Using the Jacobian to Simplify Integrals

Multiple integrals are used to find areas, volumes, mass distributions, and other physical quantities over regions in two or three dimensions. In many problems, the original region has curved boundaries when written in Cartesian coordinates. Those boundaries can make the limits of integration hard to describe and the calcula...

在多变量微积分中，对区域 R 上的多重积分进行求值时，由于区域 R 在 x 和 y 坐标系下可能具有复杂的边界，因此通常显得困难。

为了简化这一数学评估，通过一组特定的变换方程，将变量变换至由变量 u 和 v 定义的新坐标系中。

这种变换将 xy 平面上的原始区域 R 完全映射为 uv 平面上的新区域 S，从而在两个不同的坐标系中形成了两个不同的面积微元 dxdy 和 dudv。

为了关联这两个区域元素，需要计算一个关键分量——雅可比（Jacobian）。它用于度量原始区域 R<...