5.7
يتكون خزان الوقود المثبت على جناح الطائرة النفاثة عن طريق تدوير منطقة حول المحور المركزي. تتكون هذه المنطقة عن طريق تدوير دالة رياضية حول محور x وتمتد من صفر إلى مترين.
لإيجاد حجم الخزان، تستخدم طريقة القرص، والتي تتضمن تقطيع المادة الصلبة إلى أقراص دائرية رفيعة بشكل لا نهائي متعامدة على المحور x.
كل قرص له مساحة تساوي مضروبا في مربع قيمة الدالة. يتم إيجاد الحجم الكلي عن طريق دمج هذه المناطق على الفترة.
بعد تربيع الدالة، يبسط التكامل إلى ثابت مضروبا في القوة الثانية x والفرق بين اثنين و x.
توسيع وتكامل هذا التعبير ينتج مشتقا مضادا يتضمن القوى الثالثة والرابعة ل x.
تقييم التكامل المحدد من صفر إلى اثنين واستبدال الحدود يعطي تعبيرا. التبسيط أكثر ينتج حجما يقارب 1 متر مكعب، وهو الحجم الكلي لخزان الوقود.
يمكن نمذجة حجم خزان وقود مثبت على جناح طائرة نفاثة باستخدام مفهوم المجسمات الدورانية. في هذه الحالة، يتشكل الخزان بتدوير منطقة ثنائية الأبعاد، يحددها منحنى دالة رياضية، حول المحور السيني. تمتد هذه المنطقة على طول المحور من 0 إلى 2 m، ويكون الشكل ثلاثي الأبعاد الناتج متناظرًا حول محور الدوران. ولأن منحنى الحد يقع مباشرة على المحور، فإن طريقة الأقراص تعد تقنية مناسبة لتحديد الحجم.
باستخدام طريقة الأقراص، يُقسَّم المجسم تصوريًا إلى عدد لا نهائي من الشرائح الدائرية الرقيقة جدًا، المأخوذة عموديًا على المحور السيني. وتشكل كل شريحة قرصًا نصف قطره يساوي قيمة الدالة المحددة عند ذلك الموضع. وتتناسب مساحة كل قرص مع π مضروبة في مربع نصف القطر. وعلى الرغم من أن كل قرص منفرد لا يمثل إلا جزءًا صغيرًا من الخزان، فإن تجميع جميع الأقراص يقارب الحجم الكلي بدقة كبيرة.
لتحديد الحجم الكلي، تجمع مساحات جميع الأقراص على طول الخزان بالتكامل. وبعد تربيع الدالة التي تحدد شكل الخزان، يتبسّط التعبير الناتج إلى ثابت مضروب في مربع الموضع الأفقي وفي الفرق بين 2 وذلك الموضع. ثم يوسع هذا التعبير، فتنتج حدود تتضمن القوتين الثالثة والرابعة للمتغير. ويؤدي تكامل هذه الحدود إلى دالة أصلية تصف كيفية تراكم الحجم على طول محور التكامل.
وبتقييم التكامل المحدد بين 0 و2 m وتعويض حدود التكامل، نحصل على نتيجة عددية. وبعد التبسيط، يكون الحجم المحسوب نحو 1 m^3. وتمثل هذه القيمة السعة الداخلية الكلية لخزان الوقود. وتعد مثل هذه الحسابات ضرورية في هندسة الطيران والفضاء، حيث إن تقديرات الحجم الدقيقة مطلوبة لتحديد سعة الوقود، وتوزيع الوزن، والأداء العام للطائرة.
يتكون خزان الوقود المثبت على جناح الطائرة النفاثة عن طريق تدوير منطقة حول المحور المركزي. تتكون هذه المنطقة عن طريق تدوير دالة رياضية حول محور x وتمتد من صفر إلى مترين.
لإيجاد حجم الخزان، تستخدم طريقة القرص، والتي تتضمن تقطيع المادة الصلبة إلى أقراص دائرية رفيعة بشكل لا نهائي متعامدة على المحور x.
كل قرص له مساحة تساوي 𝜋 مضروبا في مربع قيمة الدالة. يتم إيجاد الحجم الكلي عن طريق دمج هذه المناطق على الفترة.
بعد تربيع الدالة، يبسط التكامل إلى ثابت مضروبا في القوة الثانية x والفرق بين اثنين و x.
توسيع وتكامل هذا التعبير ينتج مشتقا مضادا يتضمن القوى الثالثة والرابعة ل x.
تقييم التكامل المحدد من صفر إلى اثنين واستبدال الحدود يعطي تعبيرا. التبسيط أكثر ينتج حجما يقارب 1 متر مكعب، وهو الحجم الكلي لخزان الوقود.
From Chapter 5:
Now Playing
Applications of Integration
291 Views
Applications of Integration
413 Views
Applications of Integration
291 Views
Applications of Integration
300 Views
Applications of Integration
533 Views
Applications of Integration
753 Views
Applications of Integration
349 Views
Applications of Integration
230 Views