التحليل الزماني المكاني للحقول الحرارية-المرنة المترابطة في السيليكون المقوى بالألياف غير متساوية الخواص باستخدام طريقة القيم الذاتية

ملخص

تحلل هذه الدراسة الحقول الحرارية المرنة المترابطة في السيليكون المقوى بالألياف غير المتجانسة باستخدام طريقة الوضع الطبيعي والقيمة الذاتية. تظهر النتائج تحولا مكانيا وتطورا يعتمد على الزمن، مع حساسية قوية للتباين الحيوي. توضح خرائط الحرارة توزيع الحقول وتحديد موقعها.

الملخص

تبحث هذه الدراسة في نظام حراري-مرن ضوئي مقترن في وسط أشباه موصل سيليكون مقوى بالألياف غير متجانس، بهدف التقاط التفاعل بين الحقول الحرارية، والحاملة، والميكانيكية. تلعب هذه المواد المعززة بالألياف غير المتجانسة دورا حيويا في التطبيقات الهندسية الحديثة، بما في ذلك الأجهزة الإلكترونية الدقيقة والبصرية، والتقنيات المعتمدة على الليزر، والحساسات، والهياكل المركبة المتقدمة، حيث تتطلب خصائص اتجاهية وأداء ميكانيكي محسن. وهي مهمة بشكل خاص في تصميم مكونات أشباه الموصلات التي تتعرض للتحميل الحراري والبصري، حيث يكون التنبؤ الدقيق بسلوك المجال المقترن أمرا ضروريا للموثوقية وتحسين الأداء. تصاغ المعادلات الحاكمة بناء على النموذج الفيزيائي المرتبط ثم تحول لاحقا إلى شكل عديم الأبعاد لتبسيط التحليل وتسليط الضوء على التأثير النسبي للمعلمات المعنية. يتم حل المشكلة باستخدام تقنية الوضع الطبيعي ويتم تقليصها إلى نظام تفاضلي من الدرجة الأولى من نوع متجه-مصفوفة، يليه نهج القيم الذاتية للحصول على حلول تحليلية تحقق شروط الحدود المفروضة ضمن مجال شبه لانهائي. يتم إجراء التحليل العددي لفحص تأثير تغير الزمن على جميع الحقول الفيزيائية، كاشفا عن توهين مكاني قوي وسلوك مترابط يحكمه التباين والتقويم الألياف. تستخدم تمثيلات خريطة الحرارة الزمانية المكانية لتصوير تطور وتوطين الحقول، مما يوفر رؤية فيزيائية للتفاعلات متعددة الفيزياء ويظهر فعالية النهج التحليلي.

المقدمة

برزت المرونة الحرارية الضوئية كمجال متعدد التخصصات مهم يصف التفاعل بين التأثيرات الحرارية والميكانيكية والبصرية في المواد أشباه الموصلات تحت الإثارة الضوئية. يصبح الترابط بين هذه المجالات ملحوظا بشكل خاص في التطبيقات الحديثة التي تشمل تسخين الليزر والإثارة البصرية. على سبيل المثال، درس سعيد¹ التفاعلات الحرارية-الضوئية المرنة في أشباه الموصلات باستخدام نماذج ذات درجتي حرارتين زائدية، مما أظهر أهمية تأثيرات الاسترخاء الحراري في التنبؤ بدقة بسلوك النظام. كما جذبت الاستجابة الحرارية الميكانيكية للمركبات المعززة بالألياف اهتماما كبيرا بسبب قوتها الميكانيكية المعززة وخصائصها المتباينية المتجانسة. حلل لي ولامبروس² السلوك الحراري الديناميكي لهذه المركبات المركبة، مؤكدين مدى ملاءمتها للتطبيقات الهندسية المتقدمة. وبالمثل^{، درس} Kalkal وآخرون التشوهات ثنائية الأبعاد (2D) في الأوساط الدوارة المتدرجة بالألياف تحت الحقول المغناطيسية، مما أظهر التأثير القوي للتباين والتأثيرات الخارجية على استجابة النظام. علاوة على ذلك^{، درس} بيتاريسي وآخرون دور التباين الكبير في السلوك الحراري المرن، مؤكدين على الحاجة إلى نمذجة دقيقة للمواد المركبة. وقد وسعت التطورات الحديثة هذه الدراسات لتشمل وسائط أشباه الموصلات ذات التأثيرات الفيزيائية المتعددة المرتبطة. ^درس موندال وآخرون انتشار الموجات في أشباه الموصلات المعززة مع الأخذ في الاعتبار استجابات الذاكرة والحقول المغناطيسية، كاشفين عن تفاعلات معقدة مترابطة. قامت الدراسات التجريبية، مثل تلك التي أجراها أكاي ^{وآخرون،} بتقييم تلف التعب في المركبات المعززة بالألياف باستخدام تغيرات درجة الحرارة المرنة الحرارية، مؤكدة أهميتها العملية. بالإضافة إلى ذلك، تم استخدام أساليب ميكروميكانيكية لتقدير الخصائص الحرارية المرنة الفعالة، كما أظهر لو وآخرون^. كما تم دراسة تأثير التحميل الخارجي والظروف البيئية على نطاق واسع. قام باراك ودهانخار⁸ بتحليل التحميل المائل في الأوساط المعززة بالألياف ذات الدرجات الوظيفية، بينما فحص كوندو وكالكال⁹ التفاعلات الحرارية الضوئية تحت الجاذبية والأحمال الحرارية المتحركة. ^درس تشودري وآخرون الخصائص المعتمدة على درجة الحرارة باستخدام نماذج تأخر الطور المزدوج، وطبق بانديت وآخرون ^نماذج انفعال من الرتبة الجزئية لالتقاط سلوك التشوه غير المحلي. تسلط هذه الدراسات الضوء على أهمية مراعاة ظروف التحميل والمواد الواقعية في التحليل الحراري المرن.

