Method Article

ترتيب الصفحة المسبق للكتلة لتحليل المركزية والتدخل في الشبكات التجارية

DOI:

10.3791/70197

⸱

March 13th, 2026

1School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University

In This Article

Summary

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

يحسب هذا البروتوكول المركزية القائمة على PageRank ويقيم التدخلات المستهدفة في الشبكات التجارية من خلال دمج الكسب الاتجاهي القائم على تحليل المكونات الرئيسية، ووزن الحواف متعدد المصادر، ومحلل خطي مهيأ مسبقا بالكتل لمسافة فرعية كريلوف لتحسين الاستقرار العددي وقابلية التكرار.

Abstract

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

تتشكل الشبكات التجارية بواسطة عوامل متجانسة (مثل الجغرافيا، هيكل الفئات، وأداء التشغيل)، لذا قد لا يعكس مؤشر مالي واحد الدور الهيكلي للعقدة في النظام ككل. يستخرج هذا البروتوكول اتجاهات الميزات منخفضة الأبعاد باستخدام تحليل المكونات الرئيسية ويطبق فحص اتساق الطيف المزدوج بناء على مصفوفة كتلة سيمبلكتية منظمة لتحسين موثوقية الاتجاهات المختارة. باستخدام هذه الاتجاهات، يقوم سير العمل ببناء رسم بياني موجه موزون يدمج التشابه المكاني، والتآزر بين فئة الأعمال، ومصطلح الكسب الاتجاهي المستمد من تدرجات الميزات. ثم يتم حساب المركزية بحل نظام PageRank الخطي باستخدام طريقة بقايا دنيا معممة مكيفة مسبقا بالكتلة، مع التقارب الصريح ونقاط التحقق التشخيصية المذكورة للتكرار. يتم عرض سير العمل على تجميعات التجزئة على مستوى الولاية (49 عقدة) من مجموعة بيانات عامة، حيث يلتقط عدد قليل من المكونات الرئيسية معظم تباين الميزات ويدعم الوزن الاتجاهي المستقر. وأخيرا، يقيم البروتوكول تدخلا مستهدفا من القوة إلى الضعف من خلال إعادة تخصيص جزء محدد من وزن الحافة من عقد مركزية عالية إلى عقد مركزية منخفضة وإعادة حساب PageRank تحت نفس إعداد التخصيص. بشكل عام، يتيح هذا البروتوكول للمستخدمين بناء شبكة تجارية متعددة المصادر قابلة للتفسير، وحساب مركزية PageRank الموثوقة رقميا، واختبار سياسات التدخل مع تشخيصات محددة بوضوح.

Introduction

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

تتكون الشبكات التجارية (مثل أنظمة التجزئة على مستوى الولايات ومناطق الأعمال الإقليمية) من جهات غير متجانسة تتعاون وتتنافس في آن واحد. تتشكل تفاعلاتهم من خلال الموقع المكاني، وهيكل الفئات، والحركة الاتجاهية للعملاء والبضائع. نتيجة لذلك، قد لا تعكس مؤشرات النقطة الواحدة (مثل المبيعات وحدها) بشكل موضوعي الدور الهيكلي للعقدة في الشبكة 1,2,3. يمكن أن تختلف الشركات داخل نفس المنطقة بشكل ملحوظ في الحجم وظروف التشغيل، وتكون تفاعلاتها أكثر اعتمادا على السياق المكاني وعدد الزوار الزمني. لذلك، قد تكون المؤشرات الاستدلالية وتصنيفات المبيعات البسيطة غير كافية لتوصيف موقع الشبكة وتعزيز أو تثبيط عبر العقد3.

