حل المسائل: الحجم

يمكن نمذجة حجم خزان وقود مثبت على جناح طائرة نفاثة باستخدام مفهوم المجسمات الدورانية. في هذه الحالة، يتشكل الخزان بتدوير منطقة ثنائية الأبعاد، يحددها منحنى دالة رياضية، حول المحور السيني. تمتد هذه المنطقة على طول المحور من 0 إلى 2 m، ويكون الشكل ثلاثي الأبعاد الناتج متناظرًا حول محور الدوران. ولأن منحنى الحد يقع مباشرة على المحور، فإن طريقة الأقراص تعد تقنية مناسبة لتحديد الحجم.

باستخدام طريقة الأقراص، يُقسَّم المجسم تصوريًا إلى عدد لا نهائي من الشرائح الدائرية الرقيقة جدًا، المأخوذة عموديًا على المحور السيني. وتشكل كل شريحة قرصًا نصف قطره يساوي قيمة الدالة المحددة عند ذلك الموضع. وتتناسب مساحة كل قرص مع π مضروبة في مربع نصف القطر. وعلى الرغم من أن كل قرص منفرد لا يمثل إلا جزءًا صغيرًا من الخزان، فإن تجميع جميع الأقراص يقارب الحجم الكلي بدقة كبيرة.

لتحديد الحجم الكلي، تجمع مساحات جميع الأقراص على طول الخزان بالتكامل. وبعد تربيع الدالة التي تحدد شكل الخزان، يتبسّط التعبير الناتج إلى ثابت مضروب في مربع الموضع الأفقي وفي الفرق بين 2 وذلك الموضع. ثم يوسع هذا التعبير، فتنتج حدود تتضمن القوتين الثالثة والرابعة للمتغير. ويؤدي تكامل هذه الحدود إلى دالة أصلية تصف كيفية تراكم الحجم على طول محور التكامل.

وبتقييم التكامل المحدد بين 0 و2 m وتعويض حدود التكامل، نحصل على نتيجة عددية. وبعد التبسيط، يكون الحجم المحسوب نحو 1 m^3. وتمثل هذه القيمة السعة الداخلية الكلية لخزان الوقود. وتعد مثل هذه الحسابات ضرورية في هندسة الطيران والفضاء، حيث إن تقديرات الحجم الدقيقة مطلوبة لتحديد سعة الوقود، وتوزيع الوزن، والأداء العام للطائرة.