5.8: السرعات الجزيئية والطاقة الحركية

تشرح النظرية الجزيئية الحركية نوعيّاً السلوكيات الموصوفة في قوانين الغاز المختلفة. ويمكن تطبيق افتراضات هذه النظرية بطريقة أكثر كمّية لاشتقاق هذه القوانين الفردية.

بشكل جماعي، فإن الجزيئات في عينة من الغاز لها متوسط طاقة حركية وسرعة متوسطة؛ ولكنها تتحرك بشكل فردي بسرعات مختلفة. غالباً ما تتعرض الجزيئات لتصادمات مرنة يتم فيها الحفاظ على قوة الدفع. ونظراً لأن الجزيئات المتصادمة تنحرف عن بعضها بسرعات مختلفة، فإن الجزيئات الفردية لها سرعات متفاوتة على نطاق واسع. ومع ذلك، نظراً للعدد الهائل من الجزيئات والتصادمات، فإن توزيع السرعة الجزيئية ومتوسط السرعة ثابتان. ويُعرف توزيع السرعة الجزيئية هذا بتوزيع ماكسويل-بولتزمان، وهو يصف الأعداد النسبية للجزيئات في عينة كبيرة من الغاز التي تمتلك سرعة معينة.  

يتم إعطاء الطاقة الحركية (KE) لجسيم كتلته (m) وسرعته (u) عن طريق:

سينتج عن التعبير عن الكتلة بالكيلوغرام والسرعة بالمتر في الثانية قيماً للطاقة بوحدات الجول (J = kg·m²/s²). للتعامل مع عدد كبير من جزيئات الغاز، نستخدم المتوسطات لكل من السرعة والطاقة الحركية. في KMT، يُعرَّف جذر متوسط السرعة التربيعي لجسيم u_rms بأنه الجذر التربيعي لمتوسط مربّعات السرعات مع n = عدد الجسيمات:

يساوي متوسط الطاقة الحركية لمول من الجسيمات، KE_avg، إذاً:

حيث M تمثّل الكتلة المولية التي تعبر عنها وحدات الكيلوغرام/مول. كماأن KE_avg لمول من جزيئات الغاز يتناسب طرديّاً مع درجة حرارة الغاز ويمكن وصفه بالمعادلة:

حيث أن R هو ثابت الغاز و T هو درجة حرارة بالكلفين. عند استخدامه في هذه المعادلة، يكون الشكل المناسب لثابت الغاز هو 8.314 J/mol⋅K (8.314 kg·m²/s²·mol·K). هاتين المعادلتين المنفصلتين لـ KE_avg يمكن فصلهما وإعادة ترتيبهما لتحقيق علاقة بين السرعة الجزيئية ودرجة الحرارة:

كلّما زادت درجة حرارة الغاز،فإن KE_avg يزداد، ويزاد عدد الجزيئات ذات السرعة العالية ويقلّ عدد الجزيئات ذات السرعة المنخفضة، ويتحول التوزيع إلى سرعات أعلى بشكل عام، أي إلى اليمين. إذا انخفضت درجة الحرارة، فإن KE_avg ينخفض، وويزاد عدد الجزيئات ذات السرعة المنخفضة ويقلّ عدد الجزيئات ذات السرعة العالية، ويتحول التوزيع إلى سرعات أقل بشكل عام، أي إلى اليسار.  

عند درجة حرارة معينة، تكون جميع الغازات لها نفسKE_avg لجزيئاتها. ترتبط السرعة الجزيئية للغاز بشكل مباشر بالكتلة الجزيئية. تحتوي الغازات المكونة من جزيئات أخف وزناً على عدد أكبر من الجسيمات الأكثر سرعة والأعلى u_rms، وسرعة توزيع تصل لذروتها عند سرعات مرتفعة نسبياً. تحتوي الغازات التي تتكون من جزيئات أثقل وزناً على عدد أكبر من الجسيمات الأقل سرعة، والأقل u_rms، وسرعة توزيع تصل لذروتها عند سرعات منخفضة نسبياً.  

تم اقتباس هذا النص من Openstax, Chemistry 2e, Section 9.5: Kinetic-Molecular Theory.

جميع جزيئات الغاز لها طاقة حركية،وهي دالة على كتلة الجسيم،بالكيلوغرامات،والسرعة،أو مقدار سرعتها،بالأمتار في الثانية. مع كل اصطدام فإنّالسرعات الفردية لجزيئات الغاز تتغير. لذلك،مجموعة من جزيئات الغاز،في الواقع،لها توزيع أو نطاق للسرعة و طاقة حركية.

هذا يعني أنه في أي لحظة،بعض الجزيئات تتحرك أبطأ من غيرها. ومع ذلك،متوسط الطاقة الحركية يبقى كما هو. يرتبط متوسط الطاقة الحركية بمتوسط مربعات السرعات،أو متوسط تربيع السرعة-كلاهما يظل ثابتًا عند درجة حرارة معينة للغاز.

الآن،متوسط الطاقة الحركية لمول واحد من الغاز يتم التعبير عنه من خلال إدخال ثابت أفوجادرو،NA. حاصل ضرب الكتلة لكل جسيم،وثابت أفوجادرو للجسيمات لكل مول،يساوي الكتلة المولية للغاز بالكيلوجرام لكل مول. نتذكر من النظرية الجزيئية الحركية أن متوسط الطاقة الحركية للمول الغازي تتناسب طرديا مع درجة الحرارة.

من خلال الاشتقاقات المعقدة،لثابت التناسب تم العثور على 3/2 R.بالجمع بين المعادلتين وإعادة ترتيب المصطلحات،وأخذ الجذر التربيعي على كلا الجانبين يربط بين الجذر التربيعي لمتوسط السرعة التربيعية ويسمى أيضًا جذر-المتوسط-التربيعي،أو RMS،و بين السرعة الكتلة المولية ودرجة الحرارة المطلقة للغاز. سرعة RMS متناسبة عكسيًا مع الكتلة المولية وتتناسب طرديا مع درجة الحرارة. لنفترض أن غازين الهيليوم والأرجون موجودان في نفس درجة الحرارة.

بما أن الهيليوم له الكتلة المولية الأقل،تشير المعادلة إلى أن الهليوم يجب أن يحتوي على RMS أعلى سرعة من الأرجون. يتم إجراء ملاحظة مماثلة في جزء من توزيع السرعات الجزيئية لثلاثة غازات الهيليوم والأرجون والكلور بنفس درجة الحرارة. نلاحظ أنه على الرغم من احتواء جميع الغازات على نفس متوسط الطاقة الحركية،أخف غاز،الهيليوم،لديه أعلى سرعة RMS وأوسع سرعة توزيع،بالاشارة الى أوسع نطاق من السرعات الجزيئية.

جزء من توزيع السرعة لأي غاز لنقل الأرجون في درجات حرارة مختلفة،يظهر زيادة في سرعة RMS،وتوسيع توزيع السرعة،عند أعلى درجات الحرارة. باختصار،تتحرك الغازات بشكل أسرع في درجات الحرارة المرتفعة. على سبيل المثال،جزيئات الغاز المسببة للرائحة من الطعام الساخن تتحرك أسرع من الجزيئات من الطعام البارد.

وبالتالي،يتم اكتشاف الطعام الساخن بشكل أسرع من الطعام البارد.