).
   $ python PlotTimeSeries.py U
   $ python PlotSVD.py
5. Analyseer bijdragen en bijbehorende tijdreeksen van pc's om te bepalen welke oppervlakte-informatie bevat.
   1. Vergelijk de enkelvoud waarden op de diagonaal van Σ. Een aarde-achtige gedeeltelijk bewolkte exoplaneet zal naar verwachting twee vergelijkbare dominante bijzondere waarden hebben.
      OPMERKING: Σ kan minder of meer dan twee dominante enkelvoudswaarden bevatten, die hieronder worden besproken.
   2. Vergelijk de tijdreekspatronen van de twee dominante pc's. De pc die oppervlakte-informatie bevat heeft de neiging om meer regelmatige vorm dan de andere. Als gevolg van de longitudinale asymmetrie en de terugkeer van het oppervlak met kleine veranderingen in twee opeenvolgende dagen, de overeenkomstige tijdreeksen heeft de neiging om ongeveer constante dagelijkse variatie.
   3. Bereken de periodiciteiten van de twee dominante pc's met Lomb-Scargle periodogram^9,10 om de selectie van pc te bevestigen. De pc die oppervlakte-informatie bevat, heeft meestal een hogere piek die overeenkomt met de rotatieperiode in het vermogensdichtheidsspectrum.
   4. Voer Periodogram.py om de power spectra van de tijdreeks van elke pc te verkrijgen. De power spectra worden opgeslagen in Periodogram.csv.
      $ python Periodogram.py
   5. Voer PlotPeriodogram.py uit om deze periodogrammen te visualiseren en de selectie van pc te bevestigen. Er wordt een cijfer periodogram.png gemaakt(supplementisch figuur 7). De huidige plotting code voegt in stippellijnen die jaarlijkse, halfjaarlijkse, dag- en half-dagelijkse cycli voor referentie, die kan moeten worden gewijzigd wanneer toegepast op andere waarnemingen.
      $ python PlotPeriodogram.py
   6. Selecteer de pc, v_j, die oppervlakte-informatie en de tijdreeksen bevat, u_j.
      
      
      waar V[:,j] en U[:,j] respectievelijk de j-th kolommen van V en Uzijn; j is de index van pc afgeleid bij stap 3.3 die oppervlakte-informatie bevat.

4. Bouw planetaire oppervlaktekaart

1. Gebruik de methode Hiërarchisch gelijk gebied iso-Latitude (HEALPix)¹¹ om de opgehaalde kaart te pixeleren. Het verdeelt bolvormige oppervlak van een planeet in pixels met hetzelfde gebied en uniforme verdeling. De onbekende waarde van de p-th-pixel als x p aanduiden.
   1. Voer HEALPixRandom.py uit om de pixelisatiemethode te visualiseren. Er wordt een cijfer HEALPixRandom.png gemaakt(supplementisch figuur 8). De parameter_N-zijde bij lijn 17 kan worden gewijzigd voor verschillende resoluties. Deze stap kan enkele seconden tot minuten duren, afhankelijk van de resolutie.
      $ python HEALPixRandom.py
2. Bereken het gewicht van de p-th pixel in waarnemingen op de t-th time step, w_t,p, met behulp van weergavegeometrie.
   
   waar α_t,p, β_t,p zijn de zonne-en het ruimtevaartuig zenith hoeken op de p-th pixel op de t-th time step; c_t is een normalisatieterm van de t-th observatie, zodat de som van het totale gewicht bij elke stap is eenheid.
   OPMERKING: Geometrie wordt verondersteld bekend te zijn bij deze stap, of kan worden afgeleid uit andere analyse, die hieronder wordt besproken.
   1. Voer ComputeWeight.py uit om w_{t, p}. Wijzig de waarde van_N-zijde aan lijn 23 voor andere resoluties van de opgehaalde kaart. De output wordt opgeslagen als W.npz vanwege de grootte.
      $ python ComputeWeight.py
3. Gebruik PlotWeight.py om deze gewichten te visualiseren. Een aantal cijfers, een voor elke stap, zal worden gemaakt in een map Gewicht. Samenvoegen van hen resulteert in Aanvullende Video 1, die laat zien hoe het gewicht van elke pixel verandert met de tijd. Deze stap kan uren duren om te voltooien vanwege het grote aantal visualisaties.
   $ python PlotWeight.py
4. Combineer geometrie en waarnemingen om een lineair regressieprobleem te bereiken.
   