تم أيضا استكشاف الظواهر الديناميكية والمرتبطة بالاهتزازات في أنظمة أشباه الموصلات. ^درس سونغ وآخرون الاهتزازات الحرارية الضوئية في هياكل أشباه الموصلات، بينما حلل موندال وسور¹³ انتشار الموجات في الأوساط المتأثرة مع تأثيرات الذاكرة. تم النظر في التأثيرات اللزجة المرنة والميكروبنيوية من قبل أبولريغال وآخرون ¹⁴، كما تم دراسة تأثيرات التسخين من نوع المنحدر من قبل هوبيني ^{وآخرين.} علاوة على ذلك، تم تطوير نماذج حرارية مرنة معممة مثل نظرية التأخر الثلاثي الطور بواسطة زنكور¹⁶ لتحسين دقة التنبؤ. لقد عززت النماذج متعددة الفيزياء المتقدمة التي تدمج التأثيرات الكهرومغناطيسية والميكروقطبية فهم السلوك الحراري-الضوئي المرن. ^درس الهازايم وآخرون الإثارة الضوئية-الكهرومغناطيسية-الحرارية المرنة في الأوساط أشباه الموصلات الدوارة، بينما قام نذير وكومار¹⁸ بتحليل التفاعلات الحرارية المرنة الميكروقطبية. كما درس سونغ وآخرون التفاعلات الحرارية المرنة غير التبددية، ودرس نصر وأبو الرجال²⁰ عمليات امتصاص الضوء في أشباه الموصلات ذات التجاويف. لعبت النماذج غير المحلية والنماذج الجزئية دورا حاسما في التطورات الأخيرة. ^درس غوبتا وآخرون الإثارة الحرارية الضوئية في الأوساط المسامية غير المحلية، بينما حلل هوبيني وعباس²² انتشار الموجات ذات الرتبة الكسرية في أشباه الموصلات. درس هافيد وزينكور²³ تأثيرات التحميل المائل، ^{بينما درس} أولينيك وآخرون التأثيرات الحرارية الضوئية غير الثابتة. كما استكشف أوواد وآخرون سلوك أشباه الموصلات المصنفة وظيفيا تحت الإثارة بالليزر^{، بينما درس} غوبتا وآخرون الاقتران الحراري البيزو-الضوئي الكهربائي مع نماذج تعتمد على الذاكرة. تم تأسيس طرق تجريبية كلاسيكية تجمع بين التقنيات الحرارية والبصرية بواسطة غرين وباترسون²⁷ وبارون وباترسون²⁸، مما يوفر طرقا موثوقة لتحليل الإجهاد. علاوة على ذلك، طور كور وسينغ²⁹ نماذج غير محلية تعتمد على الذاكرة لرنانات أشباه الموصلات، ^{وحلل عباس} وآخرون التفاعلات الحرارية الضوئية ذات التوصيل الحراري المتغير. أجريت دراسات تجريبية وعددية للأغشية المركبة المعززة بواسطة لو وآخرون ³¹، بينما درس بوركيت وكانوري³² استجابات الذاكرة في الأوساط الدوارة المعززة باللياف. قام أبو-دهاب ^وآخرون بدراسة انعكاس الموجة بشكل أكبر في الأوساط الحرارية المرنة المعززة بالألياف تحت ظروف التحميل. مؤخرا، تم اقتراح نماذج حرارية مرنة جزئية وغير محلية متقدمة لوصف المواد المعقدة. ^درس أبو إلريغال وآخرون الاستجابات الحرارية في الأنسجة البيولوجية باستخدام نماذج جزئية، بينما درس سيلفاماني وآخرون ^35,36 انتشار الموجات غير المحلية وسلوك الاهتزاز في الحزم النانوية. بالإضافة إلى ذلك، تم تطبيق نماذج التأخر الثنائي الطور واللزجة المرنة على البنى الدقيقة بواسطة أبو إلريغال ^{وآخرون،} وتم تطوير صيغ حرارية مرنة جزئية مع نوى ذاكرة^38,39 لالتقاط الظواهر المعقدة المترابطة.

على الرغم من هذه التطورات الواسعة، تركز معظم الدراسات الحالية بشكل أساسي على الحلول التحليلية أو العددية دون تقديم تصور مفصل للحقول الفيزيائية المكانية. في العديد من التطبيقات العملية، خاصة في وسائط أشباه الموصلات المعززة بالألياف غير المتجانسة، تعتمد استجابة النظام بشكل كبير على التغيرات المكانية والزمانية، مما يجعل التصور ضروريا للتفسير الدقيق. علاوة على ذلك، رغم أن الأساليب العددية والتجريبية توفر رؤى قيمة، إلا أن الطرق التحليلية المبنية على تقنيات الوضع الطبيعي والقيم الذاتية تقدم مزايا كبيرة في المشكلات المتعلقة بالمجالات شبه اللانهائية والأنظمة متعددة الفيزياء المترابطة. تمكن هذه الأساليب من حلول الشكل المغلق، مما يوفر فهما فيزيائيا أعمق لآليات انتشار الموجات، والتوهين، والاقتران، وتعمل كمعايير موثوقة للتحقق من النتائج العددية والتجريبية.

