使用光学杠杆方法测量克拉德尼模式形状

Summary

提出了一种用光学杠杆原理测量弹性板上的Chladni模式形状的简单方法。

Abstract

定量确定弹性板的 Chladni 模式在物理科学和工程应用中都有着浓厚的兴趣。本文提出了一种基于光学杠杆法的振动板模式形状测量方法。在不同的中心谐波起动下，在测量中采用了三个圆形丙烯酸板。与传统方法不同，这种新方法只采用了普通激光笔和由地面玻璃制成光屏。方法如下：激光笔将光束垂直投影到振动板，然后将光束反射到远处的光屏上，形成由反射点组成的线段。由于视觉持久性的原则，光斑可以读为一条明亮的直线。通过代数操作可以获得模式形状的斜率、光斑的长度与振动板的距离和光屏之间的关系。然后，通过将坡度分布与合适的边界条件集成，可以确定模式形状。Chladni 板的全场模式形状也可以以如此简单的方式进一步确定。

Introduction

Chladni 模式形状在科学和工程应用中都非常感兴趣。Chladni模式是物理波的反应，人们可以通过各种方法来说明波模式。通过勾勒出节点线，显示弹性板上的各种振动模式是众所周知的方法。小粒子总是被用来显示克拉德尼模式，因为它们可以停止在节点，其中板的相对振动振幅为零，节点的位置随振振模式变化，形成各种 Chladni 模式。

许多研究人员已经关注了各种Chladni图案，但它们只显示模式形状的节点线，节点线之间的模式形状（即振动振幅）没有说明。沃勒调查了圆^{1、正方形2、}直角三角形^3、矩形^4、椭圆⁵板的自由振动，并说明了不同的克拉德尼图案。Tuan等人通过实验和理论方法重建了不同的克拉德尼模式，在理论建模^6、7中采用了不均匀的赫尔姆^{霍尔茨方程}。这是一种流行的方法，使用激光多普勒振动计（LDV）或电子斑点模式干涉测量（ESPI）定量测量克拉德尼模式^{8，9，10的模式形状}。虽然LDV实现了飞速计振幅分辨率和非常高的频率范围，但不幸的是，LDV的价格对于课堂演示和/或大学物理教育来说也有点贵。考虑到这一考虑，本文提出了一种简单的方法，以低成本定量确定 Chladni 图案的模式形状，因为这里只需要一支额外的激光笔和一个光屏。

本测量方法如图11所示。振动板有三个不同的位置：休息位置、位置 1 和位置 2。位置 1 和位置 2 表示板的两个最大振动位置。激光笔在板表面投影直光束，如果板位于休息位置，激光束将直接反射到光屏。当板位于位置 1 和 2 时，激光束将分别反射到光屏幕上的 A 点和 B 点。由于视觉的持久性的影响，光屏上会有一条明亮的直线。亮光L的长度与光屏与激光点位置之间的距离D相关。板上的不同点具有不同的斜点，这可以通过L和D之间的关系来决定。在获得板上不同点模式形状的斜率后，问题变为一个确定的整体。借助板的边界振动振幅和离散斜率数据，可以方便地获得振动板的模式形状。整个实验设置在图211^中给出。

