Volume of Curved Tanks with Multiple Integrals

Multiple integrals can be used to find the volume of curved three-dimensional objects. This method is useful for shapes such as storage tanks, pipes, and reservoirs. It works well when the region changes shape across space.

Cylindrical coordinates are especially helpful for objects with rotationa...

考虑一个抛物面形状的水箱，其中装有水。水位深度为 4 米，顶部水面直径为 4 米。

目标是使用柱面坐标系中的三重积分来计算水的总体积。此处，抛物面区域 S 可通过坐标 r、theta 和 z 进行建模。

整合过程沿 z 轴垂直开始。

此处的体积上方由平面 z = 4 界定，下方由抛物面 z = r² 界定。

当 r 从其下限 0 变化到上限 2 时，前者对 z 的积分反映了高度的变化。

当 θ 保持不变时，r 和 z 共同扫过一个平坦的二维垂直截面。

最后，该二维截面绕完整圆周旋转 2 pi...