في هذا العمل، يقدم بحث شامل في سلوك الحرارية-المرونة الضوئية المترابطة في وسط أشباه موصل مقوى بالألياف غير متجانس. تكمن جدة هذه الدراسة في دمج نهج تحليلي قائم على القيم الذاتية مع تصور خريطة الحرارة المكانية والزمانية لتوفير رؤية أعمق لتطور وتوطين الحقول الفيزيائية. يهدف هذا العمل إلى تحليل تأثير التباين والتباين والتعزيز الليفي على التفاعل بين الحقول الحرارية والميكانيكية والحقول الحالة، وإثبات قابلية تطبيق الطريقة المقترحة في تفسير الظواهر الفيزيائية المتعددة المعقدة ذات الصلة بالتطبيقات الهندسية الحديثة مثل أجهزة أشباه الموصلات، وأجهزة الاستشعار، والتقنيات المعتمدة على الليزر.

البروتوكول

تعتمد هذه الدراسة بالكامل على النمذجة النظرية والمحاكاة العددية ولا تشمل المشاركين البشريين أو الحيوانات أو العينات البيولوجية. لذلك، لم تكن الموافقة الأخلاقية والموافقة المستنيرة مطلوبة.

الصياغة الرياضية للمرونة الحرارية الضوئية في الأوساط المائية المجهزة بالألياف
تناولت الدراسة الحالية نصف فضاء نصف موصل مقوى بالألياف ثنائية الأبعاد موضع للإثارة البصرية السطحية. كان الوسط يشغل المنطقة x ≥ 0، حيث يمثل الحد عند x = 0 السطح المكشوف. تم تعريف نظام الإحداثيات بحيث يمتد المحور x إلى الوسط، بينما يقع المحور y على السطح ويصف السلوك داخل المستوى. كان يفترض أن المادة متجانسة لكنها متجانسة بسبب وجود ألياف تقوية محاذية، مما أدخل اعتمادا اتجاهايا على خصائص المرونة والاقتران. أدى الامتصاص البصري على السطح إلى توليد حرارة محلية وحاملات شحنة زائدة، مما أدى إلى تفاعل متكامل بين الحقول الحرارية والميكانيكية والحقول الحالة. وبناء عليه، تم وصف حالة النظام بدرجة الحرارة θ(x, y, t) (K)، وكثافة الحامل N (x, y, t) (^m-3)، ومكونات الإزاحة u (x, y, t) وv (x, y, t)(m)، وذلك بافتراض وجود تشوهات صغيرة. يتم توضيح مخطط المجال الفيزيائي، ونظام الإحداثيات، واتجاه الألياف، والإثارة البصرية التطبيقية في الشكل 1. تم إجراء جميع الحسابات الرمزية والعددية باستخدام Wolfram Mathematica (الإصدار 12.0).

الشكل 1. تمثيل تخطيطي للوسط شبه الموصل المعزز بالألياف شبه اللانهائي الذي يخضع لإثارة بصرية عند الحد x = 0. يظهر نظام الإحداثيات (x, y)، مع توجيه الألياف محاذيا على طول اتجاه x (a = (1, 0))، مما يوضح التكوين الهندسي والتباين المعتمد على الاتجاه للوسط. يرجى الضغط هنا لعرض نسخة أكبر من هذا الشكل.

تم التعبير عن العلاقة التأسيسية لموتر الإجهاد في وسط شبه موصل حراري مرن مقوى بالتباين الخواص بالألياف بشكل عام باستخدام المعادلة 1 ^1,5. في هذه الصيغة، تشير θ إلى زيادة درجة الحرارة بالنسبة لدرجة الحرارة المرجعية T₀، بينما تمثل T درجة الحرارة المطلقة حيثما ينطبق.

.   (1)

هنا، C_ijkl هي معاملات الصلابة المرنة، وe_kl هو موتر الانفعال، و β_ij و η_ij تمثل موترات الاقتران الحراري المرن وحامل الحمل على التوالي. في وجود تعزيز الألياف، أصبحت استجابة المادة تعتمد على الاتجاه وتحكمها متجه اتجاه الألياف a = (_{a i})، مما أدخل مساهمات متباينة في كل من مصطلحي المرونة والاقتران. وبناء عليه، تم توسيع العلاقة التأسيسية لتشمل صراحة تأثير تعزيز الألياف ^ك2,3:

. (2)

هنا، λ و μ_τ هما ثوابت لامي، μ_وL هو معامل القص الطولي على طول اتجاه الألياف. يمثل α المعامل تأثيرات تعزيز الألياف ويختلف عن_{α ij}، التي تدل على معاملات التمدد الحراري. حدد متجه الوحدة اتجاه الألياف وأدخل الاعتماد الاتجاهي في استجابة الإجهاد-الانفعال. بالنسبة للصياغة ثنائية الأبعاد الحالية، افترضت أن الألياف محاذية على محور x؛ لذلك، تم اعتبار متجه الاتجاه صراحة ك a = (1, 0). وفرت هذه المواصفة تخصيصا واضحا لاتجاه الألياف وضمنت دمج المساهمات غير المتجانسة بشكل متسق في المعادلات الحاكمة، معالجة مباشرة للسلوك الاتجاهي الناتج عن تعزيز الألياف. بالنسبة للتكوين ثنائي الأبعاد الحالي، تم تقليل مكونات الإجهاد الحاكمة إلى:

, (3)

, (4)

. (5)

توضح هذه المعادلات التأثير المشترك بين التباين الطبيعي، وتعزيز الألياف، وتأثيرات الاقتران الفيزيائي المتعدد. تم تعريف معاملات _{β ij} و η_ij بناء على معلمات المادة كما يلي:

,

,

,

.