本文介绍了光学杠杆方法测量克拉德尼模式形状的实验设置和程序。还说明了一些典型的实验结果。

Protocol

1. 实验设置和程序

注：设置实验系统，如图 2所示。

1. 振动系统的准备
   1. 准备三个直径为 150 mm、200 mm 和 250 mm 的 1.0 毫米厚镜面圆形丙烯酸板。在每个板的中心钻一个直径为 3 mm 的孔。沿任意半径每 5 mm 标记几个黑点。
   2. 将每个板连接到振动器的驱动杆上，中间点有一个螺栓。使用波形发生器使用正弦波驱动振动器，默认设置将足以进行共振实验。
      注：振动器的激发方向是水平的，便于随后移动屏幕。
   3. 获得谐振频率
      1. 将激光笔将激光束垂直投射到振动板上，使激光束反射到远处的光屏。激光笔与板和光屏之间的距离分别是 120 mm 和 500 mm。
         注：光屏与振动板之间的距离越远，现象越明显。还注意到，本方法可用于测量轴对称或非轴对称模式形状。由于考虑简单和方便，本手稿只演示了在确定三个圆形板的轴对称模式形状的应用。然后，我们只需要测量沿任何径向方向的振动振幅，以重建板的二维模式形状。
      2. 在信号发生器连续更改其频率时，沿垂直于其长度方向的方向移动激光笔，使点值点扫描到直径。在一定频率范围内扫描时，快速完成，直到点长度沿直径显著拉伸，并且出现一些几乎没有扩展的点。对于直径为 150 mm、200 mm 和 250 mm 的板，扫描的频率范围分别是 200-400 Hz、100-300 Hz 和 50-250 Hz。
      3. 缓慢扫描此特定频率范围，并找出点扩展最明显的频率。发现直径为150毫米、200毫米和250毫米的板，谐振频率分别是346赫兹、214赫兹和150赫兹。
2. 光路和测量系统的准备
   1. 将光屏与振动板平行放置。使用仪表标尺标记距离，并使用 500 mm 作为起始距离。
   2. 将激光笔垂直投射到板上，使光束反射到远处的光屏。确保激光笔移动时可以扫描之前制作的标记。
      注：激光束束必须垂直投射在板上。
3. 实验测量
   1. 打开信号发生器，将激励频率设置为与步骤 1.1.3.3 中获得的谐振频率相同。一旦光屏上的光斑足够大，可以记录，信号强度应尽可能小。
   2. 调整激光笔，使入点与第一个标记重合，该标记是指向板固定点最近的标记。
   3. 将屏幕从 500 mm 的距离 D 移动到 1000 mm，并每50 mm 测量一次屏幕上的点长度L。以表格形式记录数据。
   4. 调整激光笔，使事件点与下一个标记相邻，并重复步骤 1.3.3，直到测量所有标记。
      注：由于丙烯酸板在激发下容易塑性变形，因此一个板的实验测量过程不能长时间暂停。
   5. 将前一盘替换为下一个板，然后重复步骤 1.3.1 到 1.3.4。

2. 数据处理

1. 确定事件 和反射 光之间的角度 = 与关系：
   
   其中D是振动板的休息位置与光屏之间的距离，w是板的振动振幅，L是光屏上光斑的长度。在步骤 1.3.3 中获得几对D和 L。
2. 确定模式 形状的斜率：
   
   注：获得的斜率始终为正数。（1） 和 （2）。
3. 使用两个零点之间的减号获取真正的斜率分布。
   注意：修订是从第一个零点开始还是从第二个零点开始并不重要。
4. 集成每个板的斜率分布，并确定节点的积分常量，以获得模式形状：
   
   注：节点对应于模式形状的最大斜率。是一个常量，由图 2 所示的 Chladni 图案的节点 线的位置确定。
5. 计算坡度^{12 的不确定性，包括} ：
   
   注： t_0.95（n = 2） 是 t 分布因子，置信度和自由度n-2，此处约为 2。S_r是线性回归的标准误差，D 和 L，U _m表示测量距离D_{i 的不确定性}，此处为 0.5 mm。平均测量距离由 定义 ，n表示测量 D i 的_总数。

Representative Results

可以通过频率扫除测试确定能够激发轴对称 Chladni 模式的激发频率。测试了三个直径为150毫米、200毫米和250毫米的圆形丙烯酸板，结果表明，三个板的一阶轴对称共振频率分别是346赫兹、214赫兹和150赫兹。结论是，直径较大，板更灵活，对应的谐振频率更小。图3¹¹中提供了不同直径的丙烯酸板的克拉德尼图案。

在相应的振振频率下，可以测量和记录不同板光屏上的光斑长度。模式形状斜率的回归值可以使用Eq.（1）获得，Eq.（1）在表11中给出沿板 A、B 和 C 径向方向^的分布，通过测量不同距离 D 的特定激光点的几个不同光点长度L 来确定。

对ANSYS进行数值模拟，验证目前的实验结果。APDL（ANSYS参数设计语言）的脚本代码作为补充 文件1提供。 图4¹¹ 显示了目前实验结果和不同板模形的数值结果的比较。很明显，所有不同条件的结果都比较得很好，这证明了目前方法在测量板材模式形状方面的可行性。

图1：本测量方法的图解。
图中说明了基本测量主体，重点介绍了射点和反射光束以及不同几何参数的关系。 请单击此处查看此图的较大版本。

图2：实验设置。
实验设置图为清晰理解和轻松复制测量方法提供了图。 请单击此处查看此图的较大版本。

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图3：不同丙烯酸板的克拉德尼图案：（a） 150毫米，（b） 200毫米，（c） 250毫米。
分别给出三个不同丙烯酸圆板的克拉德尼图案。棕色颗粒是沙子，清楚地显示了克拉德尼图案的节点线。 请单击此处查看此图的较大版本。