توفر نظرية الشبكات المعقدة منظورا شاملا لقياس أهمية العقد. تقدر PageRank (PR) الأهمية من خلال محاكاة المشي العشوائي، وقد استخدمت على نطاق واسع في نماذج التصنيف والانتشار. تظهر أعمال سابقة أن PR يمكن تعميمه إلى الإعدادات المرجحة عن طريق استبدال مصفوفة المجاور بمصفوفة أوزان وباستخدام قوة العقدة بدلا من الدرجة4. توازن صيغ العلاقات العامة المرجحة بشكل أكبر بين المساهمات القائمة على الدرجة والقوة من خلال معايير قابلة للتعديل، وقد تم تطبيقها على شبكات الاعتماد الاقتصادي واسعةالنطاق 5. كما تم استخدام التبعيات المشتقة من التنقل والإنفاق لبناء شبكات قائمة على السلوك تربط أنماط المركزية بمرونة الاقتصاد الحضري6. تسلط الدراسات الحديثة التي تدمج بيانات حضرية متعددة المصادر الضوء على أن تصنيفات المؤشر الواحد غالبا ما تفشل في تمثيل آليات متعددة العوامل، مما يحفز بناء الشبكات التي تجمع بين هيكل وخصائص7. تشير الأدلة في تفصيل الأعمال والمناطق التجارية إلى أن الكمية، وتنوع الفئات، وبنية الفئات تشكل معا الحيوية التجارية ويجب نمذجتها معا2. تعزز التحليلات ذات الصلة التي تربط المركزية بأنماط المرافق وسهولة الوصول إلى الحاجة إلى التقاط كل من البنية العلائقية والميزات السياقية في البيئات التجارية8˒9.

من الناحية المنهجية، تشير الأدبيات إلى حاجتين عمليتين غالبا ما يتم تجاهلهما بشكل كاف في دراسات الشبكات التجارية التطبيقية. أولا، عند استخدام السمات متعددة المتغيرات لبناء أوزان اتجاهية أو مستندة إلى الميزات، يجب فحص استقرار الاتجاهات المستخرجة بشكل صريح بدلا من افتراض7. ثانيا، يجب أن تبلغ الحوسبة المركزية عن نقاط التحقق التشخيصية القابلة للتكرار (مثل فحوصات التشتت/الاتصال وتقارب المحللين) بحيث تكون النتائج قابلة للتحقق من ما بعد مخرج تصنيف واحد4˒5.

على الرغم من هذا التقدم، لا تزال العديد من الدراسات التطبيقية تبلغ عن تصنيفات دون (1) فحص استقرار صريح للمعلومات الاتجاهية المستخرجة من ميزات متعددة المتغيرات، (2) نقاط تحقق قابلة للتكرار تتحقق من تشتت البيانات/الاتصال والتقارب العددي، و(3) تقييم تدخل يتم تثبيته وقابلا للمقارنة عبر الإعدادات 1,2,3. يعالج هذا البروتوكول هذه الثغرات من خلال جعل سير العمل الكامل قابلا للتدقيق: فهو يستخرج اتجاهات الميزات منخفضة الأبعاد، ويتحقق من اتساق الاتجاه، ويبني رسما بيانيا موجها موزونا متعدد المصادر، ويحسب مركزية العلاقات العامة باستخدام محلل تكراري مشروط بالكتلة مستقر عدديا مع تشخيصات واضحة التقرير. كما يقيم التدخل المستهدف من القوة إلى الضعف تحت بيئة تخصيص ثابتة لتحديد كيفية إعادة توزيع التدخلات المركزية بشكل مقارن.

مقارنة بنسخ PR التي تعيد وزن الحواف أو تضيف طبقات فقط، يوفر هذا السير مخرجات قابلة للقياس يمكن للمستخدمين التحقق منها ومقارنتها مباشرة: (1) مساهمة اتجاهية قابلة للتفسير على مستوى الحافة، (2) تشخيصات وسيطة صريحة (أهداف مفسرة بالتباين، فحوصات التناثر/الاتصال، وأعلام التقارب في الحل)، و(3) مقياس تأثير التدخل الذي يقيس التغيرات في PR لمجموعات مصدر/أهداف محددة تحت إعداد تخصيص ثابت. يكون هذا البروتوكول أكثر ملاءمة عندما تمثل العقد وحدات تجارية متمركزة مكانيا (مثل الولايات، المدن، المناطق، المنصات) مع إحداثيات وميزات تشغيل متعددة المتغيرات، وعندما تظهر فضاء الميزات هيكلا منخفض الأبعاد مستقر بدلا من التفرق الشديد أو ضوضاء الإشارة المنخفضة.