هنا، تمثل معاملات _{A ij} الثوابت المرنة الفعالة للوسط غير المتجانس المعزز بالألياف وتم تعريفها كما يلي:

. (6)

هنا، λ μ_L و μ_T هي الثوابت المرنة للوسط المعزز بالألياف غير المتجانس، بينما تمثل _{α ij} و ξ_ij معاملات تمدد الحراري ومعامل الحامل على التوالي. كان انتشار الموجات المرنة في وسط أشباه الموصلات الحراري المرن يحكمه مبدأ حفظ الزخم الخطي، الذي شكل أساس التحليل الحراري المرن الديناميكي. في غياب قوى الجسم، تعبر المعادلة العامة للحركة لاستمرارية قابلة للتشوه كما يلي بناء على ^1,15:

. (7)

هنا، ρ هي كثافة الكتلة و _{σ ij} هو موتر الإجهاد. في هذه الدراسة، اقتصر التشكيل على تكوين ثنائي الأبعاد في مستوى x - y، وكان حقل الإزاحة ممثلا ب u(x, y, t) و v(x, y, t). وفقا للصيغ القياسية في الأوساط الحرارية الفوتومرنية، كتبت المعادلات الحاكمة للحركة في بعدين كما يلي:

, (8)

. (9)

باستبدال العلاقات التكسيعية المتجانسة بالألياف المتجانسة في المعادلات أعلاه، تم الحصول على نظام المعادلات التفاضلية الجزئية (DEs) المترابط الناتج كما يلي:

, (10)

. (11)

هنا، تشير الرموز الفرعية إلى التمايز الجزئي بالنسبة للمتغيرات المكانية والزمنية. تسلط هذه المعادلات الضوء على التأثير المترابط للتباين المتباين، وتعزيز الألياف، وتدرجات الحرارة، وانتشار الحامل على الاستجابة الديناميكية للوسط. في وجود الإثارة البصرية، يتأثر المجال الحراري داخل شبه الموصل بشدة بالتفاعل مع كثافة الحاملات والتشوه الميكانيكي، مما أدى إلى عملية نقل طاقة مترابطة بالكامل. على عكس التوصيل الحراري الكلاسيكي، كان تطور درجة الحرارة في مثل هذا الوسط يحكمه مصطلحات مصدر إضافية ناتجة عن إعادة تركيب الحاملات وتأثيرات المرونة الحرارية، مما غير بشكل كبير خصائص انتشار الحرارة. تم التعبير عن معادلة التوصيل الحراري في إطار المرونة الحرارية المعممة كما يلي ^16,20:

. (12)

هنا، C_E هو الحرارة النوعية عند إجهاد ثابت، ويمثل السعة الحرارية للمادة، وT₀ يرمز إلى درجة الحرارة المطلقة المرجعية للوسط في حالته التوازنية. بالنسبة للتكوين ثنائي الأبعاد الحالي، تم تقليل هذه المعادلة إلى^16,20:

. (13)

تظهر هذه المعادلة أن مجال درجة الحرارة تأثر ليس فقط بالتوصيل الحراري الاتجاهي، بل أيضا بإعادة تركيب الحاملات من خلال المصطلح ، وكذلك بالتشوه المعتمد على الزمن عبر مصطلحات الاقتران الحراري المرن. وقد التقطت هذه الصياغة التفاعلات متعددة الفيزياء الأساسية التي تحكم انتقال الحرارة في أشباه الموصلات المعززة بالألياف غير المتجانسة، وأبرزت دور ديناميكا الحاملات والاستجابة الميكانيكية في تعديل السلوك الحراري للنظام. عندما تعرض وسط شبه الموصل للإثارة البصرية، تم توليد عدد كبير من حوامل الشحنة بسبب امتصاص الإشعاع الساقط. خضعت هذه الحاملات لعمليات نقل شملت الانتشار المكاني، وإعادة التركيب، والتوليد الحراري، وكلها مرتبطة بطبيعتها بحقل درجة الحرارة داخل المادة. وبالتالي، أصبحت كثافة الحاملات أحد المتغيرات الرئيسية التي تحكم الاستجابة الحرارية-الضوئية المترابطة.

