Name: velocity potential in pipe flow
Uploaded: 2025-02-13T15:43:25.000Z
Duration: 1 min 20 s
Channel: JoVE

ضع في اعتبارك تدفق المياه بثبات عبر أنبوب طويل مستقيم مع مقطع عرضي موحد.
في المناطق المركزية من الأنبوب ، حيث يكون التدفق غير دوراني ، يحدد جهد السرعة التدفق ، ويتم التعبير عن السرعة على أنها تدرج هذه الإمكانات.
يتحقق استبدال مكونات السرعة بشكل مباشر من أن التدفق يفي بحالة عدم الدوران هذه.
تنطبق إمكانات السرعة على التدفقات ثلاثية الأبعاد ، مثل تدفق الأنبوب هذا ، في حين أن وظيفة التيار خاصة بالتدفقات ثنائية الأبعاد ، الناتجة عن الحفاظ على الكتلة.
في التدفق غير القابل للانضغاط ، تتطلب معادلة الاستمرارية أن يكون تباعد متجه السرعة صفرا.
من خلال استبدال جهد السرعة ، يصبح هذا الشرط معادلة لابلاس ، وهي معادلة تفاضلية رئيسية تحكم التدفقات غير اللزجة وغير القابلة للانضغاط وغير الدورانية.
في الإحداثيات الأسطوانية ، تتكيف معادلة لابلاس مع الاختلافات الشعاعية والزاوية والمحورية. يحدد حل هذه المعادلة مع الظروف الحدودية عند جدران الأنابيب إمكانات السرعة للتدفق.
من هذا ، يتم تحديد مجال السرعة الكامل عن طريق أخذ المشتقات المكانية ، والكشف عن نمط التدفق داخل الأنبوب.

دالة جهد السرعة

Velocity Potential

<div style="direction:rtl">في التدفق الثابت غير قابل للانضغاط المار عبر أنبوب مستقيم طويل له مقطع عرضي موحد، يكون التدفق في المنطقة المركزية (بعيدًا عن جدران الأنبوب) غير دوراني. تعني هذه الطبيعة الغير دورانية أن جزيئات المائع لا تدور حول محاورها، ويمكن استخدام دالة قياسية تسمى دالة جهد السرعة، ممثلة بـ ϕ، لوصف حركتها. في التدفقات الغير دورانية، يتم تعريف مجال السرعة V على أنه تدرج جهد السرعة: <img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/18060/18060_Equation_1.svg" style="text-align: center; height: 12px;"> نظرًا لأن انحناء التدرج يساوي دائمًا صفرًا، فإن تحديد السرعة من حيث ϕ يضمن عدم وجود دوامات في التدفق، مما يجعله غير دوراني. بالنسبة للتدفقات الغير قابلة للانضغاط، تنص معادلة الاستمرارية على أن تباعد مجال السرعة يجب أن يكون صفرًا: <img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/18060/18060_Equation_2.svg" style="text-align: center; height: 9px;"> عند تعويض V في هذه المعادلة، تصبح المعادلة: <img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/18060/18060_Equation_3.svg" style="text-align: center; height: 13px;"> تُعرف هذه المعادلة بمعادلة لابلاس. في المناطق التي يكون فيها التدفق غير دوراني وغير قابل للانضغاط، يجب أن تتوافق دالة جهد السرعة ϕ مع معادلة لابلاس. في حالة التدفق بالأنابيب، تكون الإحداثيات الأسطوانية (r، θ، z) خيارًا مثاليا لوصف التدفق، حيث r هي المسافة القطرية من مركز الأنبوب، وθ هو الموضع الزاوي، وz هي المسافة المحورية على طول الأنبوب. يتم التعبير عن معادلة لابلاس في الإحداثيات الأسطوانية، مع مراعاة التغيرات القطرية والزاوية والمحورية، على النحو التالي: <img alt="Equation 4" src="/files/ftp_upload/18060/18060_Equation_4.svg" style="text-align: center; height: 30px;"> يتطلب إيجاد الصيغة الدقيقة لـ ϕ في الأنبوب شروطًا حدودية. على سبيل المثال، عند جدران الأنبوب، فإن شرط عدم الانزلاق يتطلب سرعة مماسية صفرية، بينما في المنطقة المركزية الغير دورانية، تتطلب دالة الجهد تناسق الأنبوب. يساعد حل معادلة لابلاس بهذه الشروط في استنباط دالة جهد السرعة عبر حقل التدفق. بمجرد تحديد ϕ، يمكن اشتقاق مركبات السرعة في الإحداثيات الأسطوانية عن طريق أخذ مشتقات جزئية لـ ϕ. هذه المكونات هي: السرعة القطرية: <img alt="Equation 5" src="/files/ftp_upload/18060/18060_Equation_5.svg" style="text-align: center; height: 30px;"> السرعة الزاوية <img alt="Equation 6" src="/files/ftp_upload/18060/18060_Equation_6.svg" style="text-align: center; height: 30px;"> السرعة المحورية <img alt="Equation 7" src="/files/ftp_upload/18060/18060_Equation_7.svg" style="text-align: center; height: 30px;"> تؤكد هذه التعبيرات لمركبات السرعة أن التدفق يلبي شرط عدم الدوران، حيث أنها تنبع من تدرج.</div>

