变异：正态分布、范围与标准差

在一项数据收集项目中，一名学生希望收集其所在城市成年男性的身高数据。

回到教室后，学生们绘制出样本群体中身高的频率分布图。所得曲线呈钟形，中心处有一个峰值，该峰值即为平均值。

尽管单个数据点（例如均值）对于这些结果的分析至关重要，但变异度同样重要。变异度定义为数据集中测量值的离散程度，该指标描述了结果的分布范围，能够反映数据点之间距离的大小。

此外，该图形呈对称分布，其中一半个体的身高高于平均值，另一半则低于平均值。这种分布被称为正态分布或曲线。

为了评估变异程度，他们首先计算结果的极差，即最高值与最低值之间的差值。

尽管极差可以描述数据的离散程度，但它可能受到异常值（例如该校最高的篮球运动员）的显著影响，且无法说明测量值在均值周围的分布情况。

为解决这一问题，学生使用一个方程来计算另一种变异程度的度量，称为标准差——即测量值与平均值之间的平均差异量。

此处的标准差为2.5英寸，因此男性平均比平均身高矮或高2.5英寸。根据正态分布的特性，在正负一个标准差范围内，将有68%的个体落入该区间。

这个数值在两个标准差范围内将增加到95%——此处为平均身高上下五英寸的范围——在三个标准差范围内则达到99.7%。重要的是，标准差越小，结果越集中在均值附近，从而形成一个高而窄的正态曲线。

因此，如果一个数据集的标准差较小，则其变异程度较低。因此，与来自高变异结果的均值相比，低变异性的测量均值更有可能可靠地代表样本总体，因为高变异结果可能受到离群值的过度影响。