التكاملات المعتلة: الفترات غير المنتهية

يعتبر التكامل غير صحيح بسبب فترة لا نهائية عندما يمتد الحد الأعلى أو الأدنى للتكامل إلى ما لا نهائي، مما يخلق منطقة غير محدودة تحت المنحنى.

في هذه الحالة، يتم استبدال الحد اللانهائي بمتغير، ويتم تقييم التكامل بأخذ الحد عندما يقترب هذا المتغير من اللانهاية.

تساعد هذه الطريقة في معرفة ما إذا كانت المساحة الكلية تحت المنحنى تبقى محدودة حتى عبر مجال لا نهائي.

مثال عملي هو حساب الكثافة المتكاملة الكلية للضوء التي تمر عبر وسط، مثل الضباب، على مسافة لا نهائية، بافتراض أن الوسط متجانس.

في مثل هذه الحالات، تنخفض شدة الضوء مع المسافة، متبعة نمط تدهور أسي.

لإيجاد الشدة المتكاملة الكلية، يتم أولا استبدال الحد الأعلى اللامتناهي بمتغير t.

ثم يتم تكامل دالة الشدة من صفر إلى t، وتستبدل حدود التكامل لإعطاء تعبير يتضمن مصطلحا أسيا.

الخطوة الأخيرة هي أخذ الحد مع اقتراب t من اللانهاية، حيث يقترب الحد الأسي من الصفر، تاركا قيمة محدودة.

هذا يؤكد أن الشدة المتكاملة الكلية — المساحة تحت المنحنى — يمكن أن تبقى محدودة حتى مع مجال لا نهائي.