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Protocol

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

1. إعداد البيانات وتطبيعه

  1. استورد وتصفية مجموعة البيانات. استيراد مجموعة بيانات الطلبات العامة للبيع بالتجزئة والاحتفاظ بالسجلات من 2014–201718.
  2. عرف العقد. عرف مجموعة العقد V كحالات أمريكية واحتفظ بالحالات مع ملاحظات كافية بحيث |V|=49. لتكن n=|V|.
  3. بناء متجهات ميزات على مستوى العقدة. لكل عقدة i\in V، قم بتجميع سجلات المعاملات وحساب متجه ميزة 16 بعدا xi∈R16. يشمل متجه الميزات إحصائيات المبيعات (الكلي، المتوسط، الانحراف المعياري، والمدى)، وإحصائيات الأرباح (الكلي، المتوسط، الانحراف المعياري، والمدى)، وإحصائيات الكمية (الكلي، المتوسط، الانحراف المعياري)، إحصائيات الخصم (المتوسط والانحراف المعياري)، وثلاثة مؤشرات إضافية تتكون من هامش الربح (هامش الربح)، عدد الطلبات (عدد الطلبات)، ومتوسط الربح لكل طلب (AvgOrderProfit).
  4. التعامل الحتمي مع القيم المفقودة والمثبت العددي. استبدل أي إدخال ميزة مشتقة مفقود ب 0 وسجل عدد البدائل. حدد مثبت ثابت δ=10-12 للمقامات التي قد تقترب من الصفر في الحسابات اللاحقة (المستخدمة في المعادلة 4).
  5. توحيد الميزات. تطبيق تطبيع درجة Z عبر العقد للحصول على مصفوفة الميزات الموحدة X std∈R49×16.
    نقطة التحقق 1: تحقق من أن X_{\text{std}} يساوي 49\مضروبا في 16 بدون أي إدخالات مفقودة بعد التوحيد القياسي وتأكد من أن الفئة التالية تحسب مجموعها 49.
  6. حدد فئات المبيعات للتصنيف الطبقي. قسم العقد إلى ثلاث فئات (منخفض/متوسط/عالي) حسب ثلاثيات إجمالي المبيعات وأحجام الفئات القياسية (منخفض: 16؛ متوسط: 17; الأعلى: 16)¹⁸. تشير إلى عضوية الفئة ب c(i) ∈ {L,M,H}.

2. تقليل أبعاد PCA المتحقق من JRS (JRS-PCA)

  1. تقدير التغاير. احسب مصفوفة التغاير C من X_{\text{std}} كما يلي.
    C = cov(Xstd) (1)
  2. استخراج المكونات الرئيسية. احسب أول k زوج ذاتي ل C باستخدام التفكيك الذاتي المتناثر وحدد k = 4 بشكل افتراضي.
  3. تم شرح التباين. سجل التباين المفسر من قبل كل مكون رئيسي والتباين التراكمي الذي شرحه PCs 1–42.
  4. تمثيل نقاط الحاسب الشخصي. لكل عقدة i، احسب متجه نقاط PC z_i\in\mathbb{R}^k وسجل (zi,1,z i,2) للتصور في تشتت PC1–PC2 ملون حسب فئة المبيعات.
  5. بناء كتلة JRS. قم ببناء مصفوفة الكتل السيمبلكتيكية المبنية على JRS كما يلي.
    S = التشخيص(C,-C) (2)
  6. اتساق الطيف المزدوج مع المطابقة الصريحة. احسب القيم الذاتية ل S، وقسمها إلى مجموعات موجبة وسالبة، ثم فرز القيم الذاتية الموجبة بترتيب تنازلي وترتيب القيم المطلقة للقيم السالبة الذاتية بترتيب تنازلي، ثم اقترنها حسب المؤشر، واحسب أقصى انحراف في الاقتران \max_j|\lambda^+_j+\lambda^-_j|. تثبت قاعدة المطابقة هذه تفاصيل التنفيذ لقابلية التكرار2.
    نقطة التحقق 2: الإبلاغ عن التباين التراكمي الذي شرحته الوحدات 1–4 والإبلاغ figure-protocol-1 عن تأكيد هيكل مستقر منخفض الأبعاد قبل بناء الكسب الاتجاهي2.

