Estimating Distance from Velocity Data

Estimating distance from velocity data is a common use of the trapezoidal rule. In physics and engineering, velocity is often recorded at separate time points instead of as one continuous equation. Numerical integration gives a way to approximate the total displacement from those measurements.

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假设一辆卡车沿高速公路行驶。要计算它在给定时间间隔 t 内行驶的距离，可求其速度-时间图像曲线下的面积。

由于已知卡车在离散时间点的速度，因此无法精确计算该面积。取而代之的是使用梯形法则来近似计算面积。具体方法是将总时间间隔划分为 n 个相等的子区间，每个子区间的宽度为 Δt。

在此方法中，每个子区间的两个端点通过一条直线连接，形成梯形。

对于给定的子区间，其两条垂直边表示速度，水平底边表示时间宽度，该梯形的面积等于两条垂直边长度的平均值乘以水平距离。

将所有 n 个梯形的面积相加，即可得到位移的近似值。

经过代数运算并求解该求和式后，首尾速度各出现一次，而内部速度各出现两次，因为每个内部速度均属于两个梯形。