Summary
提出了一种用光学杠杆原理测量弹性板上的Chladni模式形状的简单方法。
Abstract
定量确定弹性板的 Chladni 模式在物理科学和工程应用中都有着浓厚的兴趣。本文提出了一种基于光学杠杆法的振动板模式形状测量方法。在不同的中心谐波起动下,在测量中采用了三个圆形丙烯酸板。与传统方法不同,这种新方法只采用了普通激光笔和由地面玻璃制成光屏。方法如下:激光笔将光束垂直投影到振动板,然后将光束反射到远处的光屏上,形成由反射点组成的线段。由于视觉持久性的原则,光斑可以读为一条明亮的直线。通过代数操作可以获得模式形状的斜率、光斑的长度与振动板的距离和光屏之间的关系。然后,通过将坡度分布与合适的边界条件集成,可以确定模式形状。Chladni 板的全场模式形状也可以以如此简单的方式进一步确定。
Introduction
Chladni 模式形状在科学和工程应用中都非常感兴趣。Chladni模式是物理波的反应,人们可以通过各种方法来说明波模式。通过勾勒出节点线,显示弹性板上的各种振动模式是众所周知的方法。小粒子总是被用来显示克拉德尼模式,因为它们可以停止在节点,其中板的相对振动振幅为零,节点的位置随振振模式变化,形成各种 Chladni 模式。
许多研究人员已经关注了各种Chladni图案,但它们只显示模式形状的节点线,节点线之间的模式形状(即振动振幅)没有说明。沃勒调查了圆1、正方形2、直角三角形3、矩形4、椭圆5板的自由振动,并说明了不同的克拉德尼图案。Tuan等人通过实验和理论方法重建了不同的克拉德尼模式,在理论建模6、7中采用了不均匀的赫尔姆霍尔茨方程。这是一种流行的方法,使用激光多普勒振动计(LDV)或电子斑点模式干涉测量(ESPI)定量测量克拉德尼模式8,9,10的模式形状。虽然LDV实现了飞速计振幅分辨率和非常高的频率范围,但不幸的是,LDV的价格对于课堂演示和/或大学物理教育来说也有点贵。考虑到这一考虑,本文提出了一种简单的方法,以低成本定量确定 Chladni 图案的模式形状,因为这里只需要一支额外的激光笔和一个光屏。
本测量方法如图11所示。振动板有三个不同的位置:休息位置、位置 1 和位置 2。位置 1 和位置 2 表示板的两个最大振动位置。激光笔在板表面投影直光束,如果板位于休息位置,激光束将直接反射到光屏。当板位于位置 1 和 2 时,激光束将分别反射到光屏幕上的 A 点和 B 点。由于视觉的持久性的影响,光屏上会有一条明亮的直线。亮光L的长度与光屏与激光点位置之间的距离D相关。板上的不同点具有不同的斜点,这可以通过L和D之间的关系来决定。在获得板上不同点模式形状的斜率后,问题变为一个确定的整体。借助板的边界振动振幅和离散斜率数据,可以方便地获得振动板的模式形状。整个实验设置在图211中给出。
本文介绍了光学杠杆方法测量克拉德尼模式形状的实验设置和程序。还说明了一些典型的实验结果。
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Protocol
1. 实验设置和程序
注:设置实验系统,如图 2所示。
- 振动系统的准备
- 准备三个直径为 150 mm、200 mm 和 250 mm 的 1.0 毫米厚镜面圆形丙烯酸板。在每个板的中心钻一个直径为 3 mm 的孔。沿任意半径每 5 mm 标记几个黑点。
- 将每个板连接到振动器的驱动杆上,中间点有一个螺栓。使用波形发生器使用正弦波驱动振动器,默认设置将足以进行共振实验。
注:振动器的激发方向是水平的,便于随后移动屏幕。 - 获得谐振频率
- 将激光笔将激光束垂直投射到振动板上,使激光束反射到远处的光屏。激光笔与板和光屏之间的距离分别是 120 mm 和 500 mm。
注:光屏与振动板之间的距离越远,现象越明显。还注意到,本方法可用于测量轴对称或非轴对称模式形状。由于考虑简单和方便,本手稿只演示了在确定三个圆形板的轴对称模式形状的应用。然后,我们只需要测量沿任何径向方向的振动振幅,以重建板的二维模式形状。 - 在信号发生器连续更改其频率时,沿垂直于其长度方向的方向移动激光笔,使点值点扫描到直径。在一定频率范围内扫描时,快速完成,直到点长度沿直径显著拉伸,并且出现一些几乎没有扩展的点。对于直径为 150 mm、200 mm 和 250 mm 的板,扫描的频率范围分别是 200-400 Hz、100-300 Hz 和 50-250 Hz。
- 缓慢扫描此特定频率范围,并找出点扩展最明显的频率。发现直径为150毫米、200毫米和250毫米的板,谐振频率分别是346赫兹、214赫兹和150赫兹。
- 将激光笔将激光束垂直投射到振动板上,使激光束反射到远处的光屏。激光笔与板和光屏之间的距离分别是 120 mm 和 500 mm。
- 光路和测量系统的准备
- 将光屏与振动板平行放置。使用仪表标尺标记距离,并使用 500 mm 作为起始距离。
- 将激光笔垂直投射到板上,使光束反射到远处的光屏。确保激光笔移动时可以扫描之前制作的标记。
注:激光束束必须垂直投射在板上。
- 实验测量
- 打开信号发生器,将激励频率设置为与步骤 1.1.3.3 中获得的谐振频率相同。一旦光屏上的光斑足够大,可以记录,信号强度应尽可能小。
- 调整激光笔,使入点与第一个标记重合,该标记是指向板固定点最近的标记。
- 将屏幕从 500 mm 的距离 D 移动到 1000 mm,并每50 mm 测量一次屏幕上的点长度L。以表格形式记录数据。
- 调整激光笔,使事件点与下一个标记相邻,并重复步骤 1.3.3,直到测量所有标记。