في الصياغة الحالية، تم وصف تطور تركيز الحامل من خلال توازن بين آليات الانتشار، وتأثيرات التحلل، وعمليات التنشيط الحراري، مما أدى إلى العلاقة الحاكمة التالية ^1,5"

. (14)

هنا، يمثل D_E معامل انتشار الحامل وهو عامل لابلاس ثنائي الأبعاد في مستوى x - y. يأخذ المصطلح في الاعتبار تأثيرات إعادة التركيب مع زمن الاسترخاء τ، بينما k هو معامل الاقتران الحراري-الحامل المعرف ك ، والذي يصف حساسية تركيز حامل التوازن N0 لتغيرات درجة الحرارة. تسلط هذه العلاقة الضوء على دور درجة الحرارة كآلية دافعة لتوليد الحاملات وتؤسس ارتباطا مباشرا بين الحقول الحرارية والإلكترونية في وسط أشباه الموصلات المعززة بالألياف غير المتغيرة.

تم تأسيس المعادلات الحاكمة والصياغة الرياضية لنظام الحاملات الضوئي المرن المترابط. يتم تلخيص المعاملات الفيزيائية والمواد المقابلة لوسط السيليكون (Si) في الجدول 1، مع قيمها العددية والوحدات والمراجع المقابلة. تستخدم هذه المعلمات لاحقا في الحسابات العددية وفي عملية عدم الأبعاد غير البعدية.

الرمز	القيمة	الوحدة	المرجع
λ	3.64 × 10¹⁰	N/m²	12
μتي	5.46 × 10¹⁰	N/m²	12
μل	3.20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	كجم/م³	13
سيإي	695	ج/(كغ· K)	30
K11	0.0921 × 10³	مع (م· ك)	30
ك22	0.0963 × 10³	مع (م· ك)	30
ديإي	2.5 × 10⁻³	متر مربع في الثانية	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
هكذا	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
α11	3.1 × 10⁻⁶	ك⁻¹	30
α22	3.5 × 10⁻⁶	ك⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	م³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	م³	21
κ	2.16 × 10²¹	م⁻³·س⁻¹· ك⁻¹	21
α	−1.28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220.90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2.95 + 1i	س⁻¹	12
a	1	— (بلا بعد)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (بلا بعد)	15
N₀	1	— (بلا بعد)	15

الجدول 1. خصائص المواد والمعلمات المستخدمة في التحليل العددي لوسط أشباه الموصل المعزز بالألياف غير المتغير. جميع الكميات معبرة عنها بوحدات النظام الدولي ما لم يذكر خلاف ذلك. يتم تحديد المعلمات عديم الأبعاد وفقا لذلك. تتوافق القيم المدرجة مع خصائص المواد القائمة على السيليكون ومعلمات النموذج المستخدمة في الحسابات الحالية، كما تم الحصول عليها من المراجع المذكورة. يعرف معامل اقتران الحامل الحراري κ بأنه κ = (∂N₀/∂T)(1/τ)، وفقا للصيغ القياسية في نماذج أشباه الموصلات الحرارية-الضوئية.

الصياغة غير البعدية لنموذج الفوتو-حرارية المرن غير المتساوي المترابط
لتبسيط المعادلات الحاكمة والحصول على تمثيل غير متسق غير بعد للنظام الحراري-المرن الضوئي المترابط، تم إدخال مقاييس مميزة مناسبة للإحداثيات المكانية x,y, الوقت t, مكونات الإزاحة u, v, درجة حرارة T, كثافة الحامل N, والإجهاد σ. تم اختيار هذه المعايير بشكل متسق بناء على الخصائص الفيزيائية الجوهرية للوسط وآليات الاقتران بين الحقول الحرارية والميكانيكية والحقول الحالة، وفقا للصيغ المعتمدة التي وردت في الأدبيات^16,21. وبناء عليه، تم تعريف المتغيرات عديمة الأبعاد كما يلي:

, , , , , .

هذا التحويل قلل من عدد معلمات المواد المستقلة وقدم تمثيلا مطبعا للنظام المترابط. من خلال استبدال المتغيرات عديمة الأبعاد أعلاه في المعادلات الحاكمة المشتقة سابقا، تم إعادة كتابة النظام بشكل غير بعدي. للتبسيط، تم حذف الترميز الأولي المرتبط بالمتغيرات عديم الأبعاد. أدى هذا الإجراء إلى مجموعة مضغوطة من الديويرات الجزئية عديم الأبعاد، والتي يمكن كتابتها بالشكل التالي:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

بعد تطبيق التحويل غير الأبعاد، كتبت مكونات إجهاد النظام بالشكل المعياري التالي:

, (19)

, (20)

. (21)

