مشتقات الدوال اللوغاريتمية

اللوغاريتم هو الأس الذي يجب رفع القاعدة المحددة إليه لإنتاج رقم معين.

يمكن إيجاد مشتقة الدالة اللوغاريتمية بتطبيق التفاضل الضمني على شكلها الأسي.

وبما أن الحد الأسي يساوي x، يمكن استبداله في المعادلة المشقوقة للحصول على النتيجة النهائية.

لذا، مشتقة دالة لوغاريتمية ذات قاعدة b تساوي عكس حاصل ضرب x واللوغاريتم الطبيعي ل b.

عندما يكون الأساس b هو e، وبما أن اللوغاريتم الطبيعي ل e يساوي واحد، يصبح المشتقة مقلوبة ل x. هذه الحالة الخاصة هي مشتقة اللوغاريتم الطبيعي.

النمط المتبادل يعني أن كل وحدة مضافة لها تأثير أقل من السابقة. يشكل هذا السلوك الرياضي الأساس للعوائد المتناقصة، وهو مفهوم يظهر في مجالات العالم الحقيقي مثل المالية.

تمثل مشتقة الدالة اللوغاريتمية معدل عائد الاستثمار، والذي يتناسب عكسيا مع الزمن.

وهذا يعني أن الاستثمارات غالبا ما تنمو أسرع في البداية، بغض النظر عن حجم المبلغ الأولي.