   waarbij P het totale aantal pixels is; W is de gewichtsmatrix met w_t,p als (t,p)-th element; x bestaat uit x_p als p-th element, dat is de hoeveelheid die moet worden opgelost in dit probleem.
   Los het lineaire regressieprobleem op met een regularisatie van de L-2-norm.
   
   waar ik de identiteitsmatrix ben en λ de regularisatieparameter is.
   LET OP: 10^-3 is een goede waarde voor λ wanneer T ~ 10⁴ en P ~ 3 * 10³. Ze moeten worden aangepast door de waarden van de twee termen in de geregulariseerde vierkante fout te vergelijken, e, zoals hieronder wordt weergegeven.
   
   1. Voer LinearRegression.py om dit lineaire regressieprobleem op te lossen. Het resultaat van x wordt opgeslagen in het bestand PixelValue.csv. Verander de waarde van λ bij lijn 16 voor verschillende sterktes van regularisatie.
      $ python LinearRegression.py
5. Converteer x naar een 2D-oppervlaktekaart volgens de toewijzingsregel van HEALPix.
   1. Voer PlotMap.py uit om de opgehaalde kaarten te construeren met behulp van verschillende regularisatieparameters. Met de huidige instelling Map_-2.png, Map_-3.png en Map_-4.png worden drie cijfers gemaakt (Supplementeel figuur 9). De relatie tussen de pixelindexen en hun locaties op de kaart wordt beschreven in het HEALPix-document¹¹. Deze stap duurt tientallen seconden.
      $ python PolotMap.py

5. Schatting van de onzekerheid van de opgehaalde kaart

1. Herschrijf het lineaire regressieprobleem bij stap 4.3 met de "werkelijke waarde" van x als z en het observatiegeluid, ε.
   1. Stel ε een Gaussian Distribution N (0, σ²I_[T*T]) te volgen en schat de covariantie ervan. T-P is de mate van vrijheid van u_j van observatie wanneer de opgehaalde kaart is vastgesteld.
      
   2. Combineer vergelijkingen in stap 4.4 en 5.1. Het resulteert in een Gaussische vector van x.
      
   3. Bereken de verwachting en de covariantiematrix van x.
      
   4. Verkrijg de onzekerheid van elk element in x als de vierkantswortel van het overeenkomstige element op de diagonaal van Cov[x].
      
      wanneer e_p de onzekerheid van x_pis ; Diag[Cov[x]]_p is p-th element op de diagonaal van Cov[x].
   5. Voer Covariance.py uit om de covariantiematrix van xte berekenen. Het resultaat wordt opgeslagen in Covariantance.npz vanwege de grootte. Deze stap duurt tientallen seconden tot minuten, afhankelijk van de grootte van W.
      $ python Covariance.py
2. Converteer e_p naar de opgehaalde 2D-kaart volgens de toewijzingsregel van HEALPix.
   1. Voer PlotCovariance.py uit om Cov[x] te visualiseren en breng de onzekerheid e_p inkaart op de opgehaalde kaart. Er worden twee cijfers Covariantie.png en Onzekerheid.png gemaakt (Supplemental figuur 10-11).
      $ python PlotCovariance.py