ضع في اعتبارك تدفق المياه بثبات عبر أنبوب طويل مستقيم مع مقطع عرضي موحد.
في المناطق الوسطى من الأنبوب, حيث يكون التدفق غير دوراني, أ ...

Education

JoVE Core

Civil Engineering

الهندسة المدنية

Unit 1

الوحدة الأولى

Differential Analysis of Fluid Flow

التحليل التفاضلي لتدفق السوائل

KEY TERMS AND CONCEPTS

المصطلحات والمفاهيم الأساسية

velocity potential in pipe flow

Velocity potential in pipe flow describes the motion of fluid in the central region of a long, straight pipe with a uniform cross-section. In this region, the flow is steady, incompressible, and irrotational. Irrotational means the fluid particles do not spin around their own axes.

A scalar function called the velocity potential, written as φ, is used to describe this motion. The velocity field V is defined as the gradient of φ. Because the curl of a gradient is always zero, this form of V gives the flow no vorticity and keeps it irrotational.

For an incompressible fluid, the continuity equation requires the divergence of the velocity field to be zero. When V is written in terms of φ, this condition becomes Laplace's equation. In regions where the flow is both incompressible and irrotational, the velocity potential must satisfy this equation.

Pipe flow is often described with cylindrical coordinates: r, θ, and z. Here, r is the radial distance from the pipe centreline, θ is the angular position, and z is the distance along the pipe. In these coordinates, Laplace's equation includes radial, angular, and axial variation.

To find the exact form of φ in the pipe, boundary conditions are needed. At the pipe walls, the no-slip condition means the tangential velocity is zero. In the central irrotational region, the potential function must also match the symmetry of the pipe. Solving Laplace's equation with these conditions gives the velocity potential across the flow field.

Once φ is known, the velocity components can be found by taking partial derivatives. These components are the radial velocity, the angular velocity, and the axial velocity. Together, they show how the flow field comes from a gradient and therefore satisfies the irrotational condition.

Velocity Potential in Pipe Flow

euler&#39;s equations of motion

Pressure and Velocity in Inviscid Flow

Pressure and velocity in inviscid flow are linked by Euler's equations of motion. In fluid mechanics, viscosity creates shear stress, which is a force that acts along a surface. For low-viscosity fluids like water, these shear stresses are very small. That lets the fluid be treated as inviscid, or frictionless. In an inviscid fluid, shear stresses are absent. Only normal stresses remain, and these act perpendicular to a fluid element. Pressure is the negative of the normal stress. It stays the...

stream function

Stream Function for Incompressible Flow

The stream function helps describe two-dimensional incompressible flow. In this type of flow, the continuity equation keeps mass conserved. That means fluid entering a region must be balanced by fluid leaving it. For incompressible flow, the density stays constant. The continuity requirement then becomes a zero-divergence condition for the velocity field. In two dimensions, the horizontal and vertical velocity components are usually written as u and v. A stream function, written as ψ, is used...