注:由于丙烯酸板在激发下容易塑性变形,因此一个板的实验测量过程不能长时间暂停。 - 将前一盘替换为下一个板,然后重复步骤 1.3.1 到 1.3.4。
2. 数据处理
- 确定事件 和反射 光之间的角度 = 与关系:
其中D是振动板的休息位置与光屏之间的距离,w是板的振动振幅,L是光屏上光斑的长度。在步骤 1.3.3 中获得几对D和 L。 - 确定模式 形状的斜率:
注:获得的斜率始终为正数。(1) 和 (2)。 - 使用两个零点之间的减号获取真正的斜率分布。
注意:修订是从第一个零点开始还是从第二个零点开始并不重要。 - 集成每个板的斜率分布,并确定节点的积分常量,以获得模式形状:
注:节点对应于模式形状的最大斜率。是一个常量,由图 2 所示的 Chladni 图案的节点 线的位置确定。 - 计算坡度12 的不确定性,包括 :
注: t0.95(n = 2) 是 t 分布因子,置信度和自由度n-2,此处约为 2。Sr是线性回归的标准误差,D 和 L,U m表示测量距离Di 的不确定性,此处为 0.5 mm。平均测量距离由 定义 ,n表示测量 D i 的总数。
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Representative Results
可以通过频率扫除测试确定能够激发轴对称 Chladni 模式的激发频率。测试了三个直径为150毫米、200毫米和250毫米的圆形丙烯酸板,结果表明,三个板的一阶轴对称共振频率分别是346赫兹、214赫兹和150赫兹。结论是,直径较大,板更灵活,对应的谐振频率更小。图311中提供了不同直径的丙烯酸板的克拉德尼图案。
在相应的振振频率下,可以测量和记录不同板光屏上的光斑长度。模式形状斜率的回归值可以使用Eq.(1)获得,Eq.(1)在表11中给出沿板 A、B 和 C 径向方向的分布,通过测量不同距离 D 的特定激光点的几个不同光点长度L 来确定。
对ANSYS进行数值模拟,验证目前的实验结果。APDL(ANSYS参数设计语言)的脚本代码作为补充 文件1提供。 图411 显示了目前实验结果和不同板模形的数值结果的比较。很明显,所有不同条件的结果都比较得很好,这证明了目前方法在测量板材模式形状方面的可行性。
图1:本测量方法的图解。
图中说明了基本测量主体,重点介绍了射点和反射光束以及不同几何参数的关系。 请单击此处查看此图的较大版本。
图2:实验设置。
实验设置图为清晰理解和轻松复制测量方法提供了图。 请单击此处查看此图的较大版本。
图3:不同丙烯酸板的克拉德尼图案:(a) 150毫米,(b) 200毫米,(c) 250毫米。
分别给出三个不同丙烯酸圆板的克拉德尼图案。棕色颗粒是沙子,清楚地显示了克拉德尼图案的节点线。 请单击此处查看此图的较大版本。
图4:不同板模式形状的实验结果和数值模拟比较:(a) 150 mm,(b) 200 mm,(c) 250 mm。
比较了ANSYS获得的数值结果和目前的实验结果,验证了目前实验方法的可靠性。 请单击此处查看此图的较大版本。
板 A (直径=150 毫米) |
板 B (直径=200毫米) |
板 C (直径=250 毫米) |
||||||
r/毫米 | 直接计算的斜率 | 修订斜率 | r/毫米 | 直接计算的斜率 | 修订斜率 | r/毫米 | 直接计算的斜率 | 修订斜率 |
5 | 0.001913 | 0.001913 | 7 | 0.002668 | 0.002668 | 7 | 0.0013 | 0.0013 |
10 | 0.001478 | 0.001478 | 12 | 0.00269 | 0.00269 | 12 | 0.001613 | 0.001613 |
15 | 0.00144 | 0.00144 | 17 | 0.002785 | 0.02785 | 17 | 0.002055 | 0.002055 |
20 | 0.001088 | 0.001088 | 22 | 0.00269 | 0.00269 | 22 | 0.002283 | 0.002283 |
25 | 0.00061 | 0.00061 | 28 | 0.002543 | 0.002543 | 27 | 0.002618 | 0.002618 |
30 | 0.000388 | 0.000388 | 38 | 0.001858 | 0.001858 | 32 | 0.00256 | 0.00256 |
35 | 0.000883 | -0.000883 | 48 | 0.000748 | 0.000748 | 37 | 0.00209 | 0.00209 |
40 | 0.001733 | -0.001733 | 58 | 0.000668 | 0.000668 | 42 | 0.002128 | 0.002128 |
45 | 0.002478 | -0.002478 | 68 | 0.00082 | -0.00082 | 47 | 0.001723 | 0.001723 |
50 | 0.003433 | -0.003433 | 72 | 0.001583 | -0.001583 | 52 | 0.001568 | 0.001568 |
55 | 0.00389 | -0.00389 | 77 | 0.00241 | -0.00241 | 57 | 0.001 | 0.001 |
60 | 0.002705 | -0.002705 | 82 | 0.002813 | -0.002813 | 62 | 0.004175 | 0.004175 |
