المتجهات في اتجاهات متعددة
المصدر: نيكولاس تيمونز ، أسانثا كوراي ، دكتوراه ، قسم الفيزياء وعلم الفلك ، كلية العلوم الفيزيائية ، جامعة كاليفورنيا ، إيرفين ، كاليفورنيا
توضح هذه ا…
1. قوى التوازن.
- على طاولة القوة ، قم بإعداد بكرتين بنفس الكتلة في اتجاهين متعاكسين (فرق 180 درجة في الزاوية).
- ستكون قوة كل منهما مساوية ل
. تحقق مما إذا كانت القوتان متساويتان ومتقابلتان عن طريق فحص الحلقة الموجودة في وسط جدول القوة ، والتي لا ينبغي أن تتحرك. - لاحظ أنه إذا تمت إضافة مكونات المتجهات المرتبطة بهذه القوى ، فسيكون للمتجه الناتج حجم صفر. هذه هي الطريقة لتحديد أن جميع القوى في حالة توازن.
2. الحسابات التحليلية.
- سيتألف هذا المختبر من ثلاث قوى في حالة توازن. ستعرف قوتان ، بينما سيتم العثور على القوة الثالثة - أولا تحليليا ، باستخدام نظرية المتجهات ، ثم تجريبيا. بالنسبة لهذا المختبر ، احتفظ ب
عند 0 درجة طوال المدة. - لاحظ أنه إذا كان و
معروفين و 
، عند إضافته إلى النظام ، يتسبب في توازن القوتين ، فإن يكون متساويا في الحجم ولكن في الاتجاه المعاكس للمجموع ( + ). - احسب حجم و . استخدم حقيقة أن وأن 1 نيوتن (N) هي وحدة قوة تساوي
. - باستخدام نظرية المتجهات ، احسب مقدار إذا كان المجموع ( + ).
- باستخدام نظرية المتجهات ، احسب الزاوية إذا كانت المجموع ( + ).
3. تجربة.
- باتباع القيم الموجودة في السطر الأول من الجدول 1 ل و ، قم بإعداد القوتين على جدول القوة. تذكر أن تبقي عند 0 درجة.
- قم بإعداد القوة الثالثة ، ، عن طريق إضافة الأوزان وتغيير الزاوية حتى الوصول إلى التوازن. سجل هذه القيم في جدول 2.
- كرر الخطوة 3.2 لكل حالة من الحالات الأربع.
- حدد النسبة المئوية للفرق عن النتيجة التحليلية عن طريق حساب
. أكمل الجدول 2 بهذه القيم المحسوبة.
تسجيل الدخول أو للوصول إلى المحتوى الكامل. تعرّف على المزيد حول وصول مؤسستك إلى محتوى JoVE هنا
المتجهات هي كميات ذات حجم وتباين عن الاتجاه ، والتي لها حجم وعلامة فقط.
القوة والتسارع والسرعة هي أمثلة على المتجهات. في حين أن الكتلة والطاقة والوقت هي أمثلة على المقاييس.
عادة ما يتم تمثيل المتجه بسهم. يتوافق طول السهم مع حجمه وتشير الزاوية إلى الاتجاه.
سيظهر هذا الفيديو نظاما من القوى يمكن تحليله باستخدام جمع المتجه وطرحه ، ويوضح كيف تؤدي هذه العمليات إلى نتائج مهمة لفهم العديد من الظواهر الفيزيائية.
يتطلب وصف المتجه نظام إحداثيات. ضمن هذا الإطار المرجعي المختار ، يحتوي هذا المثال للكرة التي تم ركلها في الهواء على متجه سرعة أولي. كما أوضحنا سابقا ، يمثل طول السهم مقدار السرعة. واتجاه المتجه هو زاويته عن الأرض.
يمكن أن يتحلل أي متجه إلى مكونات ، وهي متجهات نفسها على طول المحورين x و y. إذا كانت السرعة الابتدائية للكرة تساوي 20 مترا في الثانية عند 60 درجة، فإن المركبة الأفقية هي السرعة مضروبة في جيب التمام 60 درجة، ومقدارها 10 أمتار لكل ثانية. المكون الرأسي هو السرعة مضروبة في الجيب 60 درجة وتبلغ مقدارها حوالي 17.3 مترا في الثانية.
تؤدي إضافة المتجه للمكونات الأفقية والرأسية إلى إعادة بناء متجه السرعة الأصلي. لإضافة المتجهات ، تخيل وضع رأس أحدهما على ذيل الآخر. في هذا المثال ، تكون المتجهات بزاوية قائمة. ينتج المجموع عند السفر مباشرة من ذيل الأول إلى رأس الثاني.