المعلمات عديمة الأبعاد a_i تم تقديمها لتمثيل تركيبات مدمجة من الخصائص الفيزيائية والمادة التي تحكم السلوك الضوئي المرن غير المتجانس المتجانس. كل معامل يعكس آلية تفاعل محددة داخل النظام ويوفر رؤية حول التأثير النسبي للعمليات الفيزيائية الأساسية. يمثل النسبة بين صلابة الاقتران العمودي والصلابة المرنة الرئيسية، مما يعكس درجة التفاعل غير المتجانس بين مكوني الإزاحة. يصف المساهمة النسبية للتشوه العرضي في مكون الإجهاد الطبيعي. يقيس التغير الاتجاهي للاقتران الحراري المرن، مما يشير إلى التباين في تأثيرات التمدد الحراري. يصف التأثير غير المتغير الخواص لكثافة الحاملات على التشوه المرن المستحث. يمثل صلابة القص المعتدلة ويحدد مساهمة تشوه القص بالنسبة للتشوه الطبيعي. وهذا يفسر الترابط المشترك بين التشوه الطبيعي والتشوه القصي في معادلات الإزاحة الحاكمة. يعبر عن النسبة بين الصلابة العرضية وصلابة القص، مما يبرز سلوك التشوه غير المتجانس. يمثل معامل القصور الذاتي المتمطيع، الذي يربط تأثيرات انتشار الموجة بصلابة القص. يميز الاقتران بين تدرجات الإزاحة في اتجاهات مكانية مختلفة. تحدد المساهمة النسبية للتأثيرات الحرارية في حقل الإزاحة في الاتجاه العرضي. يقيس تأثير التشوه الناتج عن الحامل بالنسبة لصلابة القص. : تمثل التباين في التوصيل الحراري على اتجاهات مكانية مختلفة. يصف تأثير إعادة تركيب الحاملات على توليد الحرارة داخل الوسط. يمثل الاقتران بين التأثيرات الحرارية والتشوه المرن المعتمد على الزمن. يأخذ في الاعتبار التأثير المشترك للتوسع الحراري غير المتغير الخواص في كلا الاتجاهين المكانيين. يمثل معامل الانتشار المعدل الذي يتحكم في معدل نقل الحامل. يصف القوة النسبية لتأثيرات إعادة التركيب بين الحاملات. يصف الاقتران بين التغيرات الحرارية وعمليات توليد الحاملات.

الحل التحليلي باستخدام تقنية الوضع الطبيعي
للحصول على حلول تحليلية للنظام الحراري-الضوئي غير المتجانس المترابط، تم استخدام تقنية الوضع الطبيعي بسبب فعاليتها في تقليل الديويرات الجزئية الحاكمة إلى نظام أكثر قابلية للتعامل مع الديكورات العادية. يستخدم هذا النهج على نطاق واسع في تحليل ظواهر انتشار الموجات، بما في ذلك التشتت والتوهين. وبناء عليه، تم افتراض التغيرات التوافقية لمتغيرات المجال في كل من الزمن والاتجاه المكاني العرضي ^1,12,23. وبالتالي، تم التعبير عن مكونات الإزاحة، ودرجة الحرارة، وكثافة الحاملات، والإجهاد بشكل أسي كما يلي:

. (22)

هنا، ω يرمز إلى التردد المركب الذي يتحكم في السلوك الزمني للحقول، بينما يمثل a رقم الموجة المرتبط بالتغير المكاني على طول اتجاه y. تم اختيار هذه المعايير لتلبية متطلبات الاستقرار وضمان حلول محدودة مقبولة فيزيائية ضمن المجال شبه اللانهائي. من خلال استبدال الأشكال المفترضة أعلاه في المعادلات الحاكمة غير البعدية المشتقة سابقا وتبسيط التعبيرات الناتجة، تم تقليص النظام الأصلي للدوترات الجزئية المقترنة إلى نظام من المعادلات الجزئية العادية بالنسبة للإحداثيات المكانية، والتي يمكن كتابتها كما يلي:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

علاوة على ذلك، كتبت مكونات الإجهاد المقابلة في المجال المحول كما يلي:

, (27)

, (28)

. (29)

هنا، D يرمز إلى عامل التفاضل . تمثل هذه المعادلات الشكل المختزل للنظام الحاكم في مجال الوضع الطبيعي وتوفر الأساس لاشتقاق المعادلة المميزة وبناء الحل التحليلي العام في الخطوات التالية. تم تعريف المعاملات كما يلي: ، ، ، ، ، .

صياغة مصفوفة DE وتحليل القيم الذاتية
بعد تطبيق تحويل النمط الطبيعي، تم تقليل النظام الحاكم المذكور في المعادلات 23–26 إلى مجموعة من الأبعاد العادية من الدرجة الثانية بالنسبة للإحداثي المكاني . لتسهيل حل منهجي، تم تحويل هذا النظام إلى نظام مكافئ من الدرجة الأولى عن طريق إدخال متغيرات مساعدة تتوافق مع المشتقات الأولى لكميات الحقل. تم تعريف المتغيرات التالية تحديدا:

, . (30)

باستخدام هذه التعريفات، أعيد كتابة المعادلات 23–26 كنظام من ثمانية معادلات معادلة من الدرجة الأولى:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

تم التعبير عن النظام أعلاه في مصفوفة مضغوطة A على النحو التالي:

. (36)

تم إعطاء متجه الحالة بالتالي:

. (37)

واتخذت مصفوفة النظام الشكل الصريح:

. (38)

هذا التشكيل حول النظام الأصلي إلى مسألة ذات قيم ذاتية ^1,15. تم الحصول على المعادلة المميزة من

. (39)

مما ينتج كثير حدود من الدرجة الثامنة يحكم القيم الذاتية. في شكل مختزل، يمكن كتابة كثير الحدود المميز كالتالي

. (40)

حيث Z_i المعاملات هي دوال لمعلمات النظام وتعرف صراحة أدناه. تحدد القيم الذاتية الناتجة السلوك المكاني للمحلول، بما في ذلك خصائص التوهين والانتشار. يتم الاحتفاظ فقط بالقيم الذاتية التي تحقق Re(m) > 0 لضمان حلول مقبولة فيزيائية تتلاشى بشكل أسي مع x → ∞.