65 | 0.002283 | -0.002283 | 87 | 0.0026 | -0.0026 | 67 | 0.001175 | 0.001175 |
70 | 0.002223 | -0.002223 | 97 | 0.002264 | -0.002264 | 72 | 0.002825 | -0.002825 |
77 | 0.000873 | -0.000873 | ||||||
82 | 0.001205 | -0.001205 | ||||||
87 | 0.001538 | -0.001538 | ||||||
92 | 0.00176 | -0.00176 | ||||||
97 | 0.001983 | -0.001983 | ||||||
102 | 0.002278 | -0.002278 | ||||||
107 | 0.002745 | -0.002745 | ||||||
112 | 0.00269 | -0.00269 | ||||||
117 | 0.002783 | -0.002783 | ||||||
122 | 0.002218 | -0.002218 |
表1:沿径向方向模式形状的坡度分布。 提供了沿径向方向的模态的计算斜率分布,并给出原始斜率和修正斜率,以说明修正过程。
补充文件 1: 用于模拟板的动态响应和模式形状的ANSYS脚本。 请点击这里下载此文件。
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Discussion
本文采用光学杠杆法确定板的模位,因为克拉德尼图案只能显示振动板的节点线。要确定板材的模位形状,应提前获得光屏的斜率和距离与点长度之间的关系。然后通过明确的集成计算,可以定量确定克拉德尼模式的模式形状。
通常,本方法的整个过程包括以下步骤:(1) 执行强制振动测试以获得板的谐振频率。(2) 在谐振频率附近进行强制振动测试,记录 Chladni 模式节点的坐标。这些数据用于校准实验测试获得的绝对模式形状。(3) 激光点垂直投影到板的不同径向位置,并测量光屏上光斑的长度。此测试需要重复多次,振动板和光屏之间的距离不同,以获得使用 Eq. (2) 的模式形状斜率的线性回归值。(4)通过后期处理原始实验数据,获得具有Eq.(4)的Chladni模式的实验模式形状。
应当指出,虽然目前的实验演示只显示了轴对称克拉德尼模式的测量,但也可用于以向前的方式确定非轴对称克拉德尼模式。不仅圆形板,但其他形状,如三角形,矩形,甚至不规则的形状可用于显示克拉德尼图案的美丽。此外,如果仔细选择测量点密度、激光源、测量工具以及积分计算方法,则该方法的精度可以适应要求的水平。
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Disclosures
作者没有什么可透露的。
Acknowledgments
这项工作得到了国家自然科学基金(第11772045号)和北京科技大学教育教学改革项目(第11772045号)的支持(JG2017M58)。
Materials
Name | Company | Catalog Number | Comments |
Acrylic plates | Dongguan Jinzhu Lens Products Factory | Three 1.0-mm-thickness mirrored circular acrylic plates with diameter of 150 mm, 200 mm and 250 mm respectively. They are easily deformed. | |
Laser pen | Deli Group | 2802 | Red laser is more friendly to the viewer. The finer the laser beam, the better. |
Light screen | Northern Tempered Glass Custom Taobao Store | Several layers of frosted stickers can be placed on the glass to achieve the effect of frosted glass. | |
Ruler | Deli Group | DL8015 | The length is 1m and the division value is 1mm. |
Signal generator | Dayang Science Education Taobao Store | TFG6920A | Common ones in university laboratories are available. |
Vibrator | Dayang Science Education Taobao Store | The maximum amplitude is 1.5cm.The power is large enough to cause a noticeable phenomenon when the board vibrates. Otherwise, add a power amplifier. |
References
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