链式法则

考虑一个由三个齿轮组成的系统，其中 x、y 和 z 分别表示第一、第二和第三个齿轮的转速。

第一个齿轮带动第二个齿轮，第二个齿轮再带动第三个齿轮。该系统通过具有两级变量关系的链式法则进行分析。

第一阶段表示第二齿轮的旋转依赖于第一齿轮，其中 z 为 x 的函数。

第二阶段表示第三齿轮的旋转依赖于第二齿轮，其中 y 是 z 的函数。

因此，第一阶段的输出成为下一阶段的输入，从而形成一个复合函数。

一个齿轮的微小变化会引起其他齿轮的变化。为了求出 y 对 x 的瞬时变化率，需取 Δy 与 Δx 之比在 Δx 趋近于零时的极限。通过引入中间变量 δz，该比值被重新表示。

当 Δx 趋近于零时，Δz 也趋近于零。此时，比值乘积的极限可表示为两个导数的乘积，从而得到链式法则。该法则表明，复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数。