. (41)

تحدد جذور كثير الحدود المميز القيم الذاتية m، التي تحكم السلوك المكاني للحل. تم حساب هذه القيم الذاتية رقميا باستخدام Mathematica عن طريق بناء كثير الحدود المميز عبر دالة CharacteristicPolynomial وحل المعادلة الجبرية الناتجة باستخدام NSolve. نظرا لأن المشكلة صيغت في مجال شبه لانهائي (x ≥ 0)، فإن الحلول المقبولة فيزيائيا التي تبقى محدودة ك x → ∞ تعتبر فقط. وبناء عليه، تم الاحتفاظ فقط بالقيم الذاتية التي تحقق Re(m) > 0، مما يضمن تحلل أسي من شكل exp(−mx) كx → ∞. تم التخلص من الجذور المتبقية لأنها تتوافق مع محاليل غير متحللة أو غير محدودة لا تتوافق مع المتطلبات الفيزيائية للنموذج.

لكل قيمة ذاتية محفوظة m، يتم الحصول على المتجه الذاتي المقابل من النظام الجبري المرتبط

, (42)

وتم التعبير عنها بالشكل التالي:

. (43)

بتوسيع معادلة المصفوفة أعلاه، تم الحصول على النظام التالي من المعادلات الخطية:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

نظرا لتجانس مشكلة القيم الذاتية، تم تعريف المتجهات الذاتية حتى ثابت ضربي عشوائي. للحصول على تمثيل فريد ومتسق، تم فرض شرط تطبيع عن طريق تثبيت أحد مكونات المتجه الذاتي. في العمل الحالي، تم اختيار المكون الأول بحيث q₁ = 1، وتم تحديد المكونات المتبقية تسلسليا من نظام المعادلات أعلاه. من منظور حسابي، تم تنفيذ هذا التطبيع عن طريق تعيين قيمة وحدة لمكون واحد وحل نظام المعادلات الخطية الناتج لتقييم المكونات المتبقية. وفر هذا الإجراء طريقة منهجية وقابلة للتكرار لحساب المتجهات الذاتية المرتبطة بكل قيمة ذاتية مقبولة.

. (49)

والمكونات المتبقية تتبع بناء على علاقات النظام. تصف هذه المتجهات الذاتية المساهمات النسبية لدرجة الحرارة، وكثافة الحاملات، وحقول الإزاحة داخل كل وضع. وبالتالي، تم بناء الحل العام للمشكلة كتركيبة خطية من الأوضاع الذاتية المقبولة، كل منها مرتبط بقيمة ذاتية ومتجه ذاتي مقابل، مما يوفر وصفا تحليليا كاملا لسلوك الفوتو-مرونة غير المتجانس المتجانس في وسط نصف الفضاء. لذلك كتب الحل العام للنظام كما يلي:

. (50)

هنا، C_i هي ثوابت محددة من شروط الحدود. عن طريق توسيع التعبير المتجه أعلاه، تم الحصول على متغيرات الحقل كما يلي:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

يظهر هذا التمثيل أن الحل يتكون من تراكب لأنماط أسية، حيث يساهم كل زوج من القيم الذاتية-المتجه الذاتي بشكل مستقل في الاستجابة الفيزيائية الكلية. يتم اختيار القيم الذاتية المقبولة بحيث تكون أجزائها الحقيقية موجبة، مما يضمن حلولا محدودة وذات معنى مادي كx → ∞.

شروط الحدود والقيود الفيزيائية
باستبدال الحل العام في شروط الحدود المحددة عند x = 0، تم الحصول على نظام من المعادلات الجبرية الخطية من حيث الثوابت C_i. تحديدا، تم التعبير عن كل شرط حدودي (درجة الحرارة، كثافة الحاملات، وقيود الإزاحة) من حيث توسعات الوضع الذاتي، مما أدى إلى مجموعة من المعادلات التي تربط المعاملات C_i. أدى هذا الإجراء إلى نظام خطي يمكن كتابته في شكل مصفوفة ك BC = D، حيث B هي مصفوفة المعاملات المبنية من مكونات المتجهات الذاتية المقيمة عند الحدود، C = (C₁, C₂, C_{3,C 4})^T هو متجه الثوابت المجهولة، ويتم تحديده من القيم الحدودية المفروضة مثل θ₀, N₀، وقيود الإزاحة. تم حل النظام الخطي الناتج حسابيا باستخدام Mathematica، حيث تم تجميع مصفوفة المعاملات والمتجه على الجانب الأيمن بشكل صريح، وتم الحصول على الثوابت المجهولة باستخدام روتين LinearSolve. ثم تم استبدال هذه الثوابت مرة أخرى في الحل العام لبناء التعبيرات الكاملة للحقول الفيزيائية، والتي استخدمت لاحقا في التقييم العددي والتمثيل الرسومي للنتائج.

تم إعطاء شروط الحدود المفروضة كما يلي:

قيد درجة الحرارة:

. (55)

تمثل هذه الحالة درجة حرارة سطح متغيرة هارمونيا ناتجة عن التسخين البصري الدوري. يعمل كإثارة حرارية أولية تدفع عمليات النقل الحراري المرنة والنقل الحاملة المتصلة داخل الوسط. السعة θ₀ تصف شدة الحمل الحراري المطبق.

قيد كثافة الحامل:

. (56)

يصف هذا الشرط الحدي كثافة الحامل الناتجة عن الإضاءة البصرية الناتجة عن الإضاءة البصرية. يعكس الإثارة الإلكترونية الناتجة عن امتصاص الفوتونات وتعديله التوافقي المتوافق مع المجال البصري الساقط.