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图4：不同板模式形状的实验结果和数值模拟比较：（a） 150 mm，（b） 200 mm，（c） 250 mm。
比较了ANSYS获得的数值结果和目前的实验结果，验证了目前实验方法的可靠性。 请单击此处查看此图的较大版本。

板 A （直径=150 毫米）			板 B （直径=200毫米）			板 C （直径=250 毫米）
r/毫米	直接计算的斜率	修订斜率	r/毫米	直接计算的斜率	修订斜率	r/毫米	直接计算的斜率	修订斜率
5	0.001913	0.001913	7	0.002668	0.002668	7	0.0013	0.0013
10	0.001478	0.001478	12	0.00269	0.00269	12	0.001613	0.001613
15	0.00144	0.00144	17	0.002785	0.02785	17	0.002055	0.002055
20	0.001088	0.001088	22	0.00269	0.00269	22	0.002283	0.002283
25	0.00061	0.00061	28	0.002543	0.002543	27	0.002618	0.002618
30	0.000388	0.000388	38	0.001858	0.001858	32	0.00256	0.00256
35	0.000883	-0.000883	48	0.000748	0.000748	37	0.00209	0.00209
40	0.001733	-0.001733	58	0.000668	0.000668	42	0.002128	0.002128
45	0.002478	-0.002478	68	0.00082	-0.00082	47	0.001723	0.001723
50	0.003433	-0.003433	72	0.001583	-0.001583	52	0.001568	0.001568
55	0.00389	-0.00389	77	0.00241	-0.00241	57	0.001	0.001
60	0.002705	-0.002705	82	0.002813	-0.002813	62	0.004175	0.004175
65	0.002283	-0.002283	87	0.0026	-0.0026	67	0.001175	0.001175
70	0.002223	-0.002223	97	0.002264	-0.002264	72	0.002825	-0.002825
						77	0.000873	-0.000873
						82	0.001205	-0.001205
						87	0.001538	-0.001538
						92	0.00176	-0.00176
						97	0.001983	-0.001983
						102	0.002278	-0.002278
						107	0.002745	-0.002745
						112	0.00269	-0.00269
						117	0.002783	-0.002783
						122	0.002218	-0.002218

表1：沿径向方向模式形状的坡度分布。 提供了沿径向方向的模态的计算斜率分布，并给出原始斜率和修正斜率，以说明修正过程。

补充文件 1： 用于模拟板的动态响应和模式形状的ANSYS脚本。 请点击这里下载此文件。

Discussion

本文采用光学杠杆法确定板的模位，因为克拉德尼图案只能显示振动板的节点线。要确定板材的模位形状，应提前获得光屏的斜率和距离与点长度之间的关系。然后通过明确的集成计算，可以定量确定克拉德尼模式的模式形状。

通常，本方法的整个过程包括以下步骤：（1） 执行强制振动测试以获得板的谐振频率。（2） 在谐振频率附近进行强制振动测试，记录 Chladni 模式节点的坐标。这些数据用于校准实验测试获得的绝对模式形状。（3） 激光点垂直投影到板的不同径向位置，并测量光屏上光斑的长度。此测试需要重复多次，振动板和光屏之间的距离不同，以获得使用 Eq. （2） 的模式形状斜率的线性回归值。（4）通过后期处理原始实验数据，获得具有Eq.（4）的Chladni模式的实验模式形状。

应当指出，虽然目前的实验演示只显示了轴对称克拉德尼模式的测量，但也可用于以向前的方式确定非轴对称克拉德尼模式。不仅圆形板，但其他形状，如三角形，矩形，甚至不规则的形状可用于显示克拉德尼图案的美丽。此外，如果仔细选择测量点密度、激光源、测量工具以及积分计算方法，则该方法的精度可以适应要求的水平。

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Acrylic plates	Dongguan Jinzhu Lens Products Factory		Three 1.0-mm-thickness mirrored circular acrylic plates with diameter of 150 mm, 200 mm and 250 mm respectively. They are easily deformed.
Laser pen	Deli Group	2802	Red laser is more friendly to the viewer. The finer the laser beam, the better.
Light screen	Northern Tempered Glass Custom Taobao Store		Several layers of frosted stickers can be placed on the glass to achieve the effect of frosted glass.
Ruler	Deli Group	DL8015	The length is 1m and the division value is 1mm.
Signal generator	Dayang Science Education Taobao Store	TFG6920A	Common ones in university laboratories are available.
Vibrator	Dayang Science Education Taobao Store		The maximum amplitude is 1.5cm.The power is large enough to cause a noticeable phenomenon when the board vibrates. Otherwise, add a power amplifier.