التباين: التوزيع الطبيعي والمدى والانحراف المعياري

خلال مشروع جمع البيانات ، يهتم الطالب بجمع ارتفاعات الرجال البالغين في مدينتهم.

عند العودة إلى الفصل الدراسي ، يقوم التلاميذ برسم بياني لتكرار الارتفاعات في العينة. المنحنى الناتج على شكل جرس ، مع قمة واحدة في وسطها يقع المتوسط.

في حين أن نقطة بيانات واحدة ، مثل المتوسط ، ضرورية لتحليل هذه النتائج ، فإن الاختلاف كذلك أيضا. تعرف هذه الكمية على أنها تشتت القياسات داخل مجموعة البيانات ، وتصف انتشار النتائج ، مما يعطي إحساسا بالمسافة بين النقاط.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن الرسم البياني متماثل ، حيث يظهر نصف الأفراد مكانة أطول من المتوسط ونصفها أقصر منه. يشار إلى هذا باسم التوزيع الطبيعي أو المنحنى.

لتقييم التباين ، يقومون أولا بحساب نطاق النتائج ، وهو الفرق بين أعلى وأدنى ارتفاعات.

على الرغم من أن النطاق يصف انتشار البيانات ، إلا أنه يمكن أن يتأثر بشكل كبير بالقيم المتطرفة - مثل أطول لاعب كرة سلة في المدرسة - ولا يوضح كيفية وضع القياسات حول المتوسط.

لمعالجة هذا الأمر ، يستخدم الطالب معادلة لحساب مقياس ثان للتباين ، يسمى الانحراف المعياري - متوسط المقدار الذي تختلف فيه القياسات عن المتوسط.

هنا ، الانحراف المعياري هو بوصتين ونصف ، لذا فإن الذكور - في المتوسط - أقصر أو أطول ببوصتين ونصف من المتوسط. بناء على خصائص التوزيع الطبيعي ، ضمن هذا الانحراف المعياري السلبي والإيجابي ، سيسقط 68٪ من الأفراد.

سيرتفع هذا الرقم إلى 95٪ لانحرافين معياريين - هنا خمس بوصات أعلى أو أقل من متوسط الارتفاع - و 99.7٪ لثلاثة انحرافات معيارية. الأهم من ذلك ، أنه كلما انخفض الانحراف المعياري ، زادت النتائج التي تتجمع بإحكام حول المتوسط ، مما ينتج عنه منحنى طبيعي طويل وضيق.

لذلك ، إذا كانت مجموعة البيانات تحتوي على انحراف معياري صغير ، فسيكون لها تباين منخفض. ومن ثم، فإن وسائل القياسات ذات التباين المنخفض من المرجح أن تكون تمثيلا موثوقا به لمجموعة العينة أكثر من تلك المستمدة من النتائج ذات التباين المرتفع، والتي قد تتأثر بشكل غير متناسب بالقيم المتطرفة.