قيد الإزاحة:

. (57)

يشير هذا الشرط إلى أن الحد محدود ميكانيكيا في الاتجاه العرضي. لذا، لا يحدث إزاحة على طول اتجاه v على السطح.

قيد إجهاد القص:

. (58)

يتوافق هذا الشرط مع حدود خالية من الجر بالنسبة لإجهاد القص. يضمن عدم وجود قوى مماسية تؤثر على السطح، وهو ما يتوافق مع حدود ميكانيكية حرة في الاتجاه المماسي. بالإضافة إلى شروط الحدود عند x = 0، تم فرض المتطلبات الفيزيائية عند اللانهاية كما يلي: ضمان حلول فيزيائية محدودة ضمن المجال شبه اللانهائي. قبل عرض النتائج الرقمية، يتم تلخيص الإجراء الحاسوبي العام المعتمد في هذه الدراسة في الشكل 2. القيم العددية لمعاملات الإثارة θ₀، N₀، التردد المركب ω، ورقم الموجة a المستخدمة في الحسابات مدرجة في الجدول 1. تشمل المعلمات المدرجة في الجدول 1 كل من ثوابت المواد البعدية والمعاملات غير البعدية المستخدمة في الصياغة المعادية. للتقييم العددي، تم تعريف المجال المكاني كأنه ، وتم تثبيت الإحداثي العرضي عند y = 0.6، وتم النظر في المجال الزمني ضمن . تم استخدام هذه النطاقات لجميع العمليات الحسابية العددية والتمثيلات الرسومية.

الشكل 2. سير العمل الحسابي للطريقة المقترحة. يوضح الشكل تسلسل الخطوات من الصياغة إلى النتائج العددية: المعادلات الحاكمة، عدم الأبعاد غير البعدية، تطبيق تقنية النمط الطبيعي، التحويل إلى نظام من الدرجة الأولى، صياغة المصفوفة، تحليل القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، تطبيق شروط الحدود، تحديد الثوابت، وتوليد الرسوم البيانية العددية. يرجى الضغط هنا لعرض نسخة أكبر من هذا الشكل.

النتائج

النتائج العددية
في هذا القسم، أجريت حسابات رقمية لتحليل سلوك نظام الحاملة الحرارية-الضوئية المرنة المقترنة في وسط أشباه موصل مقوى بالألياف غير متجانس. المادة التي تم النظر فيها كانت السيليكون (Si)، ومعلماته الفيزيائية والمواد مدرجة في الجدول 1. تم استبدال هذه الثوابت المادية مباشرة في المعادلات الحاكمة وتطبيقها في الحسابات العددية لتقييم متغيرات الحقل. تم دمج جميع المعلمات بشكل متسق باستخدام التدرج غير الأبعاد المعرف. تم إجراء العمليات الحسابية العددي...

المناقشة

توفر النتائج التي تم الحصول عليها رؤية فيزيائية واضحة حول السلوك الحراري-المرن الضوئي المقترن في وسائط أشباه الموصلات المعززة بالألياف غير المتجانسة. تقترح هذه الدراسة إطارا تحليليا قائما على القيم الذاتية للتحقيق في التفاعل بين التحميل الحراري، وتوليد الحاملات، والتشوه المرن في مثل هذه الوسط. الاستجابة المرصودة تحكمها بشكل أساسي الترابط القوي بين هذه العمليات الفيزيائية. يؤدي امتصاص الطاقة البصرية عند الحدود إلى تسخين موضعي وإثارة حاملة، مما يؤدي بدوره إلى إجهادات حرارية مرنة وإزاحات دا...

المواد

قائمة المواد المستخدمة في هذه المقالة

الاسم	الشركة	رقم فهرسي	التعليقات
البرمجيات الحاسوبية (التحليل الرمزي والعددي)	أبحاث وولفرام	تم استخدام وولفرام ماثيماتيكا (الإصدار 12.0)	يستخدم في حساب القيم الذاتية، وتنفيذ الحلول التحليلية، والتقييم العددي
أدوات تصور البيانات (توليد الخطوط المحيطية وخريطة الحرارة)	أبحاث وولفرام	تم استخدام Wolfram Mathematica (الإصدار 12.0) لإنشاء مخططات الكنتور ثنائية الأبعاد وخرائط حرارية زمانية ومكانية	يستخدم لإنشاء مخططات المحيطات ثنائية الأبعاد وخرائط الحرارة المكانية والزمانية
مجموعة بيانات معاملات المادة (خصائص أشباه الموصلات السيليكونية)	مصادر أدبية متنوعة	لا يوجد	الثوابت الفيزيائية (المرنة، الحرارية، المرتبطة بالحامل) المستخدمة في الحسابات (الجدول 1)
الحاسوب الشخصي/محطة العمل	HP	لا يوجد	تم إجراء العمليات الحسابية على حاسوب شخصي قياسي يعمل بنظام ويندوز OS وذاكرته كافية لمحاكاة عددية
محرر المعادلات	مايكروسوفت  Word و MathType	لا يوجد	يستخدم لتنسيق وعرض التعبيرات الرياضية في المخطوطة
برامج إدارة المراجع	إلسفير	لا يوجد	يستخدم لإدارة المراجع وتنسيق الاستشهادات (أسلوب فانكوفر)