3. بناء رسم بياني موجه متعدد المصادر والوزن

  1. أوزان التشابه المكاني. لكل زوج مرتب (i,j)، احسب وزن نواة غاوسيان المكاني كما يلي:
    figure-protocol-2(3)
    هنا pi = (xi,y i) يرمز إلى إحداثي المركزي للعقدة i و σ هو عرض النطاق الترددي، المضبوط على 10.0 بشكل افتراضي.
  2. أوزان التآزر القائمة على الفئات. حدد خط أساس التآزر معالتزام (i,j) باستخدام علاقة فئة المبيعات من الخطوة 1.6.
    اضبط wsyn(i,j)=0.6 عندما c(i) = c(j)، وتعيينsyn(i,j)=0.4 عندما تكون الفئات متجاورة (منخفض–متوسط أو متوسط–عالي)، وتعيين wsyn(i,j) = 0.2 عندما تكون الفئات غير متجاورة (منخفض–عالي).
  3. زيادة اتجاهي PCA. احسب اتجاه الوحدة المستقر في فضاء نقاط الحاسوب بواسطة
    figure-protocol-3(4)
    مع δ=10-12 . حدد درجة المحاذاة غير السالبة على PC1 باستخدام الاتجاه المرجعي r = (1,0,...,0)⊤ كما يلي
    figure-protocol-4(5)
    عرف عقوبة نفس الفئة كالتالي
    figure-protocol-5(6)
    ونحسب وزن الكسب الاتجاهي بواسطة
    wori(i,j) = β⋅wsyn(i,j) ⋅ g(i,j) ⋅ π(i,j) (7)
    مع β=1.0. العقوبة π(i,j) تطبق تخفيض خفيف لنفس الفئة لتشجيع الروابط بين الفئات مع الحفاظ على الاتصال داخل الفئة5.
  4. دمج الوزن وإزالة الحلقة الذاتية. دمج أوزان متعددة المصادر لتشكيل مصفوفة الأوزان الموجهة
    figure-protocol-6(8)
    وتعيين القطر (إجمالي W) = 0 لإزالة الحلقات الذاتية.
  5. مصفوفة الفحص المتماثلة (اختيارية). احسب مصفوفة الوكيل المتماثلة
    figure-protocol-7   (9)
    للفحص فقط.
  6. التضحية بالتحقق الكمي. احتفظ بأعلى q٪ من الإدخالات غير الصفرية فيW إجمالا (defaultq=35٪) للحصول على مصفوفة المجاور المتناثرة Adir. سجل nnz(A dir) والكثافة2، وتطبيق اختياريا نفس قاعدة التشتت إلىsym للحصول علىتناظر A للفحص2.
    نقطة التحقق 3: بعد التفرق، أبلغ عن nnz(A dir) والكثافة، وأبلغ عن عدد المكونات ضعيفة الاتصال (الهدف: 1)، وتحقق مما إذا كانت أي مجموع أعمدة يساوي صفرا. إذا كانت هناك أعمدة بمجموع صفر، فطبق معالجة العقد المعلقة في الخطوة 4.12. إذا أدى التشتت إلى فصل الرسم البياني، قم بتخفيف صرامة التشتت تدريجيا من 35٪ إلى 30٪ ثم إلى 25٪، مع تكرار نقطة الحفظ بعد كل تعديل.

4. حل LGMRES المشروط مسبقا على كتلة الفئة

  1. مصفوفة انتقال عشوائية للعمود مع التعامل مع عقد معلقة. احسب مجموع عمود Adir وشكل المصفوفة القطرية D. لأي عمود ذو مجموع صفري، استبدل ذلك العمود بمتجه التخصيص u قبل التطبيع، وشكل مصفوفة الانتقال العشوائية للعمود بواسطة
    Wc =A dir D-1 (10)
  2. PageRank كنظام خطي. حدد PageRank بعامل التخميد α(defaultα=0.85) ومتجه التخصيص u بواسطة
    p = (1-α)u + αWc⊤p (11)
    وحل النظام الخطي المكافئ
    (I-( I -αWc⊤)p = (1 - α)u (12)
    (II-withM = I - αWc⊤ andb = (1-α)u.
  3. مكيف مسبق يميني من نوع الكتلة الفئية. استخلاص الكتل القطرية من M التي تتوافق مع الفئات منخفضة/متوسطة/عالية وتجميع تقريب كتل-قطري P^{-1} باستخدام شبه معكوسات لكل كتلة قطرية. بالنسبة للمؤشرات غير المغطاة بكتلة، استخدم العكس للدخول القطري ل M كمرجعقطري 19.
  4. حل تكراري وتقارير تشخيصية. حل Pixel = b باستخدام محلل متبقي دنيا معمم محدود الذاكرة مع مكيف مسبق يميني P-1 ، مكونا ك rtol = 1e−6، atol = 0، maxiter = 500، inner_m = 30، outer_k = 319. سجل علم معلومات المحلل (الهدف: 0)، والباقي النسبي النهائي ‖Mp - b‖2/‖b‖2 ، ويصبح عدد التكرار الخارجي19.
  5. فحوصات التطبيع والصلاحية. إذا ظهرت قيم سالبة صغيرة، قم بقصها إلى 0 وسجل أقصى مقدار مقتطع، ثم أعد التعديل بحيث ∑ipi = 1 .
    نقطة التفتيش 4: تقرير المعلومات، التقرير ‖Mb - b‖2/‖b‖2، التقرير figure-protocol-8، والإبلاغ ∑ipi كتشخيصات قابلية للتكرار بدلا من عبارات نوعية¹⁹.