هذه المكونات في زاوية قائمة ، لذلك يتم إعطاء مقدار المجموع بواسطة نظرية فيثاغورس. الزاوية هي قوس الظل للمكون الرأسي مقسوما على المكون الأفقي.
عند إضافة متجهين غير متعامدين ، قم بتحليل كل منهما إلى مكونات x و y ثم أضف المكونات المقابلة. أخيرا ، احسب المجموع المتجه للمكونات الأفقية والرأسية كما هو موضح من قبل. طرح متجه من آخر يعادل إبطال المتجه الثاني وإضافته إلى الأول. كما كان من قبل ، قم بتحلل كل متجه إلى مكونات x و y. ثم اطرح المكون x الأصغر من المكون الأكبر وافعل الشيء نفسه مع مكونات y. ثم ، كما كان من قبل ، احسب المجموع المتجه للمكونات x و y الناتجة.
لإثبات جمع وطرح المتجهات في مختبر الفيزياء ، فإن المعدات المستخدمة بشكل شائع هي جدول القوة. هذا قرص بزوايا محددة حول المحيط ، وحلقة في الوسط متصلة بالحبال ذات الكتل في الطرف الآخر معلقة بواسطة بكرات. تنتج الكتل قوى ، وهي المتجهات المراد دراستها. القوة على طول كل سلك تساوي قوة الجاذبية ، أو mg ، بوحدات نيوتن.
في هذه المجموعة، إذا كانت هناك كتلتان متساويتان فقط عند 180 درجة من بعضهما البعض، فإنهما يحققان قوى بمجموع متجه يساوي صفر. تسمى هذه الحالة التوازن، مما ينتج عنه تسارع صفري، وبالتالي لن تتحرك الحلقة.
ولكن إذا لم تلغي القوتان اللتان تسحبان الحلقة بعضهما البعض ، على سبيل المثال بسبب التغيير في الزاوية ، فإن القوة الصافية غير الصفرية ستتسبب في تحرك الحلقة. في مثل هذه الحالات، إذا عرفنا مقدارات هذه القوى واتجاهاتها، فيمكننا استخدام الجمع والطرح المتجه لحساب القوة الثالثة اللازمة لإعادة التوازن.
سنوضح في القسم التالي كيفية إجراء تجارب جدول القوة التي تختبر المبادئ النظرية لجمع المتجه وطرحه
إذا كانت القوتان متساويتين ومتقابلتين ، فلا ينبغي أن تتحرك الحلقة الموجودة في وسط الجدول. في هذه الحالة ، يتعارض كل متجه قوة تماما مع الآخر من حيث الحجم والاتجاه. مجموع المتجه له مقدار صفر ، وهو شرط القوة الصافية الصفرية ، أو التوازن.
للتحقق من صحة مبادئ جمع المتجه وطرحه ، قم بإعداد الكتل والزوايا للقوتين A و B كما هو موضح في السطر الأول من هذا الجدول. حافظ على زاوية A عند صفر درجة. الآن ، قم بإعداد القوة الثالثة عن طريق إضافة الكتل وتغيير الزاوية حتى لا تتحرك الحلقة.
بعد تحقيق التوازن ، احسب قوة C بضرب كتلتها في التسارع الناتج عن الجاذبية. أيضا ، سجل حجم وزاوية القوة C.
كرر هذا الاختبار للحالات الثلاث المختلفة وسجل حجم وزاوية القوة C في كل مرة.
بالنسبة للإعدادات التجريبية الأربعة، يوضح هذا الجدول المقادير المحسوبة للقوتين A وB، وزوايا B بالنسبة إلى A. باستخدام الإعداد الأول كمثال، يمكننا حساب القوة C اللازمة لإقامة التوازن على الجدول.
هنا القوة A لها مقدار 0.98 نيوتن عند 0؟. القوة B لها نفس الحجم البالغ 0.98 نيوتن ولكن بزاوية 20؟. لتحديد متجه C ، قم بتحلل القوى A و B إلى مكوناتهما x و y. ملاحظة القوة A يتم توجيهها فقط على طول المحور x ولا تحتوي على مكون y. ثم أضف المكونات لإنتاج المتجهين x و y ، وهما مجموع المتجهين A و B.
لتحقيق التوازن ، يجب أن يكون المكونان x و y ل C عكس هذه المتجهات. للحصول على المتجه C ، حرك ذيل المكون y إلى رأس المكون x. ثم نجمع المتجهين باستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار المتجه C. وزاوية C هي قوس الظل للمكون الرأسي مقسوما على المكون الأفقي. إذن، يتضح أن الحجم المحسوب ل C يساوي 1.93 نيوتن بزاوية 10؟ فيما يتعلق بالمحور السيني.
