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残差和最小二乘法的性质
11.6
考虑在大流行期间每周新冠检测阳性结果数量与检测总数的数据。在散点图上绘制的回归线显示了变量之间的线性趋势。
通过残差来确定该回归线是否为最佳拟合线——残差是指原始数据点与回归线上预测值之间的垂直距离。
例如,对于坐标为 820 和 48 的数据点,可通过在回归方程中将 x 替换为 820 来求得预测值。
观测值与预测值之间的差异即为残差值。同样,其余数据点的残差值也以相同方法计算。
这些残差的平方可以通过使用原始点绘制方形区域来可视化。
为了使回归线成为最佳拟合直线,所有这些正方形面积的总和必须最小。这被称为最小二乘法性质。
对于任何其他直线,其面积之和均更大,因此不能被视为最佳拟合直线。
残差是用来表示 y 的实际值与 y 的估计值之间的垂直距离。换句话说,残差测量的是直线上实际数据点和预测点之间的垂直距离 Equation1
如果观测到的数据点位于这条直线的上方,则残差为正,并且该直线低估了 y 的实际数据值。如果观测到的数据点位于这条直线的下方,则残差为负,并且这条直线高估了 y…