5. تجربة التدخل ومقارنة النتائج

  1. المصدر واختيار الهدف. باستخدام متجه تخصيص ثابت u، حدد العقد الثلاث العليا بخط الأساس p كمجموعة المصدر S والعقد الثلاث السفلية كمجموعة الهدف T، وسجل العقد المختارة2.
  2. قوة التدخل مع قيد سقف السعر. اختر ε في [0.05,0.15] بحيث لا يتجاوز الوزن المحقون من كل عقدة مصدر 10٪ من مجموع الوزن الخارج الأصلي لتلك العقدة بعد التباطؤ، وسجل ε مع نسبة الحقن إلى الأصل لكل عقدة مصدر2.
  3. تحديث حتمي لوزن الحواف. احسب متوسط وزن figure-protocol-9 الحافة الموجب في Adir
    ، ثم قم بتحديث كل زوج مرتب (s,t) ب s ∈ Sandt ∈ T بواسطة
    A'dir(s,t) =A dir(s,t) + εw (13)
    وإعادة حساب W_c من A'_{\text{dir}} كما في الخطوة 4.1 مع الحفاظ على α وأنت دون تغيير.
  4. أعد حساب PageRank وقم بقياس التغيير. كرر الخطوات 4.2–4.5 للحصول على p'، احسب Δp=p'-p، ويبلغ عن التغيرات المطلقة والنسبية للعقد في S و T2. تحقق من أن تشخيصات الحل تبقى ضمن الأهداف (المعلومات = 0؛ ≤ retol المتبقي) بعد التدخل2.
    نقطة التحقق 5: الإبلاغ عن \varepsilon، الإبلاغ عن نسبة الحقن إلى الأصل لكل عقدة مصدر، الإبلاغ عن معلومات المحلل والباقي قبل وبعد التدخل، والإبلاغ عن ملخص Δp ل S و T2.

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Results

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

الظروف التجريبية والبيانات

تم تشغيل جميع التحليلات على جهاز كمبيوتر مكتبي مزود بنظام تشغيل ويندوز. تم تنفيذ سير العمل في بايثون 3.12 باستخدام NumPy وPandas وSciPy وMatplotlib، وتم تثبيت البذرة العشوائية في 2025 لدعم التكرار18. تم تصفية مجموعة بيانات لطلبات التجزئة العامة للاحتفاظ بالسجلات من 2014–201722. تم تجميع الأوامر على مستوى الدولة لتعريف 49 عقدة (الولايات الأمريكية مع ملاحظات كافية). لكل ع...

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Discussion

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

يوفر هذا البروتوكول سير عمل قابل للتكرار لتقييم المركزية وتقييم التدخلات المستهدفة في الشبكات التجارية على مستوى الدولة من خلال دمج بناء الرسوم البيانية متعددة المصادر، والكسب الاتجاهي المشتق من PCA، ومحلل LGMRES PageRank المشروط على كتل الفئة18˒23. بدلا من تقديم المركزية كمخرج تصنيف واحد، يسلط سير العمل الضوء على التشخيصات الوسيطة—مثل الفحوصات المفسرة بالتباين، وتقرير التناثر/الاتصال، ومعايير تقارب المحلل—بحيث يمكن للمستخدمين ال...

