Triple Integrals for Volume and Mass

Triple integrals help find the total value of a function across a three-dimensional region. They are often used to calculate volume, mass, and other physical quantities that change from place to place. The idea is to split a solid region into many small rectangular boxes, evaluate the function in each box, and add the result...

三重积分利用三个变量的函数，给出某个量在三维区域上的总累积。

考虑一个形状为长方体的实心金属块。在金属块内部的每一点上，该函数给出材料的密度。总质量是该密度在整个固体内部的累积。

为了计算该质量，将物体分割为多个小方块，每个小方块具有较小的体积。在每个小方块中选取一个样本点，用于估算该区域的密度。将该密度乘以小方块的体积，即可得到该小方块的近似质量。

将所有子小盒的质量相加，可得到一个近似的总质量，称为三重黎曼和。随着将整个区域分割成越来越小的子小盒，三重黎曼和趋近于三重积分。

三重积分也可以作为累次积分进行计算，即逐一对每个变量进行积分累加。Fubini 定理指出，对于在有界区域上连续且积分限定义明确的函数，积分顺序可以交换，且不同积分...