Representative Results

We gebruiken multigolflengte single-point lichtcurven van de aarde om het protocol aan te tonen en vergelijken de resultaten met de grondwaarheid om de kwaliteit van oppervlaktemapping te evalueren. Observatie die hier wordt gebruikt wordt verkregen door DSCOVR/EPIC, een satelliet gelegen in de buurt van het eerste Lagrangian punt (L1) tussen aarde en zon het nemen van beelden op tien golflengten van de zonovergoten gezicht van de aarde. Voor deze demonstratie worden twee jaar (2016 en 2017) van waarnemingen gebruikt, die hetzelfde zijn als die in Jiang et al. (2018)¹² en Fan et al. (2019)¹³, waar meer details over de waarnemingen worden gepresenteerd. Een monsterwaarneming om 9:27 GMT, 2017 8 februari 2017 is weergegeven in figuur 1. Beelden van de Aarde zijn geïntegreerd in enkele punten om lichtcurve waarnemingen verkregen door Aliens, verre waarnemers, die niet ruimtelijk kon oplossen aarde beter dan een pixel te simuleren. Daarom worden multigolflengte exoplaneetlichtcurven met ~10.000 tijdstappen gegenereerd, wat de invoergegevens van dit protocol zijn.

Na stap 3 vinden we twee dominante pc's in de meergolflengte lichtcurven, en de tweede PC (PC2) bevat oppervlakte-informatie. Afgeleid als stap 3.5, tijdreeks van PC2 toont meer regelmatige morfologie met een ongeveer constante dagelijkse variatie, en zijn machtsspectrum toont sterkere dagcyclus dan eerste PC (PC1, Figuur 2). Daarom is een oppervlaktekaart van deze proxy exoplaneet gebouwd na stap 4 (Figuur 3a), die bestaat uit de waarde van PC2 op elke pixel. Vergeleken met de grond waarheid van de aarde (Figuur 3b), de gereconstrueerde kaart herstelt alle grote continenten, ondanks enkele meningsverschillen in het zuidelijk halfrond waar wolken gedeeltelijk voorkomen dat oppervlakte-informatie wordt waargenomen. Onzekerheid van elke pixelwaarde verkregen volgens stap 5 (Figuur 3c) is op de orde van 10% van die in de opgehaalde kaart, wat wijst op een goede kwaliteit van de oppervlakte mapping en een positief resultaat.

Figuur 1: Reflectantiebeelden van het zonovergoten halfrond van de aarde.
De waarnemingen worden genomen door DSCOVR/EPIC op tien golflengten en om 9:27 GMT, 2017 8 februari. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Figuur 2: Tijdreeksen en powerspectra van de twee dominante pc's.
(a) Time series van PC1. De zwarte lijnen worden echter niet bepaald door de teksten in de kleuren . b) Power spectrum van pc1's tijdreeksen. Jaarlijkse, halfjaarlijkse, dag- en halfdagscycli worden aangeduid als zwarte stippellijn. c) end) identiek zijn aan ondera) enb), maar overeenkomen met PC2. Dit cijfer is afkomstig van Fan et al. (2019)¹³. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Figuur 3: Reconstructie van het aardoppervlak.
(a) Oppervlaktekaart van de Aarde, die dienst doet als proxy exoplaneet, gereconstrueerd uit multigolflengte lichtcurven. Kleuren in de kaart zijn de waarden van PC2 bij elke pixel. De weergegevens in de mediaan worden aangeduid als de zwarte lijn. b) Grondwaarheid van de oppervlaktekaart van de aarde. c) Onzekerheid van de gereconstrueerde kaart in (a). Dit cijfer is gewijzigd van Fan et al. (2019)¹³. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Figuur 4: Resultaat van het vinden van de optimale regularisatieparameter.
De optimale waarde van de regularisatieparameter λ is 10^-3.153 (stippellijn) wanneer γ² van de reconstructie (vaste lijn) zijn minimum bereikt. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Figuur 5: Gevoeligheidstest van observatiegeluid.
a) Correlatiecoëfficiënt tussen PC2 en landfractie in het gezichtsveld (vaste lijn) afgeleid van waarnemingen met verschillende signaal-ruisverhoudingen (S/Ns). De oorspronkelijke correlatie van lichtcurven zonder ruis wordt weergegeven als de stippellijn. b) Het belang van elke pc op de landfractie die met verschillende observatieS/Ns wordt afgeleid. Het belang wordt berekend met behulp van Gradient Boosted Regression Trees (GBRT) modellen zoals beschreven in Fan et al. (2019)¹³. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Aanvullende figuur 1: Tijdreeks van reflectantie van de aarde op tien golflengten. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 2: a) Tijdreeksen van breedtegraad van het subwaarnemerspunt. b) hetzelfde als a), maar voor de lengte. c) en d) zijn identiek aan a) en b), maar komen overeen met het sub stellaire punt. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 3: Tijdreeksen van genormaliseerde reflectantie van de aarde op tien golflengten. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 4: Tijdreeks van de tien pc's, kolommen van U. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 5: Enkelvoud waarden die overeenkomen met elke pc, diagonale elementen van Σ. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 6: Genormaliseerde reflectantiespectra van tien pc's, kolommen van V. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 7: Power density spectra van tijdreeksen van tien pc's. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 8: Pixelization van het ophalen van kaart, gevuld met willekeurige pixelwaarden. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 9: Gereconstrueerde kaart van de aarde met behulp van verschillende regularisatieparameters van (a) 10^-2, b) 10^-3en c) 10^-4. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 10: Covariantiematrix van x. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Aanvullende figuur 11: Vierkantswortel van de diagonale elementen van de covariantiematrix van x, toegewezen op de opgehaalde oppervlaktekaart. Klik hier om dit cijfer te downloaden.