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Disclosures

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

المؤلفون ليس لديهم ما يكشفون عنه.

Acknowledgements

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

يشكر المؤلفون مزودي البيانات العامة على توفير مجموعة البيانات المستخدمة في هذا البروتوكول. كما يقر المؤلفون بموارد الحوسبة والدعم الفني الذي تقدمه مؤسسة المؤلفين. لم يتم تلقي أي تمويل خارجي لهذا العمل.

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Materials

List of materials used in this article
NameCompanyCatalog NumberComments
ماتبلوتليبفريق تطوير ماتبلوتليبv3.8+
توليد الأشكال وتصور نتائج المركزية/التدخل
نومبايمطورو نومبيv1.26+
عمليات المصفوفة العددية وحساب المصفوفات
الباندافريق تطوير البانداv2.2+
تنظيف، تجميع، وإدارة البيانات الجدولية
بايثونمؤسسة بايثون للبرمجياتv3.12
بيئة برمجة أساسية لمعالجة البيانات وتنفيذ النماذج
SciPyمجتمع SciPyv1.13+
الجبر الخطي المتناثر ودعم المحلل التكراري (مثل LGMRES)

References

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,
  1. Zhang, Y., Wang, M., Yang, X., Zhang, R. Urban commercial space vitality evaluation method based on social media data: The case of Shanghai. Land. 14 (4), 697(2025).
  2. Ji, Y., Wang, Z., Zhu, D. Exploring the impact of urban amenities on business circle vitality using multi-source big data. Land. 13 (10), 1616(2024).
  3. Chen, H., Ge, J., He, W. Quantifying urban vitality in Guangzhou through multi-source data: A comprehensive analysis of land use change, streetscape elements, POI distribution, and smartphone-GPS. Land. 14 (6), 1309(2025).
  4. Gómez, S. Centrality in networks: Finding the most important nodes. Business and Consumer Analytics: New Ideas. , Springer International Publishing. Cham. 401-433 (2019).
  5. Zhang, P., Wang, T., Yan, J. PageRank centrality and algorithms for weighted, directed networks. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 586, 126438(2022).
  6. Yabe, T., García Bulle Bueno, B., Frank, M. R., Pentland, A., Moro, E. Behaviour-based dependency networks between places shape urban economic resilience. Nature Human Behaviour. 9 (3), 496-506 (2025).
  7. Xie, Y., et al. Integrating multi-source urban data with interpretable machine learning for uncovering the multidimensional drivers of urban vitality. Land. 13 (12), 2028(2024).
  8. Lee, Y., Seo, D. Identifying relationship between regional centrality and POI facilities: A case study of Seoul metropolitan area. ISPRS International Journal of Geo-Information. 13 (1), 12(2024).
  9. Poudyal, B., Ghoshal, G., Kirkley, A. Characterizing network circuity among heterogeneous urban amenities. Journal of the Royal Society Interface. 20 (208), 20230296(2023).
  10. Zeng, J., Wu, Y., Liu, J., He, D., Lan, Z. Identification of critical nodes in power grid based on improved PageRank algorithm and power flow transfer entropy. Electronics. 13 (1), 184(2024).
  11. Improved PageRank algorithm-based vulnerable lines identification considering the impact of natural gas system. Hu, T., Hu, S., Nan, L. Proceedings of the 7th International Conference on Mechatronics and Computer Technology Engineering (MCTE), , 864-869 (2024).
  12. Li, J., Lin, Y., Su, Q. Identifying critical nodes in power grids containing renewable energy based on electrical spreading probability. International Journal of Electrical Power & Energy Systems. 154, 109431(2023).
  13. Miller, B., Alderson, A., Eubank, S. Multi-layer network PageRank for critical infrastructure analysis. Homeland Security Affairs. 20 (4), 23189(2024).
  14. Aleja, D., Flores, J., Primo, E., Romance, M. Time-dependent personalized PageRank for temporal networks: Discrete and continuous scales. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 34 (8), 083145(2024).
  15. Mariani, M. S., Medo, M., Zhang, Y. -C. Ranking nodes in growing networks: When PageRank fails. Scientific Reports. 5 (1), 16181(2015).
  16. Aleja, D., Criado, R., García del Amo, A. J., Pérez, Á, Romance, M. Non-backtracking PageRank: From the classic model to Hashimoto matrices. Chaos, Solitons & Fractals. 126, 283-291 (2019).