الآن أثناء التجربة، نحسب C من خلال الملاحظة والتجربة والخطأ، عن طريق ضبط الأوزان والزوايا لمنع حركة الحلقة على طاولة القوة.
ويوضح هذا الجدول أن النتائج التجريبية والمحسوبة لكل من الحجم والزاوية تتطابقان بشكل وثيق مع جميع الإعدادات الأربعة. تتحقق هذه الاتفاقية من صحة تمثيل القوى كمتجهات. يمكن أن يعزى الاختلاف إلى القيود المفروضة على دقة الأوزان ودقة قياس الزاوية والقوى غير المحسوبة الناتجة عن الاحتكاك على طاولة القوة ومع البكرات.
يتم استخدام جمع المتجه وطرحه في كل من التطبيقات البسيطة والمعقدة. دعونا نلقي نظرة على بعضها.
عند التجول في مدينة مثل نيويورك ، عادة ما يتم قياس المسافة بالكتل ، والاتجاهات هي الشمال والجنوب والشرق والغرب.
يخضع الشخص الذي يمشي على بعد أربع كتل شرقا وثلاث كتل شمالا لتغيير في الموضع ، وهي كمية متجهة. لذلك ، من خلال تطبيق معادلات جمع المتجه ، يمكن للمرء حساب حجم واتجاه المتجه بين نقطتي البداية والنهاية للمشي.
من المشي إلى الطيران: يقوم الطيار باستمرار بجمع وطرح المتجه العقلي لمناورة الطائرة. باستخدام اللوحات والجنيحات الخاصة بالأجنحة ، يمكن للطيار ضبط الرفع ضد الجاذبية. إذا كان الرفع أكبر من قوة الجاذبية ، فإن الطائرة تصعد. إذا كان الرفع أقل من قوة الجاذبية ، فإنه ينزل.
وبالمثل ، يستخدم الطيار المحركات لضبط الدفع ضد السحب. إذا كان الدفع أكبر من السحب ، تتسارع الطائرة. إذا كان الدفع أقل من السحب ، فإنه يتباطأ.
عندما يساوي مجموع هذه القوى الأربع صفرا ، تكون الطائرة في حالة توازن وتبحر بسرعة وارتفاع ثابتين.
لقد شاهدت للتو مقدمة JoVE للمتجهات. يجب أن تعرف الآن كيفية جمع وطرح المتجهات ، وفهم كيفية تصرف بعض الكميات الفيزيائية كمتجهات. شكرا للمشاهدة!
View the full transcript and gain access to JoVE Science Education videos
Q1: What is the difference between vectors and scalars?
Vectors have both magnitude and direction, while scalars have only magnitude and sign. Force, acceleration, and velocity are vectors. Mass, energy, and time are scalars. Vectors are typically represented by arrows where length indicates magnitude and angle indicates direction within a chosen coordinate system.
Q2: How do you decompose a vector into components?
Any vector can be decomposed into x- and y-component vectors along perpendicular axes. For a vector at angle θ with magnitude M, the horizontal component equals M times cosine of θ, and the vertical component equals M times sine of θ. These components can be recombined using vector addition to reconstruct the original vector.
Q3: What is the process for adding two non-perpendicular vectors?
Decompose each vector into x- and y-components, then add corresponding components separately. Calculate the resultant x- and y-components, then combine them using the Pythagorean theorem to find magnitude. Use arctangent of the vertical component divided by the horizontal component to find the angle of the resultant vector.
Q4: How does vector subtraction work in physics?
Subtracting one vector from another is equivalent to negating the second vector and adding it to the first. Decompose each vector into x- and y-components, subtract corresponding components, then calculate the vector sum of the resulting components using the Pythagorean theorem and arctangent to find magnitude and direction.
Q5: What is equilibrium and how does it relate to vector addition?
Equilibrium occurs when the net force on an object is zero, resulting in zero acceleration. On a force table, when two equal forces act at 180 degrees from each other, their vector sum is zero and the ring remains stationary. If forces do not cancel, vector addition determines the third force needed to restore equilibrium and establish rotational equilibrium.
Q6: How is a force table used to experimentally validate vector addition?
A force table is a disk with angle markings and a central ring attached to cords with suspended masses. Masses produce forces measured in Newtons. By adjusting masses and angles for two forces, students calculate the third force needed to prevent ring motion. Comparing calculated results using vector addition with experimental observations validates the vector principles.
Q7: What are real-world applications of vector addition and subtraction?
Pilots use vector addition and subtraction to maneuver aircraft by adjusting lift against gravity and thrust against drag. When the sum of these four forces equals zero, the plane maintains constant speed and altitude. Navigation also uses vectors: a person walking four blocks east and three blocks north can calculate their displacement vector using vector addition equations.