irrotational flow

Irrotational Flow Near Boundaries

Irrotational flow is fluid motion in which particles do not spin around their own axes. It has zero vorticity, which means the curl of the velocity field is zero. That condition places limits on the velocity gradients in the flow. A simple example is uniform flow. In this case, the velocity u stays constant, while v and w are both zero. This satisfies the irrotational conditions and gives a basic model of non-rotating flow. When a solid object is added, irrotational flow usually remains only...

velocity potential

Velocity potential in pipe flow describes the motion of fluid in the central region of a long, straight pipe with a uniform cross-section. In this region, the flow is steady, incompressible, and irrotational. Irrotational means the fluid particles do not spin around their own axes. A scalar function called the velocity potential, written as φ, is used to describe this motion. The velocity field V is defined as the gradient of φ. Because the curl of a gradient is always zero, this form of V...

plane potential flows

Plane Potential Flow Patterns and Models

Plane potential flows describe fluid motion using simple flow patterns and models. They assume the fluid is irrotational and incompressible. These assumptions let the flow be written with a velocity potential function, φ, which gives the flow speed in a direction, and a stream function, ψ, which shows the flow path. Both are governed by Laplace's equation and are useful for estimating flow patterns, velocity distributions, and pressure fields around hydraulic structures. Uniform flow is the...

navier&#8211;stokes equations

Fluid Stress and Flow Equations

Fluid stress and flow equations describe how incompressible Newtonian fluids move under pressure, shear, and gravity. In these fluids, density stays constant, and stress changes linearly with the rate of deformation. The main stress types are normal stress and shear stress. Normal stress depends on pressure acting on the fluid and on deformation rate in specific directions. Shear stress acts along the surface of a fluid layer. It shows how neighboring layers slide past one another, so velocity...

steady, laminar flow between parallel plates

steady-laminar-flow-between-parallel-plates

Laminar Flow Profile Between Parallel Plates

Laminar flow between parallel plates shows how fluid moves through a narrow, flat channel. This model helps describe flow in water conveyance and drainage systems, where the space is limited and the motion stays orderly. It is also useful for analyzing flow in rectangular channels used in many engineering settings. The flow is studied with the Navier-Stokes equations, which govern fluid motion. These equations are often difficult to solve because they are nonlinear. In this case, the problem...

couette flow

Linear Shear Between Moving Plates

Linear shear between moving plates describes fluid motion in a simple channel with two parallel plates. One plate stays fixed, and the other moves at a constant speed. This setup helps show how viscosity and incompressible flow shape fluid motion under the Navier-Stokes equations. The model uses a steady, laminar, incompressible flow with no pressure gradient in the flow direction. The x-axis points along the moving direction of the upper plate, and the y-axis is perpendicular to both plates.

steady, laminar flow in circular tubes

Parabolic Flow in Circular Tubes

Parabolic flow in circular tubes describes the steady, incompressible motion of a viscous fluid through a tube with a constant radius. This Hagen-Poiseuille flow is a classic example of laminar flow. It is often used to study fluid transport in narrow channels, including capillaries. Cylindrical coordinates are used to describe the tube. The radial direction is r, the angular direction is θ, and the axial direction is z. In this flow, the velocity is purely axial. That means the fluid moves...

design example: flow of oil through circular pipes

design-example-flow-of-oil-through-circular-pipes

Pressure Drop in Oil Pipe Design

Pressure drop in oil pipe design depends on pipe size, oil properties, and the flow rate needed through a circular pipe. For steady, incompressible, laminar flow, Hagen-Poiseuille's law gives an exact solution from the Navier-Stokes equations. It is used to find the pressure difference needed to keep oil moving through a pipeline section. The pressure drop equation uses the oil's dynamic viscosity, the pipeline length, the desired volumetric flow rate, and the pipe's inner radius. This...

key terms and concepts

Explore how velocity potential describes irrotational, incompressible flow in a straight pipe, and see how Laplace's equation and cylindrical coordinates apply.

Velocity Potential in Pipe Flow | JoVE K12

JoVE Core Civil Engineering provides a foundational exploration of essential construction materials in civil engineering, focusing on bricks, stones, steel, wood, and concrete through easy-to-understand animated videos. This collection covers the properties, manufacturing processes, and practical applications of these materials. Additionally, the accompanied science-in-action videos demonstrate the research experiments performed in laboratories.

civil engineering

Velocity Potential in Pipe Flow

Description

Transcript