  17. Contreras-Aso, G., Criado, R., Romance, M. Can the PageRank centrality be manipulated to obtain any desired ranking. Chaos. 33 (8), 083152(2023).
  18. Flores, J., García, E., Pedroche, F., Romance, M. Parametric controllability of the personalized PageRank: Classic model vs biplex approach. Chaos. 30 (2), 023115(2020).
  19. Li, Z., Tang, J., Zhao, C., Gao, F. Improved centrality measure based on the adapted PageRank algorithm for urban transportation multiplex networks. Chaos, Solitons & Fractals. 167, 112998(2023).
  20. Opricovic, S., Tzeng, G. -H. Defuzzification within a multicriteria decision model. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. 11 (5), 635-652 (2003).
  21. Wilkinson, M. D., et al. The FAIR guiding principles for scientific data management and stewardship. Scientific Data. 3 (1), 1-9 (2016).
  22. Sample superstore, sample data. Tableau Public. , Tableau Software. https://public.tableau.com/app/learn/sample-data (2025).
  23. Peng, R. D. Reproducible research in computational science. Science. 334 (6060), 1226-1227 (2011).
  24. Langville, A. N., Meyer, C. D. Google’s PageRank and Beyond: The Science of Search Engine Rankings. , Princeton University Press, Princeton. (2006).
  25. Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. , SIAM. Philadelphia. (2003).
  26. Jolliffe, I. T., Cadima, J. Principal component analysis: A review and recent developments. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 374 (2065), 20150202(2016).
  27. Mehrmann, V. L. The Autonomous Linear Quadratic Control Problem: Theory and Numerical Solution. , Springer. Berlin. (1991).
  28. Graph sparsification by effective resistances. Spielman, D. A., Srivastava, N. Proceedings of the 40th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, , 563-568 (2008).
  29. Boldi, P., Santini, M., Vigna, S. PageRank: Functional dependencies. ACM Transactions on Information Systems. 27 (4), 1-23 (2009).
  30. Topic-sensitive PageRank. Haveliwala, T. H. Proceedings of the 11th International Conference on World Wide Web, , 517-526 (2002).
  31. Gleich, D. F. PageRank beyond the web. SIAM Review. 57 (3), 321-363 (2015).
  32. Baker, A. H., Jessup, E. R., Manteuffel, T. A. technique for accelerating the convergence of restarted GMRES. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 26 (4), 962-984 (2005).
  33. Kuhn, M., Johnson, K. Feature Engineering and Selection: A Practical Approach for Predictive Models. , Chapman and Hall/CRC. (2019).
  34. Wainwright, M. J. High-Dimensional Statistics: A Non-Asymptotic Viewpoint. , Cambridge University Press. (2019).
  35. Silverman, B. W. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. , Routledge. (2018).
  36. Saltelli, A., et al. Global Sensitivity Analysis: The Primer. , John Wiley & Sons. (2008).
  37. Aral, S., Nicolaides, C. Exercise contagion in a global social network. Nature Communications. 8 (1), 14753(2017).
  38. Berkhin, P. A survey on PageRank computing. Internet Mathematics. 2 (1), 73-120 (2005).
  39. Kivelä, M., et al. Multilayer networks. Journal of Complex Networks. 2 (3), 203-271 (2014).
  40. Holme, P., Saramäki, J. Temporal Network Theory. , Springer. 1-24 (2019).
  41. Linden, G., Smith, B., York, J. Amazon.com recommendations: Item-to-item collaborative filtering. IEEE Internet Computing. 7 (1), 76-80 (2003).
  42. Wu, Z., et al. A comprehensive survey on graph neural networks. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. 32 (1), 4-24 (2020).
  43. Stodden, V. Reproducing statistical results. Annual Review of Statistics and Its Application. 2 (1), 1-19 (2015).

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Reprints and Permissions

Request permission to reuse the text or figures of this JoVE article

Request Permission

Tags

PageRank CentralityCommercial NetworksBlock PreconditioningPrincipal Component AnalysisWeighted Directed GraphCentrality InterventionFeature GradientsSymplectic Block MatrixGeneralized Minimal ResidualNetwork Diagnostics

Related Articles