Video S1: Pixelgewichten voor waarnemingen op elk tijdsbestek in 2016 en 2017.

Aanvullende bestanden. Klik hier om deze bestanden te downloaden.

Discussion

Een kritische eis van het protocol is de haalbaarheid van het extraheren van oppervlakte-informatie uit lichtcurven, die afhankelijk is van de clouddekking. In stap 3.5.1 kunnen de relatieve waarden van de pc's verschillen tussen exoplaneten. In het geval van de aarde domineren de eerste twee pc's de lichtcurvevariaties en komen ze overeen met oppervlakteonafhankelijke wolken en oppervlakte (Fan et al. 2019)¹³. Ze hebben vergelijkbare enkelvoudswaarden, zodat de oppervlakte-informatie kan worden gescheiden na de stappen 3.5.2 en 3.5.3. Voor een toekomstige observatie van exoplaneet, in extreme gevallen van een volledig troebele of een wolkenvrije exoplaneet, zou slechts één dominante pc in stap 3.3 in de SVD verschijnen. Spectrale analyse is in dit geval noodzakelijk om de betekenis van deze PC te interpreteren, omdat de samenstellingen van wolken en oppervlakte verschillend zijn. Als de dominante PC overeenkomt met het oppervlak, kunnen stap 4 en 5 nog steeds worden gevolgd; als het overeenkomt met wolken, kan worden getrokken dat oppervlakte-informatie wordt geblokkeerd door wolken en daarom niet kan worden geëxtraheerd met behulp van lichte bochten op bepaalde golflengten. In dit geval is oppervlaktemapping niet haalbaar. Een derde of zelfs vierde vergelijkbare dominante pc kan ook bestaan, die kan overeenkomen met een andere laag wolken of grootschalige hydrologische processen, en zou de volgende stappen van de methode niet ongeldig maken zolang de oppervlakte-informatie wordt geëxtraheerd.

