三角函数的求导

考虑一个以恒定速度旋转的摩天轮。其边缘上某一点的垂直高度随时间平滑变化，遵循正弦波规律。

骑行者高度的变化速率也像另一列波一样平滑且周期性地变化。这一变化速率与正弦函数的导数相吻合。

为了求 sin x 的导数，从导数的极限定义出发，并将其应用于 sin x。

首先，使用加法公式展开 (x + h) 的正弦函数。然后，重新排列各项，并提取正弦 x 和余弦 x 的公因式。

当 h 趋近于零时，(cos h - 1) / h 趋近于零，而 sin h / h 趋近于 1。

代入这些极限可得，sin x 的导数是 cos x。

同样的方法表明，余弦 x 的导数是负的正弦 x。

由于正切函数是正弦与余弦的比值，求其导数时需应用商法则。将正弦函数和余弦函数的导数值代入后，再利用三角恒等式进行化简，可得正切函数的导数为正割的平方。