Deratie als gevolg van de convolutie van geometrie en spectrum is de dominante factor die de kwaliteit van de opgehaalde kaart beperkt, zoals besproken in Cowan & Strait (2013)¹⁴ en Fujii et al. (2017)¹⁵. Aangezien de tijdreeks van dominante pc's slechts een klein deel van het pc-vlak beslaat, is er altijd een afweging tussen ruimtelijke en spectrale variaties. Met andere woorden, de opgehaalde kaart (Figuur 2a) kon niet veel worden verbeterd, zelfs met een oneindig aantal tijdstappen en perfecte waarnemingen, zolang het gebruik van lichtcurven op dezelfde golflengten. We introduceren de regularisatie om de degeneratie gedeeltelijk te verlichten. De optimale waarde van de regularisatieterm λ in stap 4.4 wordt bepaald aan de hand van waarnemingen gesynthetiseerd door de grondwaarheid, waarbij de waargenomen u_j wordt vervangen door gewogen en geschaalde landfracties in het gezichtsveld (FOV). Om de synthetische observatie te genereren, gebruiken we de vergelijking bij stap 4.3 en vervangen x door de grond waarheid land fracties van elke pixel, y. y wordt geschaald naar hetzelfde bereik met x met behulp van de sterke lineaire correlatie tussen PC2 van observatie, u₂, en de gemiddelde FOV landfractie¹³. Door de degeneratie kan y niet perfect worden hersteld van de lineaire regressie in stap 4.4, dus bepalen we de optimale waarde van λ door het minimum van γ², kwadraat restgeschaald door de variantie van elke pixel te vinden. Dit laatste wordt geschat op de absolute waarde van elke pixel. Dit is vergelijkbaar met het L-curve criterium in Kawahara & Fujii (2011)¹⁶. In het specifieke geval van dit document waar T=9739 en P=3072, de optimale waarde van λ 10^-3.153 (figuur 4) is.

Observatiegeluid, een andere factor die de kaartkwaliteit beïnvloedt, kan de SVD-analyse van lichtcurven in de praktijk beschadigen. We testen de robuustheid van het protocol door verschillende niveaus van observatiegeluid in te voeren op de oorspronkelijke lichtcurven. Er wordt aangenomen dat ze alle geluidsbronnen bevatten (bijvoorbeeld hemelachtergrond, donkere stroom en uitlezingsgeluid), en volgen gaussian distributie. In de oorspronkelijke lichtcurven zonder ruis toont PC2 een sterke (r²=0,91) lineaire correlatie met de FOV landfractie^13,zodat de tijdreeks wordt gebruikt voor de oppervlaktemapping. Bij toenemende geluidshoogte wordt de correlatie tussen PC2 en het oppervlak zwakker(figuur 5). De correlatiecoëfficiënt, r², wordt lager dan 0,5 wanneer de signaal-ruisverhouding (S/N) minder dan 10 is (figuur 5a), hoewel het belang van PC2 nog steeds dominant is (figuur 5b). Wij stellen een minimum S/N van 30 voor om het protocol met vertrouwen toe te passen bij toekomstige generalisatie. Het is vermeldenswaard dat S / N hier is de verhouding van exoplaneet signaal aan de observatie ruis, met het signaal van de moederster wordt verwijderd.

Bij stap 4.2 wordt aangenomen dat de weergavegeometrie bekend is, omdat het nauwkeurig afleiden van de weergavegeometrie van exoplaneetwaarnemingen buiten het bereik van dit werk valt. Naast de orbitale elementen die kunnen worden afgeleid van lichtcurve waarnemingen, en rotatie periode van vermogensdichtheid spectra (Figuur 2b en 2d), zijn er slechts twee hoeveelheden, zomer / winter zonnewende en obliquity, die nodig zijn voor oppervlakte mapping. Zomer/winterzonnewende valt meestal samen met extremum van tijdreeksen van de oppervlakte overeenkomstige PC, zolang er merkbare asymmetrie tussen noordelijke en zuidelijke hemisfeer bestaat. Obliquity van de exoplaneet kan worden afgeleid uit zijn invloed op de amplitude en frequentie van lichtcurven^17,18. Al deze afleidingen vereisen waarnemingen bemonstering frequentie ten minste hoger dan die van planetaire rotatie, die momenteel zelden wordt voldaan voor exoplaneten.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Python 3.7 with anaconda and healpy packages			Other programming environments (e.g., IDL or MATLAB) also work.